第11章 动量矩定理 (2).pdf

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1、 1 第第 11 章章 动量矩定理动量矩定理 11-3 已知杆 OA 长为 l， 重为 P F。 可绕过 O 点的水平轴而在铅直面内转动， 杆的 A 端用铰链铰接一半径为 R、重为 Q 的均质圆盘，若初瞬时 OA 杆处于水平 位置，系统静止。略去各处摩擦，求 OA 杆转到任意位置（用角表示）时的角 速度及角加速度。 （a） （b） (c) 题 11-2 图 解：取圆轮为研究对象，受力如图，应用动量矩定理 IA0,因此，0 0，在杆下摆过程中，圆盘作平移运动。研究整体 2P22P 0 3 3 3 l g QF l g Q l g F L 由动量矩定理 0 0 d d M t L 即 cos 2

2、2 coscos 23 3 P P 2P l QF Ql l Fl g QF 得 cos 2 3 3 2 P P l g QF QF 或 cos 2 3 3 2 d d P P l g QF QF t 作变换 O FP A Q YA XA Q 2 cos 2 3 3 2 d d d d d d P P l g QF QF t 分离变量 dcos 2 3 3 2 d P P l g QF QF 积分 dcos 2 3 3 2 d P P 00 l g QF QF 得 sin3 3 2 P P l g QF QF 11-8 均质圆柱体的质量为 4kg，半径为 0.5m，置于两光滑的斜面上。设 有与

3、圆柱轴线垂直、且沿圆柱面的切线方向的力 F20N 作用，试求圆柱的角速 度及斜面的约束力。 （a） （b） 题 11-8 图 解：圆柱与斜面光滑，则受力分析如（b）图示，设质心 O 不动，由相对于 质心的动量矩定理 MI OO 其中 2 2 1 mrIO，由rFM ，则得 )(rad/s20 5 . 04 402 2 1 2 2 mr F mr rF O O G 2 1 FN2 FN1 45 45 F 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 3 由质心运动定理 045cos45cos 045cos45cos 2N1N 1N2N GFFmaF FFFm

4、aF cyy cxx 解得 N)( 6 . 13 )N(9 .41 2 420 2N 1N F g F 11-10 一刚性均质杆重为 200N。 A 处为可动光滑铰链约束， B 为铰链支座， 如图示。 当杆位于水平位置时， C 处的弹簧压缩了 76mm， 弹簧常量为 8750N/m。 试求当约束 A 突然移去时，支座 B 的约束力。 （a） （b） 题 11-10 图 解：当约束 A 突然移去时，该刚性杆将绕 B 点转动，该杆受力如图（b）所 示，由运动分析 2222P2P 2 mkg9 . 1) 1 . 0( 8 . 9 200 1 8 . 9 200 12 1 )( 12 1 00 BG

5、g F l g F I GBaBGa B GyGx 由刚体绕定轴转动微分方程 23 P P 5rad/s97.1989 . 1/ ) 1 . 02006 . 010768750( / )( B B IBGFBCxk BGFBCxkI 由质心运动定理有 A C B FP FBy FBx Kx aGy aGx G 4 P P PP 0 FxkFa g F a g F FFa g F ByGy GxBxBxGx 解得 N59 107687502001 . 0975.198 8 . 9 200 3 P P xkFBG g F FBy 11-17 在题 11-17 图所示位置时，软绳 BD 水平，梁 A

6、B 静止。若在梁之 A 端作用一水平拉力F1200N， 试求此瞬时绳的张力， 梁与地面的摩擦系数f0.3。 计算时，AB 梁可视为均质细长杆，m100kg，l3.0 m。 解：以 AB 为研究对象，受力如图（2）所示，由平面运动微分方程得 T FFFma fCx (1) mgFmaCy N (2) 45sin 2 45cos 2 )( NT l F l FFFI fC (3) 补充方程 Fff N F (4) 写出运动学补充方程，以 A 为基点，B 为动点，由于初瞬时 AB 杆的速度为零， 则 B 点加速度在铅垂方向，如图（c）所示 laBA BAAB aaa 向水平方向投影 2 2 2 2

7、0 l ala AA 以 A 为基点，C 为动点，则 2 l aCA CAAC aaa l l aa ACx 4 2 2 2 2 （） (5) 5 l l aCy 4 2 2 2 2 （） (6) （a） （b） （c） 题 11-17 图 将(5)、(6)代入(1)、(2)和(4)式，可得 lmmgF 4 2 N (7) lmmgfFf 4 2 (8) A C B aA aCA aA aB aA aBA B 45 C A Ff FN F mg aC FT F 6 lmFFF f 4 2 T (9) 将(7)、(8)、(9)代入(3)式，解得 2.403 l/s 将代入(7)、(8)、(9)式

8、，解得 N F1234N Ff370N N575 T F 11-28 题 11-28 图所示质量为 4kg 的矩形均质板，用两根等长的不变形的 软绳悬挂在图示位置 （AB 水平） 。 该板处于静止状态时， B 端的绳子突然被剪断， 试求（1）此瞬时该板质心的加速度及 A 端绳子张力。 （2）若将两绳换成弹簧， 在 B 端的弹簧突然被剪断时，质心加速度及 A 端弹簧张力将如何？ 解：首先研究软绳悬挂的均质板，受力图如（b）所示。应用质心运动定理 和相对质心的动量矩定理，即平面运动微分方程为 0 Cx ma (1) T FmgmaCy (2) 25 . 0 T FIC (3) （a） （b） C

9、mg B A FT y B x C A FT aA anCA aCA mg aA 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 7 （c） （d） 题 11-28 图 分析板的运动。在初瞬时，0, 0 AA av。以 A 为基点，C 为动点，加速 度矢量图如图（c）所示， CA n CAA n ACyCx aaaaaa 其中 0, 0, 0 n A n CACCyCx aaaaa 所以 25. 0coscosACaaa CACyC 联立求解得 N52.11 m/s92 . 6 17 12 25. 017 12 T 2 F ga g C 再研究用弹簧悬挂的均

10、质板，如图（d）所示。弹簧被剪断前，弹簧力 mgF 2 1 T ，剪断瞬时，弹簧的变形量未变，弹簧力仍为mgF 2 1 T 。列质心运动 定理的两个方程 T 0, 0 Fmgma ama Cy CxCx 即 得 2 g aa CyC 4.9 m/s2 在这两种情况下， 质心的加速度大小不相等， 是因为在剪断绳和弹簧的瞬时 相当于给板一个冲量， 只不过弹簧不是刚性约束， 或者说， 弹簧还未来得及变化， 这个过程已完结，弹簧力 T F仍为mg 2 1 。 11-33 题 11-33 所示图示机构中，均质圆盘 A 和鼓轮 B 的质量分别为 m1 和 m2，半径均为 R。斜面倾角为。圆盘沿斜面作纯滚动

11、，不计滚动摩阻并略去 软绳的质量。如在鼓轮上作用一力矩为 M 的不变的力偶，求(1)鼓轮的角加速度； (2)轴承 O 的水平约束力。 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报 ：奉献教育（店铺） 8 （a） （b） （c） 题 11-33 图 解： （1）对系统进行整体受力分析，主动力元功之和为 d)sin(sinddd 11 gRmMRgmMW 动能增量为 2 1 222 2 2 1 2 1 2 dd AAAB vmIRmT 运动学补充条件，圆盘 A 纯滚动 Rv AA 且 BABA RR 所以 R A FN F mg aA FT FT B M O m2g R FOy

12、 FOx 9 BBAB RmmRmRmTd)3( 2 1 4 3 4 1 dd 2 21 22 1 22 2 根据动能定理的微分形式 WTd 得 t Rmm t gRmM B B d d )3( 2 1 d d )sin( 2 211 解得 2 21 1 )3( )sin(2 Rmm gRmM B 即为鼓轮角加速度。 （2）分别研究圆盘 A 和鼓轮 B，受力如图（b） 、 （c）所示。对 A，由平面 运动微分方程 RmammgFF A 11T sin RFRmIA 2 1 2 1 所以 RmgmF 11T 2 3 sin 以轮 B 为研究对象，由质心运动定理 gmFFOy 2Tsin 0 cos0 T FFOx 解得 Rmm MgRmm F Rmm gRmMm gmgm gmRmgmF Ox Oy )3( )cos3cossin( )3( )sin(3 sin 2 3 sin 21 21 21 1 2 2 1 21 2 1