工程传热学：07 对流换热原理.docx

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1、廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿第四章 对流换热原理廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿廿在绪论中已经指出，对流换热是发生在流体和与之接触的固体壁面之间的 热量传递过程，是属于发生在流体中的热量传递过程，有着广泛的工程应用领 域。由于在这一过程中流体的运动，热量将主要以热传导和热对流的方式进行。 本章简述对流换热过程的基本原理，介绍确定外表传热系数h的方法。首先，将质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本定律与斯托克斯粘性定律 和傅里叶热传导定律相结合，并应用于流体系统，导出支配流体速度场和温度 场的控制方程，即对流换热微分方程组。其次，运用相似理论及量纲分析方法 对换热过程的参数进行归类

2、处理，将物性量，几何量和过程量按物理过程的特 征组合成无量纲数，以减少所研究问题的变量数目，给求解对流换热问题带来 较大的方便；并介绍通过方程的无量纲化和实验研究而得到常用准那么及准那么关 系式的方法。再次，引入边界层的概念，对完全的对流换热微分方程组进行简 化，得出特定条件下对流换热问题的分析解。最后，对于紊流流动换热现象的 特征及其处理方法进行简单的介绍。4-1对流换热概述1对流换热过程对流换热是发生在流体和与之接触的固体壁面之间的热量传递过程，是宏 观的热对流与微观的热传导的综合传热过程。由于涉及流体的运动使热量的传 递过程变得较为复杂，分析处理较为困难。因此，在对流换热过程的研究和应

3、用上，实验和数值分析的处理方法是常常采用的。下面我们以简单的对流换热 过程为例，对对流换热过程的特征进行粗略的分析。图4-1给出了一个简单的对流换热过程。它表示了流体以来流速度心和来流温度流过一个温度为几的固体壁面的流动换热问题。这里选取流体沿壁面 流动的方向为坐标、垂直壁面方向为y坐标。由于固体壁面对流体分子的吸附作用，使得壁面上的流体是处于不流动或 不滑移的状态（此论点对于极为稀薄的流体是不适用的）。又由于流体分子相互 之间的穿插扩散和（或）相互之间的吸引造成流体之间的相互牵制。-98-第四章对流换热原理进行能量平衡分析而得出。对于二维不可压缩常物性流体流场而言，微元体 海广1在热力学上属

4、于一非稳定流动的开口系统，其能量平衡关系式为：c_dU“1 2、5+3c + sz)ut1 ?一 Qmjn ( + c + gz)加 + Wt(4-7)Qv + dy dx A办)dydxSQr 八 j i =-dx dy- Vx )图4-5以传导方式进入微元体的热流量式中。为以传导方式进入微元体的净的热流量；。为微元体的热力学能；利为质量流率，下标沅及。力分别表示流进及流出；/z表示流体的比焰；为流 2体的动能即工。2=!(2+产)；gz为势能；叱表示微元体对外所作的净功。考 22虑到流体流过微元体时动能及势能的变化可以忽略不计，且流体也不对外作功, 上式可以简化为：c_dU11。一石十明画

5、3明明in(a)下面我们将导出微元体能量方程相应的各项。(1)以热传导方式进入微元体的净的热流量由图4-5可知，x方向和y方向净导入微元体的热流量分别为-辿公和 dx等右。引入傅里叶定律有，Qx =丸办和2,=-2史公1,代入上式 3可以得到单位时间内总的净导入微元体的热流量:飞2t02H dxdy-1丹)(b)(2)流体流出、流进微元体所造成的熔差X方向为例,单位时间内通过截面X处流入微元体的焰为小=pcptudy - 1 ,通过截面x+dx处流出微元体的焰为H=同理,dxdudx、dx dyl,两者相减，得x方向流出微元体的净焰差为/Hx+dx - Hx = pCpdt dQUF tdx

6、dx)dxdy-1y方向上流出微元体的净焰差为dxdy-1于是,单位时间内流体流出、流进微元体所造成的焙差为Qm.outout - Qm,inn - pdt 。八u1-v+tdx dydu Sv1dx dy)dxdy-= PCp(dtu1-vdx dy)dxdy-1(c)应该指出，在上式的化简过程中也利用了连续性方程和忽略了高阶小量。(3)微元体内流体的热力学能的变化量单位质量流体的热力学能为w =如果利用流体不可压缩的条件，近似认为金=J，那么单位时间内微元体内流体的热力学能的变化为dU = pcp 牛 dxdy 1(d)(4)能量方程将所导出的各项(b)、(c)、(d)代入微元体能量平衡方

7、程(a),经整理得出dtdtdt、F U一 + U一ydrdxdy亚、W%2/2 ,(4-8)这就是二维不可压缩常物性流场的能量微分方程，对于稳态流场方程变为-100-第四章对流换热原理(4-9)从前面的推导过程不难看出，方程式(4-8)各项的物理意义是十清楚确的。 方程左边三项中，第一项为流体能量随时间变化项，另外两项为流体热对流项; 方程右边项为热传导(热扩散)项。当流体不流动时，流体流速为零，能量方程便O由此不难看出，固体中的dt (a2 1 a? 退化为导热微分方程,即叫导发 明 热传导过程是介质中传热过程的一个特例O4层流流动换热的微分方程组上面我们基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的

8、原那么分别导出了常物性不 可压缩流体二维层流流动与换热的连续性方程、动量方程和能量方程，它们是 支配对流换热过程的场方程。在此可以归纳如下：du du 八+ =0；dx dydu du duF UF V dx dySudv加)厂pF UF V二rI dr dxdy . /dt dt dtox/d?u 1：dx2 dy2 ?/ d2u d2uT -ITdx2 a 2I )(4-10)一 + U 一 + U 一dr dx dye2t 叫、,dx2 Oy 2对于给定的流场在相应的边值条件下，联立求解连续性方程和动量方程可 以获得流场的速度分布和压力分布。在速度场的情况下求解能量微分方程,(为二0(为

9、二0最终可以获得流场的温度分布。此时，再引入换热微分方程/z = -22 Ar dn壁面法线方向的坐标)，最后可以求出流体与固体壁面之间的外表传热系数，从 而解决给定的对流换热问题。十分令人遗憾的是，对于大多数对流换热问题，尤其是流体流动状态从层 流转变为紊流之后的换热问题，采用直接求解微分方程的分析方法几乎是不可 能的。因此，对流换热问题的求解往往是一件较为复杂的工作。通常求解对流 换热问题有如下几个途径：(1)分析求解：主要针对一些简单问题，如二维的边界层层流流动、库特流动和管内层流流动换热等，都可以通过数学分析的方法来求解。具体的求解方法读者可以通 过阅读传热学方面的书籍而获得。(2)实

10、验研究：由于对流换热的复杂性，实验研究是求解对流换热问题的主要方法，尤其 是对于紊流换热问题、有相变的换热问题，或者几何结构复杂的换热问题，实 验求解几乎是唯一的途径。虽然，数值分析方法得到开展，但其结果还是要通 过实验来加以验证。因此，本教材将主要讨论对流换热过程的实验研究方法和 所得的实验关系式的应用。(3)数值求解：随着计算机应用的普及和数值计算方法的开展，对流换热过程的数值分析 越来越成为一种主要的求解方法，其结果的可信度越来越高。数值求解方法主 要是将对流换热方程组在离散的控制体中变为代数方程组，然后编制出相应的 计算机程序，通过计算机求出离散的温度分布，用于表示计算区域连续的温度

11、分布。由于对流换热过程的数值分析较为复杂，作为一本入门的教材不可能对 其进行讨论，有兴趣的读者可以参阅流体流动和传热数值计算方面的文献。4-3对流换热过程的相似理论由于对流换热是复杂的热量交换过程，所涉及的变量参数比较多，常常给 分析求解和实验研究带来困难。为此，人们常采用相似原那么对换热过程的参数 进行归类处理，将物性量，几何量和过程量按物理过程的特征组合成无量纲的 数，它们常被称为无量纲准那么。这样做的结果不仅减少了所研究问题的变量数 目，而且给求解对流换热问题(包括分析求解、实验求解及数值求解)带来了 较大的方便。下面我们将具体讨论对流换热过程的相似分析方法。1无量纲形式的对流换热微分方

12、程组对于数学模型已经确立的对流换热过程，过程的相似分析是比较简单的。通常的做法是，首先选取对流换热过程中有关变量的特征值，将所有变量无量图4-6流体流过平板示意图图4-6流体流过平板示意图纲化，进而导出无量纲形式 的对流换热微分方程组。于 是，出现在无量纲方程组中 的系数项就是我们所需要的 无量纲数(或称:无因次数), 也就是无量纲准那么，它们是 变量特征值和物性量的某种 组合。从方程中不难看出， 流场中的任一无量纲变量均-102-102-第四章对流换热原理可表示为其余无量纲变量和无量纲准那么的函数形式。现在，我们以流体流过平 板的对流换热问题为例来进行换热过程的相似分析。流体平行流过平板的对

13、流换热过程如图4-6所示，来流速度为“8,来流温 度，平板长度L平板温度几，流体流过平板的压力降为他。对于二维不可 压缩流体的稳定流动，如果流体物性为常数，且忽略体积力项，按图中所示坐 标的流场支配方程为：du du 八十 =0；dx dyF VF Vdxdv p u dxduy dpy)dxduy dp+ v二y)eyd2+ 一Oyd2u d2udx2 个 2)(4-H)(dtPCp假设两个对流换热现象相似，它们的温度场、速度场、粘度场、热导率场、 壁面几何因素等都应分别相似，即要求在对应瞬间、对应点上各物理量分别成 比例。但由于各影响因素彼此不是孤立的，它们之间存在着由对流换热微分方 程组

14、所规定的关系，故各相似倍数之间也必定有特定的制约关系，它们的值不 是随意的。下面我们来寻找这些相似倍数之间的关系。今选取板长L,来流流速,温度差t =九-七和压力降、p = Pin _ Pout为变量的特征值，于是该换热过程的无量纲变量为：U = ulUg, v = v1uX=x/L, Y = y/L, p = p/5,。=-%)/(0,-口。用这些无量纲变量去取代方 程组中的相应变量，可得出无量纲变量组成的方程组：包+如 瓦灰L2L灰L2LTTdUAp dP (d2U d2uexdY)L dx 1 dx2 dY2 J叱+ V笆、dX dYyp dP 4% ( d2VTY lTdXd2Vy +

15、市,(4-11)PCLPCL0K+v 里dX dY)XM( 020 d2e1T -I TdX2 dY2从上式中不难看出，方程中的系数均由变量的参考值组成，它们各自表征2其所在项的物理特征，如也表征流场的惯性力；牛表征流场的粘性力；L1m2表征流场的热对流能量;”表征流场的热传导能量。把上式变成无L1量纲形式，有：dU . dV 八+=0dX dYTTdU eu dPU+ V=Eu+dX dYdV dVu+v=dX dYdX dYdX Re dXE邑+1 ( d2V d2VdY Re13Xd2& d2&T TRePrSX2 dY2)(4-12)在无量纲方程中出现了几个无量纲的准那么，下面将对这几

16、个无量纲准那么的 物理量组成和它们各自的物理意义加以说明：石 = A/(eO,定义为欧拉(Euler)数，它反映了流场压力降与其动压头之间 的相对关系，表达了在流动过程中动量损失率的相对大小。这也和流场阻力系 数的定义式比 在实质上是一样的，即Re = pujg = %/叭称为雷诺数，表征了给定流场的惯性力与其粘性力的比照关系，也就是反映了这两种力的相对大小，式中为流体的运动粘度。 利用雷诺数可以判别一个给定流场的稳定性，随着惯性力的增大和粘性力的相 对减小，雷诺数就会增大，而大到一定程度流场就会失去稳定，而使流动从层 流变为紊流。对于这里讨论的流体流过平板而言，当Re = 5x105左右时层

17、流流 动就会变为紊流流动。Re Pr =/x:puL/A = uL/a为另一个准那么，称为贝克莱准那么，记为人,它 反映了给定流场的热对流能力与其热传导能力的比照关系。它在能量微分方程 中的作用相当于雷诺数在动量微分方程中的作用。-104-第四章对流换热原理Pr = v/a称为普朗特（Prandtl）数，是贝克莱数和雷诺数之比，它反映了流体的动量扩散能力与其热量扩散能力的比照关系，是一个无量纲的物性准那么。这里再将换热微分方程/z=按流过平板相应的坐标系，采用上述X 3尸。的无量纲变量将其无量纲化,得至！ J Nu =adY式中Nm = hL/A，称为努谢尔Y=0寸，4为固体的导热系数。它们虽

18、然都图4-7 Nu和Bi准那么的物理意义特（Nusselt）数，它反映了给定流场的换热能力与其导热能力的比照关系。这 是一个在对流换热计算中必须要加以确定的准那么。此外，还可以定义斯坦顿（Stanton）数，St三型二=一,它是一种修正 RePrpc pu的努谢尔特数，其物理意义可视为流体实际的换热热流密度与可传递之最大热 流密度之比。在运用相似理论时，应该注意，只有属于同一类型的物理现象才有相似的 可能性，也才能谈相似问题。所谓同类现象，就是指用相同形式和内容的微分 方程（控制方程+单值性条件方程）所描述的现象。判断两个现象是否相似的条 件是：凡同类现象、单值性条件相似、同名已定特征数相等，

19、那么现象必定相 似。据此，如果两个现象彼此相似，它 们的同名相似特征数就相等。读者一定注意到，努谢尔特准那么N 与非稳态导热分析中的毕渥数比形式上 是相似的。但是，一定要注意，中的 1/为流场的特征尺寸，力为流体的导热 系数;而瓦中的心为固体系统的特征尺表示边界上的无量纲温度梯度，但前者在流体侧而后者在固体侧，如图4-7所 示。显然，这两个准那么的物理意义也是各不相同，而毕渥数所表征的是物体与 环境间的换热能力与其自身的导热能力之间的比照关系。2无量纲方程组的解及换热准那么关系式对方程式（4-12）无论采取什么方式求解，总可以得出如下形式的速度场和温 度场的函数形式：速度分布,U = fu (

20、Re, Eu, P,X,Y),V = fv (Re, Eu, P, X, /)；压力分布，P=fp(Eu,X,YEu = fe(Re);温度分布，0=%(Re,Pr,U,V,X,Y)。分析上面的函数关系，不难得到温度分布的最终表达式，= 为(Re,Pr,X,R),对其求X的偏导数，并令丫=0而得出，孚|=力(Re,Pr,X)= -N4.。如果取从0到X之间的No的平均值，应有丽;= %(Re,Pr)(4-13)从上式不难看出，在计算几何形状相似的流动换热问题时，如果只是求取 其平均的换热性能，就可以归结为确定几个准那么之间的某种函数关系，最后得 出平均的外表传热系数和总体的换热热流量。而使实验

21、研究的图4-8管内流动换热示意图；验数据处理时间是至关重要的。(图中小流体平均流速； =无量纲流体温度)，以推广应用于同一类型的流动换热问题中去。如，前面所讨论的流体平行流过平板的换热问题, 只要通过实验获得了相应的准那么关系式，就能对这样一类问题在选定特征尺寸 和特征流速之后利用该关系式来进行相应的换热计算。如果讨论的是流体在管内流动时的换热问题，如图4-8所示。在研究该问 题时，通常采用管道的内宜径d作为特征尺寸，而用管道内截面上的平均流速作为特征流速，相应的无量纲准那么为Nu = M2,Re = /卜对应的准那么关系式为N = /(Re,Pr)。该关系式也能通过实验研究得出具体的准那么关

22、系式，且能适-106-106-第四章对流换热原理用于同一类型的流动换热问题。3特征尺寸，特征流速和定性温度我们在对流动换热微分方程组进行无量纲化时，选定了对应变量的特征值, 然后进行无量纲化的工作，这些特征参数是流场的代表性的数值，分别表征了 流场的几何特征、流动特征和换热特征。这里再作一点分析。特征尺寸，它反映了流场的几何特征，对于不同的流场特征尺寸的选择是 不同的。如，对于流体平行流过平板选择沿流动方向上的长度尺寸；对于管内 流体流动选择垂直于流动方向的管内直径；对于流体绕流圆柱体流动选择流动 方向上的圆柱体外直径。特征流速，它反映了流体流场的流动特征，是可以参照的特征参数，且易 于确定。

23、不同的流场其流动特征不同，所选择的特征流速是不同的。如，流体 流过平板，来流速度被选择为特征流速；流体管内流动，管子截面上的平均流 速可作为特征流速；流体绕流圆柱体流动，来流速度可选择为特征流速。定性温度，无量纲准那么中的物性量是温度的函数，确定物性量数值的温度 称为定性温度。对于不同的流场定性温度的选择是不同的，这得根据确定该温 度是否方便以及能否给换热计算带来较好的准确性来选取。一般的做法是，外 部流动常选择来流流体温度和固体壁面温度的算术平均值，称为膜温度；内部 流动常选择管内流体进出口温度的平均值（算术平均值或对数平均值），当然也 有例外。4对流换热准那么关系式的实验获取方法由于对流换

24、热问题的复杂性，实验研究是解决换热问题的主要方法。在工 程上大量使用的对流换热准那么关系式都是通过实验获得的。这里对实验研究的 方法做一个简单的介绍。我们从无量纲微分方程组推出了一般化的准那么关系式而=/（Re,Pr）。但这是一个原那么性的式子，要得到某种类型的对流换热问题在给定范围内的具体 的准那么关系式，在多数情况下还必须通过实验的方法来确定。如何去进行实验? 如何测量实验数据？以及如何整理实验数据而得出准那么关系式？下面就以流体 流过平板的换热问题为例来进行简单的讨论。图4-9给出了平板在风洞中进行换热实验的示意图。相关的物理量标识在 图中。为了得出该换热问题的准那么关系式，必须测量的物

25、理量有：流体来流速 度心,来流温度电平板外表温度加，平板的长度L和宽度B,以及平板的加热量Q （通过测量电加热器的电流/和电压V而得出）。当我们获得这些物理量之后就 能够从热平衡关系式求出外表传热系数，即由Q = /.V = M九-晨得到h = IV/tw-tLBo图4-9平板对流换热实验装置图由于我们是在寻找准那么关系式，必须在不同的工况下获得不同的外表传热 系数值。所以在某一实验工况下测量上述物理量，并计算出外表传热系数与该 工况对应，然后改变工况又得出对应的另一个外表传热系数值。如此进行N次, 就可以得到一组对应数据如下：Nu、= h、LI入 u Re1 = uL/v Nu2 = /z2

26、L/2 o Re2 = u知 Lv 将它们无量纲化得Ny h3L/A o Re3 = uL/vLNii n n L ARe n on Lv如果认为准那么关系式有Nu = q Re这样的形式。这是一种先验的处理方法, 但是，这给拟合准那么关系式带来较大的方便。对此式两边取对数有， lg Nu = 1g q + nig Re ,从而使关系式变为线性关系式，如丁 = +心的形式。这 样就使整理实验数据变得较为容易。最小二乘法是常用的线性拟合方法，原理和计算公式简述如下：假定线性关系为丁 =。+小，做人次实验得到 = +加,，式中与假定关系2比较的偏差为，yj。为了使W值最小，应有卫=0,? = 0。

27、于 /=1dn da是得到求解。、N的方程式为：kkkkkZX+汇儿=Z%/y，吃毛+以=Z%i=i=i=i=i=l式中y=lg NUj, Xj= lgRez oA 大m-90-90-第四章对流换热原理图4-1对流换热过程示意图这种相互的牵制作用就是流体的粘性力，在其作用下会使流体的速度在垂直于 壁面的方向上发生改变。由于流体的分子在固体壁面上被吸附而处于不流动的 状态，因而使流体速度从壁面上的零速度值逐步变化到来流的速度值。同时， 通过固体壁面的热流也会在流体分子的作用下向流体扩散（热传导），并不断地被 流体的流动而带到下游（热对流），因而也导致紧靠壁面处的流体温度逐步从壁 面温度变化到来流

28、温度。这里，我们把流体在壁面附近的速度和温度分布也示 意性地表示在图4-1中。2对流换热过程的分类由于对流换热是发生在流体和固体界面上的热交换过程，流体的流动和固 体壁面的几何形状以及相互接触的方式都会不同程度影响对流热交换的效果， 由此也构成了许许多多复杂的对流换热过程。因此，为了研究问题的条理性和 系统性，以及更便于把握对流换热过程的实质，我们按不同的方式将对流换热 过程进行分类。然后再分门别类地进行分析处理。在传热学中对流换热过程的习惯性分类方式是：按流体运动是否与时间相关可分为非稳态对流换热和稳态对流换热； 按流体运动的起因可分为自然对流换热和强制对流换热；按流体与固体壁面的接触方式可

29、分为内部流动换热和外部流动换热； 按流体的运动状态可分为层流流动换热和紊流流动换热；按流体在换热中是否发生相变或存在多相的情况可分为单相流体对流换热 和多相流体对流换热。对于实际的对流换热过程的，按照上述的分类，总是可以将其归入相应的 类型之中。例如，在外力推动下流体的管内流动换热是属于强制内部流动换热, 可以为层流亦可为紊流，也可以有相变发生，使之从单相流动变为多相流动； 再如，竖直的热平板在空气中冷却过程是属于外部自然对流换热（或称大空间 自然对流换热），可以为层流亦可为紊流，在空气中冷却不可能有相变，应为单 相流体换热；但是如果是在饱和水中那么会发生沸腾换热，这就是带有相变的多 相换热过

30、程。-108-108-第四章 对流换热原理求出心之后，假定线性关系确立，最后得到N = q Re形式的准那么关系 式。采用几何作图的方法亦可以求出。、的数值，读者可参阅图4-10。如果考虑物性对换热的影响，换热准那么关系式可写成M/ = cRePr相的形 式。此时，可在得出N = qRe关系式的基础上用实验找到NRe（即ci）与Pr对应的实验数据，而后采用上述方法获得关系式中的。和加值，从而确定Nil = cRe Pr，这一准那么关系。这里再次强调，无量纲准那么中的特征流速和特征尺寸的选用应按照换热过 程的类型来决定，其原那么是，能代表流场特征，且易于通过实验获取。这里特征流速选为人,特征尺寸

31、选为L,符合上 述原那么。对于几何结构比较复杂的对流 换热过程，特征尺寸无法从的几何 尺度中选取，通常的做法是采用当量尺 寸。如异型管槽内的流动换热，其当量直径定义为de= ,式中/为流体的 通流面积；尸为流体的润湿周边。如图 图4-11流场当量尺寸示意图4-11所示。有时，在确定特征流速时也同样会遇到困难，如自然对流换热、流过管束 的对流换热以及异形管道中的对流换热等。这些都将按照实际情况或工程上约 定的方法来处理。此外，无量纲准那么中的物性量的取值温度，也就是定性温度，这里采用了膜温度=(&+%)/2 .不同的换热类型定性温度的选取也是不同的，这都会在 后面介绍实验关系式的应用时明确指出。

32、通过实验获得的准那么关系式，不仅能够应用于实验所采用的对流换热问题, 而且还可以推广应用于同类型对流换热问题。譬如，流体平行流过平板的对流 换热，我们是在某种流体中进行的实验，所得到的准那么关系式可以用于同类型 不同温度的同种流体，或者其它流体；亦可用于同类型不同长度、不同流速的 平板。值得注意的是，实验是在一定的范围内进行的，相应的雷诺数和普朗特 数就有一定的范围，在推广应用时一定要予以指明。例题4-1为了解某空气预热器的换热性能，用尺寸为实物1/8的模型来预测。模型中用40 的空气模拟空气预热器中133的空气。空气预热器中空气的流速为6.03m/s,问模型中空气 的流速应该为多少？如果模型

33、中测得的外表传热系数为412W/(m2C),那么空气预热器中对应 的外表传热系数为多少？解由相似理论，要使模型与实物中的对流换热现象相似，就应使它们的同名相似准那么数相 等。以下用下标m表示模型的参数，下标p表示实物的参数。(1)求模型中空气的流速U I/ 匕兀由相似原理，Re,=Re，即可得与二 上/L7 v vI Vy mptn p查附录4得空气的物性参数：40时乙尸16.96义l(?6m2/s,4=0.0276 W/(m.)；133时 力=26.98 X 10-6 m2/s,=0.0344 W/(m)。计算得应 =30.32 m/s。(2)空气预热器的外表传热系数h IhJnI。显然，应

34、有即， =上二，得/=/%/=64.19W/(m2.C)ifi-l/。勺ytil 7 勺m 加说明由相似原理，模型和实物中空气的普朗特数也应该相等。但此题中两者的温度不同,40时的Pr,=0.699, 133c时的Pr =0.685。两者其实相差不大，近似相等，可认为模型和实物中的对流换热是基本相似的，由模型得到的数据仍具有参考价值。另外，根据相似原理，两个相似现象的所有已定的同名准那么数都要相等。这一点在实际 中是很难做到的。这时，我们只要做到主要的相似准那么数相等，而不强求一些次要的准那么数 都相等。这可称为近似相似?。例题4-2下表是空气横向绕流单根园管对流换热实验中所测得的数据，试将表

35、中数据整理为-110-110-第四章对流换热原理准那么关系式Na = CRe?的形式。Rex 10-35.006.878.049.5511.6014.0015.1020.2022.4025.00Nii37.845.150.656.462.570.074.586.190.9100.0解此题就是要得到。和用的具体数值。可以先转换为lgN = /nlgRe+lgC的形式,相 应地数据转换见下表。IgRe3.6993.8373.9053.9804.0644.1464.1794.3054.3504.398IgNu1.5771.6541.7041.7511.7961.8451.8721.9351.9592

36、.000IgRe图4-12例题4-2附图这里采用作图法。在图中先标上实验数据点，如图4-12所示，再作一条最接近这些点 的一条直线。该直线的斜率为约为加=0.60。那么可按照C = M/Res来计算。在直线上取假设干个点，如点1 ,可得G =37.8/500006 =0.228 ；点 6 可得 G = 70.0/14000。6 =0.228 ；点 10 可得 。3 =100.0/25000-6=0.230o最后求它们的平均值得C=0.229。所求准那么关系式为Nu = 0.229Re06说明作图法有一定的人为误差。也可以采用最小二乘法，精度要高些。4-4边界层理论1边界层的概念当流体流过固体壁

37、面时，由于被壁面吸附的流体分子层是处于不滑移的状 态，因而在流体粘性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁 面处的零速度逐步变化到来流速度，如图4-13所示。流体流速变化的剧烈程度, 即该方向上的速度梯度，与流体的粘性力和速度的大小密切相关。普朗特通过 观察发现，对于低粘度的流体，如水和空气等，在以较大的流速流过固体壁面 时，在壁面上流体速度发生显著变化的流体层是非常薄的。因而他把在垂直于 壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为速度边界层或流动边界 层，而把边界层外流体速度变化比较小的流体流场视为势流流动区域。引入边 界层的概念之后，流体流过固体壁面的流场就人为地分成两个

38、不同的区域，其 一是边界层流动区，这里流体的粘性力与流体的惯性力共同作用，引起流体速 度发生显著变化；其二是势流区，这里流体粘性力的作用非常微弱，可视为无 粘性的理想流体流动，也就是势流流动。图4J3边界层概念示意图我们说边界层是壁面上方流速发生显著变化的薄层，但其边缘所在的位置 却是模糊的。在实际分析边界层问题时，人们通常约定当速度变化到达%= 0.99时的空间位置为速度边界层的外边缘。那么，从这个人为确定的边缘到平板壁面之间的距离就是边界层的厚度可只。随着流体流动沿方向（主流方向）向前推进，边界层的厚度也会逐步增大。当流体流过平板而平板的温度金与来流流体的温度b不相等时，对于空气 和水这样

39、的低粘性流体，其热扩散系数也很小，在壁面上方也能形成温度发生 显著变化的薄层，常称为温度边界层或热边界层。仿照速度边界层的约定规那么, 当壁面与流体之间的温差到达壁面与来流流体之间的温差的0.99倍，即土 = 0.99时,此时的空间位置就是热边界层的外边缘。那么，从该边缘到壁 0一七面之间的距离就是热边界层的厚度，记为心（工）。如果整个平板都保持温度那 么，a0时加幻=0,且随着工值的增大逐步增厚。在同一位置上热边界层厚度与 速度边界层厚度的相对大小与流体的普朗特数Pr有关，也就是与流体的热扩散-112-112-第四章对流换热原理特性和动量扩散特性的相对大小有关。2边界层微分方程组按照普朗特的

40、边界层为一个薄层的假设，以及满足这一假设下的流场特征, 前述对流换热微分方程组（参见式（4-12）就可以在边界层问题中得以简化。由边界层假设6x!x 1 ，可以得出Y/X 1 o如果设定x的数量级为1,那么丫的数量级定义为A （一个小量）；在设定主流方向上的无量纲速度的数量级为1的情况下，由连续性方程也+生=0可以得出V的数 dX dY量级为八。在此基础上对X方向上的动量微分方程进行数量级分析，可以得出如下近似关系式:1-+A - +1 A 11Re(a)按照边界层假设，在边界层中惯性力与粘性力应有相同的数量级，那么工（4 +与的数量级应为1,不难判明雷诺数He的数量级为，这与前面ReU A2

41、 JA2所说的雷诺数足够大是一致的。将雷诺数的数量级代入式中，并且忽略方程 中数量级等于或小于/的相应项，X方向上的动量方程变化为：TTdU 6U _ 6P 1 d2UU I V-Eu1-dX dY dX Re dY2采用同样的比较方法处理丫方向上的动量方程，由于方程各项的数量级均为,用应得出-理=0。这一结果告诉我们，在边界层中压力不随丫的变化 dY而变化，仅仅是X的函数。于是边界层的动量微分方程就由两个变为一个，即Ujv迎一EU也dX dY dX Re dY2Ujv迎一EU也dX dY dX Re dY2同样地，对能量方程进行数量级比较，有l-+A- =1 A1Re- Pr(1 记+(4-

42、14)(b)按照数量级一致原那么，l/（RePr）的数量级为1/八2。于是得出无量纲边界层能量 微分方程：TT d& T7 601。之。(4-15)U+ V=dx dy RePr dy2将以上无量纲边界层微分方程转化为有量纲的形式，即为du dv一 + 一 二dx dydu duub vdx dydu duub vdx dydxd2u+ dy2(4-16)(de de . d20PC F V = A-y dx dy J dy2这里，=.七,为流体过余温度。微分方程组经过在边界层中简化后，由于动量方程和能量方程分别略去了 主流方向上的动量扩散项彗和热量扩散项驾，从而构成上游影响下游而下 dx2d

43、x2游不影响上游的物理特征。这就使得动量方程和能量方程变成了抛物型的非线性偏微分方程；由于动量方程由两个变成为一个，且生项可在边界层的外边缘 dx上利用伯努利方程变成-Plig如的形式。于是方程组在给定的边值条件下可 dx以进行分析求解，所得结果称为边界层问题的精确解。对于外掠平板的层流流动，主流场速度是均速（，温度是均温晨；并假定 平板为恒温九。此问题的定解条件可以表示为:y = 0： u = v = O. t = twy = oo： “ =k, t = q解出温度场后可求得流体外掠平板的层流流动问题的局部外表传热系数久的表达式为（具体求解过程参阅相关文献）：儿=0.3324（吆丫彳上（4-

44、17）或者以无量纲数的形式改写为局部Nusselt数的表达式：Nux =0.332Re1/2Pr1/3（4-18）注意此时有包=0 ,式（4-16）中的动量方程与能量方程具有完全相同的数学 dx-114-第四章对流换热原理形式，且边界条件的形式也一样，故与上两者的分布完全相同。 卬18 ，卬温度边界层的厚度4(x)与速度边界层的厚度d(x)的相对大小那么取决于普朗特数的大小(Pr = 2i = )。 a 23边界层积分方程组事实上，用分析法求解边界层微分方程组在数学处上仍然有不少的复杂性。 Th. Von Karman于1921年提出了动量边界层积分方程，H.Kpy水ujihh于1936 年完

45、成了一套对能量、动量积分方程的解法，所得的结果称为边界层问题的近 似解。图4-14边界层积分方程的推导边界层积分方程一般可由两种方法获得：其一是将动量守恒定律和能量守 恒定律应用于控制体；其二是对边界层微分方程直接进行积分。下面我们采用 后一方法来进行推导。以常物性不可压缩流体沿平板的二维稳定流动为例。边界层能量微分方程 为：u + v =。彗对任一固定X,将能量方程从y = 0至u y =自积分得：dx dy dyedt7 e dt7%d2tzJo 文力+ Jo 口京力=LaTdyJOQx JO Qy JOOy 2由分部积分法，衿 dt 1 同 dv 7Su :vdy = v% -J() tdy = - L tdyoyu JO (jyJ0 0y再由连续性方程，有2 dv ,2 du , n 叫 Su 2,%，=Jo 刀办= _Jo =力及 Jo 二力二-Jo ryJ0 dy 1 ox 川 oy J0 ox因此式(a)左边第二项变为:a dt v一 二0 3d du 7 衿 du ,10%双办+。py(b)3(晨) dy -Jodx )厦8 Mvdy = - (ut-u J。dx注意 =可时q=o,式(a)右边可变为将式(b)代入式(a)左边，那么式(a)左边可以进一步变成dt duyllF tdx dx Jdty=0 My = adt办(4-19)啕 e2 ta