中考数学综合提高题训练.doc

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1、中考数学综合提高训练第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 如图1，已知抛物线（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，

2、请说明理由图1满分解答（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )（2）如图2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么PDBPEC因此PDPE设点P的坐标为(x, x)如图3，联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b解得所以点P的坐标为()图2 图3（3）由，得A(1, 0)，OA1如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么OQCQOA当，即时，BQAQOA所以解得所以符合题意的点Q为()如图5，以OC为直径的圆与直线x1交于点Q，那么OQC90。因此OCQQOA当时，BQAQOA此时OQB90所以C、Q、B三点共线因此，即解得此时Q(1,4)图4 图5考点伸

3、展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而QOA与QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置如图中，圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB4OC矛盾例2 如图1，已知抛物线的方程C1： (m0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，

4、使得BHEH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由图1解答（1）将M(2, 2)代入，得解得m4（2）当m4时，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x1，当H落在线段EC上时，BHEH最小设对称轴与x轴的交点为P，那么因此解得所以点H的坐标为（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以当，即时，BCEFBC设点F的坐标为，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程

5、无解图2 图3 图4如图4，作CBF45交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以，即时，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得综合、，符合题意的m为考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长例3直线分别交x轴、y轴于A、B两点，AOB绕点O按逆时针方向旋转90后得到COD，抛物线yax2bxc经过A、C、D三点(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与

6、COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由图1解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因为抛物线yax2bxc经过A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三点，所以 解得 所以抛物线的解析式为yx22x3(x1)24，顶点G的坐标为(1，4)（3）如图2，直线BG的解析式为y3x1，直线CD的解析式为y3x3，因此CD/BG因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x1)，那么RtCOD的两条直角边的比为13，如果RtABQ与RtCOD相似，存在两种情况：当时

7、，解得所以，当时，解得所以， 图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明ABBG；二是我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GHy轴，QNy轴，垂足分别为H、N通过证明AOBBHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG90在RtBGH中，当时，在RtBQN中，当Q在B上方时，；当Q在B下方时，当时，同理得到，例4 RtABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），BDE的面积为2（1）求m与n的数量关系；（2）当tanA时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；（3）设直

8、线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果AEO与EFP 相似，求点P的坐标图1解答（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数的图象上，所以 整理，得n2m（2）如图2，过点E作EHBC，垂足为H在RtBEH中，tanBEHtanA，EH2，所以BH1因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1)已知BDE的面积为2，所以解得m1因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)因为点D（4，1）在反比例函数的图象上，所以k4因此反比例函数的解析式为设直线AB的解析式为ykxb，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得，因此直线AB的函数解析式为图2 图3 图

9、4（3）如图3，因为直线与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD/ x轴，EFPEAO因此AEO与EFP 相似存在两种情况：如图3，当时，解得FP1此时点P的坐标为（1，1）如图4，当时，解得FP5此时点P的坐标为（5，1）考点伸展本题的题设部分有条件“RtABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m与n的数量关系不变第（2）题反比例函数的解析式为，直线AB为第（3）题FD不再与x轴平行，AEO与EFP 也不可能相似图5例5如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3

10、）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，

11、是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图1 图2解答（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面积，由此得到由于，所以整理，得因此得到当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为（6，3）（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的GAF与GQE，有一个公共角G在GEQ中，GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF中，GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且GEQ

12、GAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD由于，所以解得 图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3例6 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，若四边形A ABB为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B、C、D为顶点的三角形与ABC相似图1 动感体验请打开

13、几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A ABB为菱形再拖动点D在x轴上运动，可以体验到，BCD与ABC相似有两种情况思路点拨1点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B 的坐标、AC和BC的长2抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变3探求ABC与BCD相似，根据菱形的性质，BACCBD，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上，所以 解得，(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B

14、(1，0)，可得AB5因为四边形A ABB为菱形，所以A ABB AB5因为，所以原抛物线的对称轴x1向右平移5个单位后，对应的直线为x4因此平移后的抛物线的解析式为图2(3) 由点A (-2，4) 和点B (6，0)，可得A B如图2，由AM/CN，可得，即解得所以根据菱形的性质，在ABC与BCD中，BACCBD如图3，当时，解得此时OD3，点D的坐标为（3，0）如图4，当时，解得此时OD，点D的坐标为（，0） 图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求BCD与AB B相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况我们也可以讨论BCD与CB B相似，这两个三角形有一组公

15、共角B，根据对应边成比例，分两种情况计算例7 2009年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,图1动感体验 请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示PA

16、M与OAC相似的三个情景双击按钮“第(3)题”， 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，DCA的面积最大思路点拨1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点P的坐标为如图2，当点P在x轴上方时，1x4，

17、如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点P的坐标为（2，1）如图3，当点P在点A的右侧时，x4，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点P在点B的左侧时，x1，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或 图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为所以因此当时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1） 图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去C

18、DN和ADM的面积设点D的横坐标为（m，n），那么由于，所以例8 如图1，ABC中，AB5，AC3，cosAD为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE/BC交射线CA于点E.(1) 若CEx，BDy，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使ABC与DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由 图1 备用图 备用图解答 （1）如图2，作BHAC，垂足为点H在RtABH中，AB5，cosA，所以AHAC所以BH垂直平分AC，ABC 为等腰三角形，ABCB5 因为

19、DE/BC，所以，即于是得到，（）（2）如图3，图4，因为DE/BC，所以，即，因此，圆心距 图2 图3 图4在M中，在N中，当两圆外切时，解得或者如图5，符合题意的解为，此时当两圆内切时，当x6时，解得，如图6，此时E在CA的延长线上，；当x6时，解得，如图7，此时E在CA的延长线上， 图5 图6 图7（3）因为ABC是等腰三角形，因此当ABC与DEF相似时，DEF也是等腰三角形如图8，当D、E、F为ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF2.5根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF4.1如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DEC

20、F是平行四边形，此时 图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是ABC的高，D、E、F为ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形例9 图1解答（1），（2）由抛物线的解析式，得点M的坐标为，点N的坐标为因此MN的中点D的坐标为（2，0），DN3因为AOB是等腰直角三角形，如果DNE与AOB相似，那么DNE也是等腰直角三角形如图2，如果DN为直角边，那么点E的坐标为E1（2，3）或E2（2，3）将E1（2，3）代入，求得此时抛物线的解析式为将E2（2，3）代入，求得此时抛物线的解析式为如果DN为斜边，那么点E的坐标为E3或E4将E3代入，求

21、得此时抛物线的解析式为将E4代入，求得此时抛物线的解析式为 图2 图3对于点E为E1（2，3）和E3，直线NE是相同的，ENP45又OBP45，PP，所以POBPGN因此对于点E为E2（2，3）和E4，直线NE是相同的此时点G在直线的右侧，又，所以考点伸展在本题情景下，怎样计算PB的长？如图3，作AFAB交OP于F，那么OBCOAF，OFOC，PF，PA，所以1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标

22、；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1 解答（1）因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)，代入点C(0 ,3)，得3a3解得a1所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x1当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小设抛物线的对称轴与x轴的交点为H由，BOCO，得PHBH2所以点P的坐标为(1, 2)图2（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1

23、,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图3，当MAMC时，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此时点M的坐标为(1, 1)如图4，当AMAC时，AM2AC2解方程4m210，得此时点M的坐标为(1,)或(1,)如图5，当CMCA时，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)图3 图4 图5例2如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、

24、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由图1解答（1）如图2，过点B作BCy轴，垂足为C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以点B的坐标为（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点B，解得所以抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2, y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得当P在时，B、O、P三点共线（如图2）当BPBO4时，BP216所以解得当PBPO时，PB2PO2所以解得综合、，点P的坐标为，如图2所示图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，

25、那么DOA与OAB是两个相似的等腰三角形由，得抛物线的顶点为因此所以DOA30，ODA120例3如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）当点P从O向C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）图1 图2解答（1）因为PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到

26、点D的坐标为(2，4m)（2）在APD中，当APAD时，解得（如图3）当PAPD时，解得（如图4）或（不合题意，舍去）当DADP时，解得（如图5）或（不合题意，舍去）综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为，或图3 图4 图5（3）点H所经过的路径长为考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如图3，当APAD时，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如图4，当PAPD时，P在AD的垂直平分线上所以DA2PO因此解得第（2）题的思路是这样的：如图6，在RtOHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确

27、定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，COH45，CGH90图6 图7例4如图1，已知一次函数yx7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不

28、存在，请说明理由 图1 解答（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)令，得所以点B的坐标是(7，0)（2）如图2，当P在OC上运动时，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如图3，当P在CA上运动时，APR的最大面积为6因此，当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8图2 图3 图4我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t4如图1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如图4，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴因此AQP45保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQAQP的情况此时点A在PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以BR1，

29、t1我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t7在APQ中， 为定值，如图5，当APAQ时，解方程，得如图6，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程，得如7，当PAPQ时，那么因此解方程，得综上所述，t1或或5或时，APQ是等腰三角形 图5 图6 图7例5 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P(1)求证：MNNP为定值；(2)若BNP与MNA相似，求CM的长；(3)若BN

30、P是等腰三角形，求CM的长图1解答(1)如图2，图3，作NQx轴，垂足为Q设点M、N的运动时间为t秒在RtANQ中，AN5t，NQ4t ，AQ3t在图2中，QO63t，MQ105t，所以MNNPMQQO53在图3中，QO3t6，MQ5t10，所以MNNPMQQO53(2)因为BNP与MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似如图4，BNPMNA，在RtAMN中，所以解得此时CM 图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，即所以当N在AB上时，在BNP中，B是确定的，()如图5，当BPBN时，解方程

31、，得此时CM()如图6，当NBNP时，解方程，得此时CM()当PBPN时，解方程，得t的值为负数，因此不存在PBPN的情况如图7，当点N在线段AB的延长线上时，B是钝角，只存在BPBN的可能，此时解方程，得此时CM 图5 图6 图7考点伸展如图6，当NBNP时，NMA是等腰三角形，这样计算简便一些例6如图1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy（1）求y关于x的函数关系式； （2）若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

32、图1解答(1)因为EDC与FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因为CB90，所以DCEEBF因此，即整理，得y关于x的函数关系为(2)如图2，当m8时，因此当x4时，y取得最大值为2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF为等腰三角形，只存在EDEF的情况因为DCEEBF，所以CEBF，即xy将xy 2代入，得m6（如图3）；将xy 6代入，得m2（如图4） 图2 图3 图4例7已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA2，OC3，过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连结DC，过点D作DEDC，交OA于点E（1）求过

33、点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由图1解答（1）由于OD平分AOC，所以点D的坐标为（2，2），因此BCAD1由于BCDADE，所以BDAE1，因此点E的坐标为（0，1）设过E、D、C三点的抛物线的解析式为

34、，那么 解得，因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为（2）把代入，求得所以点M的坐标为如图2，过点M作MNAB，垂足为N，那么，即解得图2因为EDC绕点D旋转的过程中，DCGDEF，所以CGEF2因此GO1，EF2GO（3）在第（2）中，GC2设点Q的坐标为如图3，当CPCG2时，点P与点B（3，2）重合，PCG是等腰直角三角形此时，因此。由此得到点Q的坐标为如图4，当GPGC2时，点P的坐标为（1，2）此时点Q的横坐标为1，点Q的坐标为如图5，当PGPC时，点P在GC的垂直平分线上，点P、Q与点D重合此时点Q的坐标为（2，2） 图3 图4 图5考点伸展在第（2）题情景下，EDC绕点D旋转的过

35、程中，FG的长怎样变化？设AF的长为m，那么点F由E开始沿射线EA运动的过程中，FG先是越来越小，F与A重合时，FG达到最小值；F经过点A以后，FG越来越大，当C与O重合时，FG达到最大值4例 8如图1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F，AB4，BC6，B60（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PMEF交BC于M，过M作MN/AB交折线ADC于N，连结PN，设EPx当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使

36、PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由 图1 图2 图3解答（1）如图4，过点E作EGBC于G在RtBEG中，B60，所以，所以点E到BC的距离为（2）因为AD/EF/BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点因此EF是梯形ABCD的中位线，EF4如图4，当点N在线段AD上时，PMN的形状不是否发生改变过点N作NHEF于H，设PH与NM交于点Q在矩形EGMP中，EPGMx，PMEG在平行四边形BMQE中，BMEQ1x所以BGPQ1因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH2PQ2在RtPNH中，NH，PH2，所以PN在平行四边形ABMN中，MNA

37、B4因此PMN的周长为4 图4 图5当点N在线段DC上时，CMN恒为等边三角形如图5，当PMPN时，PMC与PNC关于直线PC对称，点P在DCB的平分线上在RtPCM中，PM，PCM30，所以MC3此时M、P分别为BC、EF的中点，x2如图6，当MPMN时，MPMNMC，xGMGCMC5如图7，当NPNM时，NMPNPM30，所以PNM120又因为FNM120，所以P与F重合此时x4综上所述，当x2或4或5时，PMN为等腰三角形 图6 图7 图81.3 因动点产生的直角三角形问题例1 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式图1 解答（1）由，得抛物线与x轴的交点坐标为A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线x1（2）ACD与ACB有公共的底边AC，当ACD的面积等于ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，点D的坐标为因