12.4 虚位移原理.pdf

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1、12.4 虚位移原理（虚位移原理（6-1） 当系统参数发生无限小改变量时当系统参数发生无限小改变量时,系统中各力及各力偶矩矢作系统中各力及各力偶矩矢作 用点的无限小位移所构成的一组矢量称为系统的一组虚位移用点的无限小位移所构成的一组矢量称为系统的一组虚位移. A r B r A r B r 判断题判断题1、质点系由静止状态开始，在约束允许条件质点系由静止状态开始，在约束允许条件 下可能发生的任何无限小位移都称为系统的虚位移下可能发生的任何无限小位移都称为系统的虚位移. 判断题判断题2、虚位移是无限小矢量虚位移是无限小矢量. 判断题判断题3、力在虚位移中做的功称为虚功力在虚位移中做的功称为虚功.

2、 判断题判断题4、虚位移是想象出来的，所以虚功也是想象虚位移是想象出来的，所以虚功也是想象 出来的出来的. 判断题判断题5、当质点系处于静止平衡状态时当质点系处于静止平衡状态时,任何力都不任何力都不 做功做功,但力可以做虚功但力可以做虚功. 判断题判断题6、虚位移仅仅与质点系的约束情况有关虚位移仅仅与质点系的约束情况有关,而与而与 其实际受力情况无关其实际受力情况无关. 判断题判断题7、在任何虚位移上对质点系都不做功在任何虚位移上对质点系都不做功(或做功或做功 和为零和为零)的约束力称为系统的理想约束力的约束力称为系统的理想约束力.这种约束称这种约束称 为理想约束为理想约束。 物体静止时不一定

3、受力平衡物体静止时不一定受力平衡,受力平衡时也不一定静止受力平衡时也不一定静止.因因 为静止说明速度为零为静止说明速度为零,受力平衡说明加速度为零受力平衡说明加速度为零,速度为零时速度为零时 加速度不一定为零加速度不一定为零,加速度为零时速度不一定为零加速度为零时速度不一定为零. 对于静止状态的质点系对于静止状态的质点系,各静止质点都处于受力平衡状态的各静止质点都处于受力平衡状态的 充分必要条件是充分必要条件是:质点系受到的所有主动力在系统的任意一质点系受到的所有主动力在系统的任意一 组虚位移上所做虚功的和都等于零组虚位移上所做虚功的和都等于零: 虚位移原理虚位移原理: 0 ii rFw w)

4、( iiziiyiix zFyFxF=0 0)cos( iiii rFrFw ， 必要性证明：必要性证明：设质点系处于受力平衡状态 设质点系处于受力平衡状态,第第i个质点个质点: FF iNi 0 () FF r iNii 0 F rF r iiNii 0 F r ii 0 质点系必处于受力平衡状态质点系必处于受力平衡状态 () iNii FFrT0 ii FrT 0 充分性证明：充分性证明： 虚位移原理证明虚位移原理证明 () FF r iNii 0 (讲解完毕讲解完毕) 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 6 1,:ABAD ABOAADOA

5、D rrrrr )( DD rr r r D D )( 结论结论:单自由度刚体系统也是一个单自由度质点系单自由度刚体系统也是一个单自由度质点系;同理同理,n自由度刚自由度刚 体系统体系统(n2)也是一个也是一个n自由度质点系自由度质点系. 12.4 多元功函数的驻点位置确定（多元功函数的驻点位置确定（6-2） 对于单自由度物体系统对于单自由度物体系统,力系对系统做的功可以表示为系统参力系对系统做的功可以表示为系统参 数的一元函数数的一元函数;对于多自由度物体系统对于多自由度物体系统,力系对系统做的功能否表力系对系统做的功能否表 示为系统参数的多元函数示为系统参数的多元函数？ 设想某多自由度系统

6、从静止状态开始运动设想某多自由度系统从静止状态开始运动，运动过程中如果各力运动过程中如果各力 做的功都仅仅取决于力作用点的起始做的功都仅仅取决于力作用点的起始、终止位置终止位置，而与力作用点的而与力作用点的 运动路径无关运动路径无关，那么力系做的功就可以表示为系统参数的多元函数那么力系做的功就可以表示为系统参数的多元函数 ；如果某些力所做的功与力作用点的具体运动路径有关；如果某些力所做的功与力作用点的具体运动路径有关，则可则可假定假定 在系统运动过程中这些力的大小在系统运动过程中这些力的大小、方向都与系统初始静止时的情况方向都与系统初始静止时的情况 相同相同（这种假定不这种假定不会会改变初始静

7、止系统的受力平衡性改变初始静止系统的受力平衡性），于是力系于是力系 对系统做的功仍然可以表示为系统参数的多元函数对系统做的功仍然可以表示为系统参数的多元函数。 以二自由度系统为例以二自由度系统为例,设系统参数为设系统参数为q1、 、q2,功函数 功函数:W=w(q1，q2) 2 2 1 1 q q w q q w W 0 21 q w q w 系统驻点位置：系统驻点位置： 这说明多自由度系统在功函数驻点处力系在任何可能微位移上的元这说明多自由度系统在功函数驻点处力系在任何可能微位移上的元 功和都等于零功和都等于零,根据虚位移原理根据虚位移原理,系统可以在该处出现静止平衡状态系统可以在该处出现静

8、止平衡状态. 1 1 q w Q 2 2 q w Q Q1、Q2具有力或力偶矩的单位具有力或力偶矩的单位,分分 别称为系统参数别称为系统参数q1、q2对应的广义力对应的广义力 推论推论12.4-1 静止状态的质点系处于受力平衡状态的充要静止状态的质点系处于受力平衡状态的充要 条件是条件是:系统各广义力都为零系统各广义力都为零. 0 22 11 21 A A qq qqq w q w A A qq qqq w q w mw 22 11 coscos)( 21 =0 m方向方向: 任一受限运动方向任一受限运动方向, (讲解完毕讲解完毕) 11 例例1、匀质细杆、匀质细杆OA、AB长度分别为长度分别

9、为L1、L2,重量分别重量分别 为为m1g和和m2g,两杆铰接于两杆铰接于A端端, B端受到水平力端受到水平力F作用作用. 求系统在竖直平面内平衡时求系统在竖直平面内平衡时1、2的大小的大小. 12.4 例题讲解例题讲解1（6-3） 解法解法1: 功函数求导法功函数求导法.开始时开始时1=2=0, )cos 2 cos() 2 ()cos1 ( 2 ),( 2 2 11 2 121 1 121 L L L Lgm L gmw )sinsin( 2211 LLF 111121 1 1 1 1 cossinsin 2 FLLgm L gm w Q 222 2 2 2 2 cossin 2 FL L

10、 gm w Q =0 =0 gm F 2 2 2 arctan gmgm F 21 1 2 2 arctan 1 高等数学中多元函数偏导数高等数学中多元函数偏导数的实质是什么？的实质是什么？ 令令1=0、20（图（图b） 2222 22 22 cos)90cos( 2 LF L gmrFrgmW BC 22222 2 2 cossin 2 1 FLgLm W Q bca 解法解法2: 矢量分析法矢量分析法. =0 gm F 2 2 2 arctan 令令10、2=0（图（图c） 11111121 11 1 cos)90cos()90cos( 2 LFLgm L gmW bca 11112111

11、 1 1 cossinsin 2 1 FLgLmgLm W Q =0 gmgm F 21 1 2 2 arctan 解法解法3: 坐标解析法坐标解析法. )cos(sin 2 1 111 jiLrD )sin(cos 2 1 111 jiLrD D rgm 1 2 1 ) sin (cos 2 1 ) ( 1111 sinLgmjiLjgm 1 1 cos 2 L yD 11 1 sin 2 L yD )cos 2 cos( 2 2 11 L LyC )sin 2 sin( 22 2 111 L LyC )sinsin( 2211 LLxB )coscos( 222111 LLxB 解解 2

12、3 FxFyFz ixiiyiizi ()0 DCB m g jy jm g jy jF ix i 12 ( )( ) 0 m gm gFLm gFL 112111122222 ( 1 2 sinsincos)( 1 2 sincos)0 00 D y L 2 sin 1 11 C yL L 111 2 22 (sin 2 sin) B xLL 111222 (coscos) (讲解完毕讲解完毕) 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 18 例例12.4-4 匀质圆轮半径为匀质圆轮半径为r,重量为重量为m1g.三角块重量为三角块重量为 m2g,倾角

13、为倾角为,放在光滑水平面上放在光滑水平面上.圆轮和三角块之间有摩圆轮和三角块之间有摩 擦擦,只能发生相对纯滚动只能发生相对纯滚动.系统在推力系统在推力F1、F2共同作用下处共同作用下处 于平衡静止状态于平衡静止状态,求求F1、F2的大小的大小. 12.4 例题讲解例题讲解2（6-4） 解法解法1 功函数功函数求求导法导法.两自由度系统两自由度系统,以以s和和为参数为参数, )sin()cos(),( 1112 rgmrFsFsFsw cos 12 FF s w Qs rgmrF w Q sin 11 令令Qs =Q =0 F1=m1gsin 、F2=0.5m1gsin2 图1 图2图3 解法解

14、法2 功函数偏导法功函数偏导法. 0s00sin 11 rFrgmwsin 11 gmF 0s00cos 21 sFsFw 2sin5 . 0 12 gmF (讲解完毕讲解完毕) 图1 图2图3 22 12.4 多自由度多自由度保守系统的平衡保守系统的平衡（6-5） 与单自由度保守系统相类似与单自由度保守系统相类似，多自由度保守系统也只能在系多自由度保守系统也只能在系 统势能驻点处出现静止平衡状态统势能驻点处出现静止平衡状态，在势能极小值位置的平衡是在势能极小值位置的平衡是 稳定平衡稳定平衡，在势能其他驻点位置处的平衡是不稳定平衡在势能其他驻点位置处的平衡是不稳定平衡（包含包含 在势能常量位置

15、处的平衡在势能常量位置处的平衡，即随遇平衡即随遇平衡）。 24 例例12.2-3 匀质细杆匀质细杆1、2长度长度L1=2m，L2=1.2m，杆重，杆重m1g=20N ，m2g=12N，夹缝墙间距，夹缝墙间距a=2.6m。系统在竖直平面内处于受力。系统在竖直平面内处于受力 平衡状态，求平衡状态，求、角的值。角的值。 sin 2 sin 2 2 2 1 1 L gm L gmV aLLcoscos 21 6 . 2cos2 . 1cos2 sin2 . 7sin20V1 2 06 . 2cos2 . 1cos20 0sin2 . 1cos2 . 70 0sin2cos200 F F F 86288

16、4.11 829337.26 129728.40 F(, , )= V+ f，f=2cos+1.2cos-2.6 6 . 2cos2 . 1cos2 sin2 . 7sin20V1 2 3 例例12.2-3 匀质细杆匀质细杆1、2长度长度L1=2m，L2=1.2m，杆重，杆重m1g=20N， m2g=12N，夹缝墙间距，夹缝墙间距a=2.6m。系统在竖直平面内处于受力平。系统在竖直平面内处于受力平 衡状态，求衡状态，求、FBx的值。的值。 )()sin2 . 7sin20()(axFVaxFVVw BxoBxo xxLLcos2 . 1cos2 coscos 21 问题实质：问题实质：x=2.

17、6是式（是式（4）所示多元函数）所示多元函数w在满足条件（在满足条件（5）情况下）情况下 的极值位置的极值位置 sin2 . 7sin20V1 4 5 fwxF),(xfcos2 . 1cos2 27 02120 00 021270 02200 x F F x F F F Bx cos.cos sin.cos. sincos 把把x=2.6带入方程组带入方程组，4 个方程含个方程含4个未知数个未知数（、 、FBx），求解得：求解得： =40.129728， =26.829337， =-11.862884， FBx=11.862884 (讲解完毕讲解完毕) 6 28 例例12.2-6 图示杆系中

18、图示杆系中AB=b, BC=CD=2b,AD=3b. AD水平水平,杆重如图所示杆重如图所示 .系统在竖直平面内系统在竖直平面内平衡平衡,求角度求角度、以以及及D铰对系统的约束力铰对系统的约束力FD 12.4 例题讲解（例题讲解（6-6） yFxFVVw DyDxo )sin(2)sinsin(2sin 2 bymgbbmg b mgV yFxFymgmgbVw DyDxo 2)sin2sin2sin5 . 2 ( bbbb3cos2cos2cosx ybbbsin2sin2sin 问题实质问题实质: x=3b、y=0位置是式位置是式(5)所示多元函数所示多元函数w在满足条件在满足条件(6)、

19、(7) 情况下的极值位置情况下的极值位置. 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数F=w+1 f1+2 f2, 其中其中 f1=bcos+2bcos+2bcos-x，f2=bsin+2bsin-2bsin+y. 1 2 3 把把x=3b、y=0带带 入入,7个方程含个方程含7 个未知数个未知数( 、 、FDx、 Fdy 、1、2),联立联立 求解即可求解即可。 0sin2sin2sin0 0cos2cos2cos0 020 00 0cos2sin2cos20 0cos2sin2cos20 0cossincos5.20 2 1 2 1 21 21 21 ybbb F xbbb F Fmg y F F

20、x F bbmgb F bbmgb F bbmgb F Dy Dx =68.173 =26.373 =65.280 FDx=0.749622mg FDy=2.628329mg 1= FDx 2=-0.628329mg =-68.173 =-26.373 =-65.280 FDx=-0.749622mg FDy=2.628329mg 1= FDx 2=-0.628329mg =-124.664 =36.690 =10.733 FDx=2.139816mg FDy=1.405609mg 1= FDx 2=0.594391mg =124.664 =-36.690 =-10.733 FDx=-2.139816mg FDy=1.405609mg 1= FDx 2=0.594391mg 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 对于静力学问题对于静力学问题，本章提供了多种求解方法：功本章提供了多种求解方法：功 函数求导法函数求导法、虚速度法虚速度法、速度瞬心速度瞬心-虚功原理法虚功原理法、虚虚 位移原理法位移原理法、确定广义力法等确定广义力法等，这些求解方法统称这些求解方法统称 为虚位移原理法或虚功原理法为虚位移原理法或虚功原理法，以示与本书第一篇以示与本书第一篇 提供的静力学问题求解方法之区别提供的静力学问题求解方法之区别。 (讲解完毕讲解完毕)