概率论与数理统计习题3详解.docx

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1、一、第三章习题详解:3.1设二维随机向量(X,y)的分布函数为：/(x,y) =1 2一27+2”,0,x 0, 0,其他求产lvX2,3y5 .解:由于 F(2,5) = l-2-2-2-5+2-7,尸(1,5) = 1 2- 一2一5+2一6尸(2,3) = 1 - 2-2 - 2-3 + 2-5,b(1,3) = 1 _ 2- 一 2-3 +所以 P(1 X 2,3 V 0, 0, ，其他争论x,y的独立性.解：由于 Fx (x) = lim F(x, y) = - e-x (x0) yKOFy(y) = lim F(x,y) = l-ey (y 0)由于Fx(x)FY(y) = (1-

2、 *)(1 一 e-y) = 1- ex - e-y + e-u+y) = F(x9 y) (x09y 0) 所以，x与y是相互独立的。3.19 设x与y是两个相互独立的随机变量，并且均听从区间(0,1)上的匀称分布，求x+y 的概率密度函数.解：由于x与y均听从区间(o,i)上的匀称分布，故x与y的边缘密度函数分别为：fx(x) =1 0xlJl 0ylo其他人)jo其他记2 = 乂 +工由于X与y是两个相互独立的随机变量，依据书中72页()式,Z的概率密 度函数可以写为/+COfz(z)= fx(x)fY(z-x)dx当0 z 1时，假设0 x v z ,那么上(z) = 公=z ；假设x

3、0或xNz,被积函数为0,此时明显有fz(z) = 0.当 Izv2 时，假设 z-l尤 1,那么人(z) = j ldx = 2- z ,假设 xz-l 或 xNl,被积函数为0,此时明显有f7(z) = 0；p+coz的其他情形,明显有fz(z) = fx(xfY(z-x)dx=0.综合起来，有 J 00(z, 0 z 1,fz(z)= 2-Z, lz2 其他此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要留意的一点是，当lz2时，积 分区域要分成两个局部.3.20设X与y是两个相互独立的随机变量，概率密度函数分别为/x(x)= /x(x)= 0,求x+y的概率密度函数.解：记2 = 乂

4、 + 丫,由于X与丫是两个相互独立的随机变量，依据书中72页o式, z的概率密度函数可以写为人(z)= fx(x)fY(z-x)dx,于是有/z(Z)= /z(Z)= 0,z x其他e 6 edx 6其他e 3(1- 6) z 00其他3.21 设二维随机向量(x,y)的概率密度函数为于(x, y)=(2 x y), 0 x 1,0 1,其他求2 = 乂 + 丫的概率密度函数.解：依据书中72页()式,Z的概率密度函数可以写为当0zl时，假设 0xz,那么 fz(z)= (2-x-y)dx= (2-x-(z-x)dx = (2-z)x=(2-z)z,假设x0或xz,被积函数为0,此时明显有人(

5、z) = 0；当lzv2时，假设zIvxvl,那么 1yz(z) = J (2 = j (2 -x-(z-x)dx = (2-z)x=(2-z)2,假设xz 1或被积函数为0,此时明显有人(z) = 0；z的其他情形，明显有人(z) = 0 .综合起来，有，z(2-z), 0 z 1,1yz(z)= (2 z)?, lz2、0, 其他3.22 设随机变量XUQM Y听从参数为1的指数分布,并且X与丫相互独立,求maxX,Y的概率密度函数.解：由于X。0,1,所以分布函数为0,x 0,Fx(x) = X, 0 x 1.由于y听从参数为1的指数分布，所以分布函数为4(y) =4(y) =-ey.

6、y 200,y 0,X与y相互独立，故maxX,y的分布函数为0, z 0,%(z) = Fx (z)4(z) = z(l Z), 0 z 1,(1 c, zl,对分布函数求导以后得maxX,y的密度函数0, z 0,4ax(z) = /(z) = l,3.23设随机变量X。1,丫U0,2,并且X与丫相互独立，求minX,Y的概率密度函数.解：由于X。0,1,所以分布函数为0,x0,Fx (x) = x, 0 x 1.由于y。0,2,所以分布函数为9,y 0,片(y)= Jy 0yiJyi.X与y相互独立，故maxX,Y的分布函数为0, z 0,5n (z) = 1 1 弓1 K (Z) =

7、： z(3 z), 0 z 1,Z1,对分布函数求导以后得maxX,y的密度函数1.5 z, 0 zl,f .(Z)= b. (z) = 47m,nV) minV)0, 其他3.24 设随机变量X, X2,X相互独立,并且都听从正态分布N（4,4）,求 （X1,X2，X）的概率密度函数.解：由于X卜X2，,X相互独立,依据P76公式（），易知Z = X1 + X2-i卜XN( +4* + b； T卜 W), 于是(XX2,Xn)的概率密度函数为：之(七-)21=1/（七,，五) = 7% (%)/(%)&区)=C 2标n(2万)%其中，一oo xi 800) = 1 -P(X 0立的随机变量，

8、且有相同的概率密度函数/（x） = 4,求0,%0x 0/(*)= 八0,x 00,x 0,二、第三章定义、定理、公式、公理小结及补充:(1)联合分布 离散型假如二维随机向量4的全部可能取值为至多可列个有序对(x,y),那么称j为离散型随机向量。设右二(X, Y)的全部可能取值为(七.，X )。j = 12)，且大事4二(七，兀)的概率为Pa,称P(X,Y) = (x,., y.) = Pij (/, j = 1,2, .)为右二(X,y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布 有时也用下面的概率分布表来表示：二yi yj X1PhP12 Pu X2P21P22 P2J * * * * *

9、XiPil Pij * * *这里夕叮具有下面两共性质: (1)Pi?。(i, j= 1,2,);ZZ Pij =上i j连续型对于二维随机向量J =(x,y),假如存在非负函数/(X, y)(-oo X +00,-00 y +oo),使对任意一个其邻边 分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X, Y)|axb,cyd 有P(X,y)wO = J7(%,y)公办， D那么称J为连续型随机向量；并称/(演y)为片(X,丫)的分布密度或称为(x,y)的联合分布密度。分布密度/(x, y)具有下面两共性质：/(%,y)20;/(x, y)dxdy = 1.-QC J-CO(2) 二维随机变量的本质(

10、2) 二维随机变量的本质4（x=%y = y）=Kx=xny = y）(3) 联合分布 函数设(x,y)为二维随机变量，对于任意实数%，入二元函数F(x,y) = PXx,Yy称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函 数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以大事(外,692)|-00X(691) X,yo K(692)的概率为函数值的一个实值函数。分布函数b(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0 F(x, y) 不时，有尸(孙丁)之尸(，y)；当为 %时，有尸(力,必)之尸有，)；(3)尸(x,y)分别对x和y是右连续的，即F(x, y) = F(x + 0,

11、 y), F(x, y) = F(x, y + 0);(4) F(-oo,-oo) = F(-oo,y) = F(x,-oo) = 0,F(+oo,+oo) = 1.(5)对于 x2, % Fg, y2)-F(x2,必)一尸(王，为)+/(为，必)之(4)离散型与连 续型的关系P(X = x, Y =P(x X x + dx, y Y y + dy) f(x, y)dxdy(5)边缘分布离散型X的边缘分布为P P(X =巧)=Z Pij (Lj = 1,2,)； jY的边缘分布为P.j =尸(V =匕)=Z Pij (i，J = 1,2,)。 i连续型X的边缘分布密度为r+oo fx(x) =

12、 J/(x, y)y；Y的边缘分布密度为/-KOfY(y)=J-00(6)条件分布离散型在六石的条件下，Y取值的条件分布为Pi.在人为的条件下，X取值的条件分布为P(X = ” = x)= Ap.j连续型在Y二y的条件下，X的条件分布密度为 )=0”;在X二x的条件下，Y的条件分布密度为八(7)独立性一般型F(X, Y)=Fx(x)FY(y)离散型Pij = Pj有零不独立连续型f(X, y)=fx(x)fY(y)直接推断，充要条件：可分别变量正概率密度区间为矩形二维正态分 布一 /、2/2 -/、12(1)6 J6b21 2 J/(x,y)=i，2g- pp =0随机变量的 函数假设Xb X

13、2, -Xm, Xm+l,Xn相互独立,h, g为连续函数，那么： h (Xl, X%Xm)和g (Xm+1,Xn)相互独立。特例：假设X与Y独立，贝|J： h (X)和g (Y)独立。例如：假设X与Y独立，那么：3X+1和5Y-2独立。（8）二维匀称分 布设随机向量（X, Y）的分布密度函数为(羽 y)eDf(x, y)=0,其他其中Sd为区域D的面积，那么称（X, Y） U （D）o听从D上的匀称分布，记为（X, Y）图3. 1图3. 3故(x,y)的概率分布为XY13001/813/8023/80301/83.4设二维随机向量(x,y)的概率密度函数为:a(6-x-y),0,01,02,

14、 其他(1)确定常数；(2)求 px4o5y1.5 (3)求P(X, Y) e D，这里。是由x = 0,y = 0,x+y = l这三条直线所围成的三角形区域.解:r+oo 广+oo/! 02(1)由于 J J J(x, y)dxdy = )(6 - x - y)dxdy“g(6 x y)2 dx = -|j(6-x)2 -(4-x)26k=2。j (5 - x)dx = 9a+co-oo于(x, y)dxdy = 1,得 9q=1 ,故 q=1/9.-00p0.5 fl .5 1P(X0.5,r0，1川1是5个参数，那么称(X, Y)听从二维正态分布，t己为(X, Y)N (由边缘密度的计

15、算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，即 xn(i，b；),yN(2,bW但是假设XNNQb；)，(x，y)未必是二维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y依据定义计算：Fz(z) = P(Zz) = P(X + Y 0,我们称随机变量w听从自由度为n的分布,记为WZ2(/2), 其中n4-001x2 exdx.o所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。才2分布满意可加性：设Z = Z匕/I% +% +, + %)t分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数Y/n的概率密度为二、-二、-(X) t 0, y0,其他(1)求分布函数

16、;(2)求 pyx解：求分布函数尸（x,y）;当x0,y0,F(x, y) = J： J： f (忧,v)dudv =J： 2人2 办=2e-2udu e-vdv =(1- 2x)(l- e-y)其他情形，由于/(x,y)=0,明显有2x,y)=0。综合起来，有/(羽y)=/(羽y)=（1-产）（1一吨,0,x 0, y0,其他(2)求 pyxPX y:我2人2心)公=2e ydye2xdjcr +00 71Q +oo |=e3ydy =ey -J。303f(x, y)=f(x, y)=3.6 向一个无限平面靶射击，设命中点（X,y）的概率密度函数为 一二，一 %+8, (l + x +y )

17、求命中点与靶心（坐标原点）的距离不超过Q的概率.解：P(X2 +Y2 a2) =112x +ydrc 111=271 21 + 广aJ =1 0a2设二维随机向量（X,y）的概率分布如下表所示，求X和y的边缘概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02解：由于 P（X = 1） = 0.15 + 0.25 + 0.35 = 0.75p（X = 3） = 0.05 + 0.18 + 0.02 = 0.25所以，X的边缘分布为X13P0.750.25由于 p（y = 0）= 0.15 + 0.05 = 0.20p（y = 2） = 0.25 + 0.18 = 0.43p

18、（y = 5） = 0.35+ 0.02 = 0.37所以，丫的边缘分布为Y025P0.200.430.37设二维随机向量(x,y)的概率密度函数为f（x, y） = 2。,0x2,01,其他求边缘概率密度/x(x),/y(y).解：由于，当 0%2 时，fx (x) = j f(x, y)dy = xy2dy = 3 =搭；其他情形,明显/x(x) =。,所以，x的边缘分布密度为x/2 0x2fx W = | 0其他又由于，当OWyWl时、/y(y)=18/(乂、)力；=(_|孙2公=1%2/2=3;/其他情形，明显力(y) = 0.所以，丫的边缘分布密度为力(、)= 3y2o 1其他设二维

19、随机向量（X,y）的概率密度函数为4.8y(2-X),0, 其他求边缘概率密度/x（x）,/y（y） 解，积分区域明显为三角形区域，当。xl时，0yx,因此7X（X）=匚 /（X，y）dy = 4.8X2 -x）dy = 2.4（2 一 x）y2卜=2.4（2 - x）/ ；2.4Y(2 x) 0xl于x（x）=其他情形，明显/x（x）二 所以，X的边缘分布密度为其他同理，当0yWl时，因此4(y) = J /(x,y)dx = j 4.8y(2 x)dx = 2.4y(4x-x2) = 2.4y(3-y + y2)其他情形，明显4（y） = 0.所以，y的边缘分布密度为人（y） =人（y）

20、=2.4y(3-4y + y2)00yl其他设二维随机向量（x,y）的概率密度函数为I C, X2 V X, 小以外，1他（1）确定常数C的值.（2）求边缘概率密度fx （%）, 4 （y） .解：由于=23 1=c （x-x2）dx = c（- - -） = = J。23 （） 6所以c = 6.（2）由于，当0xKl 时，/x（x）= J：/（x,y）dy =cdy = 6（x ，）所以，X的边缘分布密度为Y025P1/51/37/15fx (%)=fx (%)=6(x-x2) 0 x 1又由于，当0yl时，力(y)=1J-oo所以，y的边缘分布密度为其他0/y(y)=其他3.11求习题3

21、.7中的条件概率分布.解：由T3.7知，X、V的边缘分布分别是X13P0.750.25Y025P0.200.430.370.25 1(i)当x=i时，y的条件分布为0.15 1p(y = 21 X = 1)=0.75 50.35 _ 7075 -15p(y = 21 X = 1)=0.75 3(2)当X=3时，y的条件分布为p(y = 01 X = 3)=0.051小 0.18 18= r(Y = 2 X = 5)=0.25 50.25 250.02 _ 2025 - 25Y025P1/518/252/25当y=o时，x的条件分布为p(X=3|Y = 0) =噌/0.20 4p(X=3|Y =

22、 0) =噌/0.20 4p(x = i|y = o)= = 30.20 4X13P3/41/4(4)当Y=2时，X的条件分布为n 250 1Rp(x = 11 y = 2) = y = 0.581 P(X = 31 y = 2) = U = 0.4190.430.43X13P0.5810.419当丫=5时，X的条件分布为p(x = 11 y = 5)=0.946 p(x = 31 y = 5)=呼=0.054 0.37037X13p0.9460.054当观看到x=x（ox 1）时，y在区间。,1）上当观看到x=x（ox 1）时，y在区间。,1）上3.12设X在区间（0）上随机地取值, 随机地

23、取值，求Y的概率密度函数.解：由于fx（X）=1 0 x 10 其他fyx(yx)= h-xy x0 其他所以（X,y）的联合密度为于是于是/ (x, y) = fx(x)- fyx (y = 0xl,xyl其他r-Ko”11fy(j) = y)dx = f 6k = -ln(l-)；) = ln- (0 y 1)J-8JO 1 - x1 - y故y的密度函数为Inl y0o y 1其他3.13设二维随机向量（x,y）的概率密度函数为%2 +0,y, 0xl,0y2, 其他又当0yfxwI y)二/(羽 y)fy(y)6x2 + 2xy=v 2+y00xl其他在X=x的条件下Y的条件概率密度为

24、fyx (y I X)=f(x, y)/x(x)3x+ y6x + 200y2其他3111ii 1 yP(Y-x=1)= fm(y1)dy = dy3“210 103171=20 40 403.14问习题3.7中的X与丫是否相互独立？ 解：由T3.7知，X、y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37PX = 1= 0.75, PY = 2 = 0.43，而PX = 1,Y = 2 = 0.25，明显PX=1 xPy = 2w8乂=1,丫 = 2 = 0.25,从而乂与Y不相互独立.3.15设二维随机向量（X,y）的概率分布如下表所示，求X和y的边缘概率分布.X

25、Y02510.150.250.3530.050.180.02问。力取何值时,x与y相互独立?解：由于 P(X =) = - + - + 6 9 18P(Y = 2) = - + a 39要x和 y相互独立，那么 p（x = i,y = 2）= p（x = i）p（y = 2）L1),得19 3 93 9P(X=1) + P(X=2) = 1 ,得p(x =2) = 1一 P(X=1) = 1L2工 + + = 2,得人=2 _L_ =333 393.16问习题3.8和习题3.9中的X与丫是否相互独立？解：由习题3.8,二维随机向量（X,y）的概率密度函数为325孙，0,0x2,Qyl,其他X的

26、边缘分布密度为fx （x）=x120丫的边缘分布密度为 其他3v 0 vl丑）=；蠢明显有qMWOx与y相互独立.由习题3.9,维随机向量（X,y）的概率密度函数为4.8y(2-x), 0xl,0 x, g)=。,其他X的边缘分布密度为,/、 2Ax2-x) 0%10 其他y的边缘分布密度为fy(y) =2.4y(3-4y + y2)00 y1二IT，明显有万（，），x与丫不独立.其他3.17设二维随机向量（x,y）的概率密度函数为xexr,0 x, 0 0)f-Kof+co1d + y)2dx（yo） xd-e-x) = (-xe-x +)(1+J)2(1+J)2(l + y)2 J。(l + 。对于x0,y0,都有 /（x,y） = /x（x）4（y），所以，X与y是相互独立的.(1) 一个元件使用到800小时时没有一个失效的概率为到800小时时没有一个元件失效的概率为(eL2)6=e-7.2。(n求条件概率密度fxyxyfYx (引x),以及P1 7 X = /.解：由于，当0Kxl时，,fx(x) = j /(x,y)dy = J (x2 + )dy = 2x2 + x2时，力(y) = A/(%,yW% = f (Y + 5粒=! + 5所以，在y=y的条件下X的条件概率密度为