到角公式(5中)研析(8页).doc

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1、-到角公式(5中)研析-第 7 页两条直线的位置关系（二）南京五中 师：首先，我们来复习一下。上节课我们讲了在平面、平面当中两直线有怎样的位置关系？ 生：有平行或者垂直或者相交。师：平行和相交。其中昨天研究的是相交当中的特殊情况：垂直。是不是这样？那我们主要研究的是平行和垂直。是这样吧？请一个同学回顾一下，对于有斜率的两条直线，我们说，如何来判定线线平行呢？线线平行的充要条件是什么呢？生：k1等于k2，且b1不等于b2。 师：很好，请坐。是斜率相等，并且截距不同。再请同学说一下，两线当斜率存在的时候，如何来判断线线垂直呢？生：两条直线的斜率的乘积为1。师：很好。两直线的斜率的乘积为1。或者我们

2、说，一条直线的斜率是另一条斜率的负倒数。都可以啊。除了这种判定方法，昨天我给大家补充了位于两条直线的一般式的判定情况。是不是这样啊？我说一下，它的好处就是可以不用讨论斜率存在、不存在。是这样吧。那么对一般式的系数而言，也给了大家充要条件和判定方法。上节课刚刚说过，这节课我就不再罗嗦了。接着，我们就继续来学习(板书) 直线的位置关系(二) 。昨天我就给大家介绍了，昨天研究了平行以及相交中的垂直。现在请大家看啊。相交、两直线相交。除了垂直以外，还有更一般的情况，是不是这样啊？(画图)这是l1，这是l2，那么相交不垂直，今天我们来研究不垂直情况的角是怎样刻画的？首先，请大家看一下，两条相交直线可以成

3、几个角？ 生：4个。师：好，可以构成4个角。(板示)它们是两对 生：对顶角。两条直线的位置关系（二）一、复习：1. 两条直线平行的充要条件。2. 两条直线垂直的充要条件。 二、新课：1直线l1到l2的角。师：对顶角。好吧。4个角。到底用哪个角来刻画l1与l2相交的情况呢？那我们今天先来研究一下l1到l2的角、直线l1到l2的角。(演示大屏幕)师：直线l1到l2的角怎么定义的？请大家思考一下这个“到”字。有了“到”，你们感觉到它具有什么性？生：方向性。师：非常好。有了方向性，那么l1到l2的角的方向性怎么说呢？一般我们说把l1 生：逆时针。师：绕着这个交点（板示）逆时针旋转，旋转到生：与l2完全

4、重合的情况。师：与l2完全重合的情况，这样旋转过来的角1叫做 师生：直线l1到l2的角。 课题的提出完全是教师。课题直接写出来。如果说生源关系教师不得不自己提出课题，那也要尽可能把来龙去脉讲清楚。这节课其实有好几次机会来实现这种启发的教学，但都被教师的“告诉”代替了。讲授课中也可以贯彻建构主义思想，也可以渗透研究问题的一般方法。(情境与陶同) 看这4句话，本来可以成为很好的启发过程，但这里除可以看作是用图形做了点启发外，完全变成了“告诉的过程”一步一步地告诉。反映教师缺少启发意识，教学缺乏艺术想象力，也可以认为缺少经验，但不是主要的，缺乏意识是根本。否则这几句话稍加变动，就能成为很自然的启发。

5、 陈旧的教学观念不时在问题和语言中流露。 语言中流露出她的潜意识里教师中心主义思想根深蒂固，满脑子都是传授灌输的思想，什么都由自己告诉学生。学生真正市出在完全被动的地位。难道生源差，学生就只能被动的学吗？ 填空性质的问题充斥课堂。有些问题看似想启发，而实际几乎就是直接告诉。对什么时候需要用启发也不清楚。象前面一问，问问题就是问问题，后面跟上一句就成了多余，且强调充要条件什么 师：好，既然有了直线l1到l2的角，我要问大家了，有没有直线l2到l1的角？ 生：有。 师：也有，是吧。说说看。 生：直线l2绕着这个交点逆时针旋转与l1重合。师：很好。l2绕着这个交点逆时针旋转与l1重合时所转动的这个角

6、2叫直线l2到l1的角。那我问一下了，l1到l2的角有没有范围呀？通过我们刚才的定义l1到l2的角，按照我们刚才的定义，我们想想看。首先是相交的情况，相交就不平行了。那么它绕着交点转，所以呢，1、l1到l2的角1应该大于什么？ 生：0。师：0。好，小于多少度呢？ 生：小于180。师：小于180。（板书）01180。好。这就是我们讲的l1到l2的角。现在，我们再来看一下，这个角的定义我们是会了。1指的是谁我们知道了。怎么去求它呢？具体的在平面直角坐标系中运用两条直线的方程来求一下1这个到角。现在我们在直角坐标系下，研究一下到角公式。(说三遍问题不明确)师：如果说这是l1，这条线是l2。那么大家说

7、说看，l1到l2的角是不是应该是这个角。(情况一1)是这样吧. （第一种情况） 好，再来。如果这是l1，这是l2(情况二)，那么请问一下l1到l2的角可以是哪个？你来画一下。(一学生板演) 生：逆时针。 师：逆时针。噢，容易错吧。逆时针。 生：咦怎么还是师：l1转到l2。没关系。好，刚才上 (第二种情况)来，觉得你(指情况二)在这儿，我(指情况一)也在这儿。但是，由于l1到l2，所以是这样旋转。她忘了我们定义中的逆时针旋转，是不是这样啊？一定要紧扣定义，l1由逆时针旋转到l2。所以说是这个角(情况一1)或者是这个角(情况二1)，都可以吧，随便。这样也行。好了，下面我们想啊，既然是在直角坐标系当

8、中，我们来研究到角，到角值，就需要用到直线的什么？ 师生：斜率和倾斜角。1师：就象我们昨天判定两条直线的位置关系，要用到直线的斜率。那今天也同样如此。我们也要用到直线的斜率这样的这样的量。那么，斜率就和倾斜角相关。我们首先把l1的倾斜角画出来。是不是在这儿？倾斜角的概念又是怎么说的？把x轴 生：逆时针旋转。师：绕着交点，与线的交点逆时针旋转到该直线重合的位置所成的最小正角(情况一)。所以，这就叫做倾斜角。那么l2的倾斜角在这边吧。是不是？我们把它叫做。在这幅图中(指情况二)，如果l1是这个方向，那么它的l1的倾斜角在这边，是不是？l2的倾斜角呢？在这儿。现在我们就来看这三个角之间有怎样的关系呢

9、？能不能用一个式子来表示一下，1、l1到l2的角、到角和、三角之间有这样的关系呢？你说。 生：=+1。师：非常好。她说=+1，实际1是它的对顶角。是不是这样啊？那么，就在这个三角形的外角=+1。这幅图(情况二)当中、三角形中也用式子用意？反而画蛇添足。教师的问题大量是带有暗示的“填空题”，答案明显，没有启发性。也可以说问题是低水平的。有些学生可以回答，也需要学生自己思考的问题，教师却不断的代替学生讲。 “到角”概念建立过程究竟属于一种什么方式的概念教学？既不是概念同化，也不是概念形成。 不垂直情况的两条直线位置关系是怎样刻画的？ 两条直线成几个角？ 4个角用哪个来刻画？先来研究l1到l2的角。

10、？l1到l2的角怎么定义的？大家思考这个“到”字。你感觉“到”有什么性？角的方向性怎么说呢？ l1绕交点旋转到与l2重合.这样旋转过来的角叫做直线l1到l2的角。 仔细分析这些问话，它们之间是什么逻辑关系？有什么逻辑关系？概念名字从何而来？不知何来又谈何义？其中的每一个问话都可问“为什么？”然后从“到”有“方向性”，找到“逆时针”，七搞八搞，就凭名称的字面意义结合图形，带着学生把到角定义讲出来。本来是她自己要讲解这个定义的，这样一搞，似乎成了探究。其实呢，还是讲解，而不是探究。而且这种四不象的讲解，是一种几乎没有逻辑关系或很牵强的逻辑关系。学生接受这样的缺少联系的知识传授没有任何好处。 “到角

11、公式”建立。 描述一下。谁来描述一下？ 生：师：那边。第一个（喊学生回答问题）。 生：1 =+师：好。她说这是什么？1 =+，声音变小了，觉得不对。应该怎样？生：-+。师：如果你仍然用外角的话，我发现这两个角是怎样的关系？ 生：互补。师：互补。是不是这样？互补很简单。 1。所以，1怎么办？生： + 。师： - 。其他同学提示她一下。-是不是这个角？再用减一下就是1。请坐。其他同学提示了她一下。这边(板示第一种情况)1就等于生：。师：噢，等于。是不是这样啊？这边(板示第二种情况) 1呢？生：-+。师：1=-(-)=+(-)。是不是这样啊？对于直线l1(板示第一种情况)朝这边倾斜和朝这边(板示第二

12、种情况)两种情况我都给出了图示。大家也推出了1可以用l1、 l2的倾斜角如黑板上所示这样表示。下面我们来看一下。要学习它，要用到三角公式。在高一时，我们学过三角公式。那么，我们这边用哪个三角公式呢？倾斜角想到了什么？ 生：斜率。师：斜率。倾斜角想到了斜率。斜率是我们熟悉的。因此，我们对1怎样取一个？研究它的什么函数？(这是关键，需精心启发)师生：正切函数。师：看第一组。tan1=tan()。又等于什么？把这个公式来一块说说。生：tan1= tan()=。师：好的。你们再告诉我。tan就是谁？ 生：啊？师：tan就是谁？ 生：k2。师：不错。tan就是 生：k1。师：下面是 生： 1+ k2 k

13、1。师：k1k2，是这样吧。是这样。刚才我们在写的过程当中，我们发现既然我们敢用斜率，敢用两条已知直线的斜率角，然后找到斜率，再找出我们要求的到角，那我们说斜率必须存在，否则我们怎么用呢？怎么刻画呢？是吧？所以，斜率必须存在，并且分母怎样？ 生：不为0。师：分母为0是怎样的情况？ 生：垂直。师：垂直，大家很熟悉。k1k2 +1=0是垂直的情况。下面再看，这种情况（板示第二种情况），公式推出来的是不是一样呢？这个tan1等于tan的谁呀？tan1=tan+()。书上用和角公式展开了一下。我觉得大可不必。我们可以直接用什么公式？加上一个角。可以用什么公式？生：诱导公式。师：诱导公式。那么，把它看作

14、整角，加上一个角，诱导公式等于多少？师生：tan()。(口头禅多，不恰当语言多)师：等于tan()。一看就等于tan()。和这边(板示第一种情况)推出来的一样不一样？ 生：一样。师：一样的。所以就不多做解释，不多做计算了。因此，我们说，这边得出来的tan1=就是我们的到角公式。其中要注意两直线斜率不存在的时候并且两直线不垂直的时候才能这样用。是这样吧？是这样的。如果垂 直的情况，那么我们直接得到的是90，很清楚吧？l1到l2的角、l2到l1的角都是90。下面来问一个问题。刚才在这边我们写了l1到l2的角是1，l2到l1的角是2，这两个角有什么关系呀？ 生：互补。师：1+2 = (180)。所以

15、如果他要问两个“到角”，算一次，另外一次用一减就可以了。是这样吧。接着，我们再来思考一个问题。刚才说了，两直线相交组成了4个角，那我们喜欢说两直线相交所成的角是多少度，我们习惯。没有学这节课之前，哪知道“到角”呢？一直会说，两直线相交成多少度。那么，成多少度就有一个夹角的意思在里面。好，我们就来定义一下两直线相交的夹角这个概念。怎么来定义呢？思考一下。是它(指1)还是它(指2)呢？有方向性。夹角有没有方向性呢？ 生：没有。师：没有方向性。那么，夹角应该怎样定义呢？你们都看过书了，也理解过了。昨天就看过了。好，夹角的定义。(稍停顿)你说。生：夹角就是那个、中有一个锐角师：好。你请坐。他说两条直线

16、相交的时候所成的角当中有一个应该是锐角，那两直线垂直怎么办？那4个角不就一样了吗？有没有锐角？所以应该分开说，当两直线相交但不垂直时，我们把什么？ 生：之间的锐角。师：我们把1、2当中那个锐角拿出来叫做夹角。没有必要对着书上。对着这个图理解就可以了。我们把1、2相交但不垂直时候当中较小的锐角叫夹角。好，这只是夹角的定义，第一部分。(板书)2、夹角： 师：第二部分，就是刚才那同学说的补充一句，两直线如果垂直的时候，那我们说它们的夹角就是90。有两部分才能完整。翻到48页。定义分两部分，大家圈起来，圈起来。接着问，夹角公式呢？刚才定义了到角，紧接着，推出了到角公式，现在定义了夹角，那夹角公式怎么办

17、呢？如图所示。我问你们，就从平面上来看，l1与l2的夹角，应该是哪个？ 生：1。师：1。好的。这个角怎么算？ 生：就是师：就是有人说就是这个公式。(指到角公式) 要加绝对值。对了，要加绝对值。因为我们要算的是tan1。如果用这个式算tan2不就变了吗？加一绝对值。是不是这样？很好。下面，还要再问夹角的范围。根据我们刚才所说的 生：0到90。师：0到90。什么区间？两部分。定义完后，090。左边？ 生：开。师：这边呢？（指右边） 生：闭。例1：求直线l1：y=-2x+3，与直线l2：y= x - 的夹角。师：闭区间。别忘了，是两部分合起来。垂直时夹角就是90。是这样吧。所以夹角就是090。现在请

18、大家看第一个例子。实际上就是书上的例题。我们一起来看看。自己来做。师：结果呢？我把书上的变化一下，书上是用角度来表示，我请你们直接用反正切表示。可以吗？先做做看，然后请同学回答我。(19:5221:12)师：算好了吧。大部分算好了吧。你说。 生：先把k1 、k2求出来。师：先把k1 、k2求出来。原因是，夹角公式要用到斜率。是吧。师：l1的斜率是k1，等于2。l2的斜率呢？ 生：2。师：噢，2。l2的斜率等于1。一个是2，一个是1。下面，我们说，所以， 设一个夹角吧。 生：设l1与l2的夹角为。师：设l1与l2的夹角为什么？ 生：。师：可以。接着呢？ 生：代公式。师：你来说，我来写。 生：ta

19、n =| , tan= | =3。师：刚才用反正切表示答案，你给大家讲。 生：所以=arctan3。师：请坐。大家做的是一样吧？都一样啊。这是第一个。说明大家会用夹角例2: 已知直线l1: A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0(B10, B20, A1 A2+B1B20),l1到l2的角是，求证：tan=。公式了，要加绝对值。下面再看第二个。师：已知直线l1、l2，并且括号里不少东西，l1到l2的角是，要你求证。注意了，这里的角是什么角？ 生：夹角到角。师：到角。看来，同学对夹角比较适应，对到角不容易适应。到角啊！这个括号里是什么意思？B10，B20。 生：不垂直。师：非常

20、好。B1、B20，说明了什么？两直线的斜率都应该存在。第二个k1=-，k2=-，tan=| | = = 。生：不垂直。(展示生草稿纸)师：这就说明不垂直。刚才讲了，括号里面是斜率存在和不垂直，放心大胆地用到角公式吧。现在来证明一下。(24:0625:20)刚才，我看到有的同学已经写好了。不错，其中有的比较清楚，来看一下。（展示生草稿纸）师：草稿纸、草稿纸、这个过程稍微有些乱，但基本上已经清楚了。刚才两直线的一般式给了，现在要用到角公式，要知道两直线的斜率。由于当前B10，B20，所以大胆地说，k1=-，k2=-。然后，tan。关键的是，他写出了这个公式，有没有问题？ 生：有。师：他多加了一个绝

21、对值。是不是这个意思？多加了一个绝对值。所以，这个问题，我发现还是蛮严重的吧。刚才说，到角跟夹角的不同，那么他现在多加绝对值了，说明这个概念还有点不清楚。继续说，你们自己来写一下。好。我们说，这个角为。tan=。有没有绝对值？ 生：没有。师：。好，代入。就这么简单，就这么简单。啊。l1到l2 、l1到l2。上面 生：-。师：减去负，加上 生：。师：下面 生：1+ 。师：很好。紧接着 生：化简。师：对了，有同学说化简。上下乘以谁就可以了？ 生：B1B2。师：所以，上下乘以B1B2，在上面乘以B1B2，得到 生：A1 B2A2B1。师：下边是 生：A1 A2+ B1B2。师：还有问题啊？没有？没有

22、，把书翻到书上的50页。书上的50页。书后面的第1、第2大题。我请两位同学上黑板。第1题它是需要求l1到(语气加重)l2的角与l2到(语气加重)l1的角，我要问了，是不是每道题要喊两位同学，一个求l1到l2、一个求l2到l1？ 生：用减。师：用减就可以了。第一题，同学。第二题，同学。(学生上黑板板演29:0332:14)师：其他下面同学的速度应该比上面快些。做完第一题，可以做第二题。(1)解：k1 =、k2= 3。设l1到l2的角为1，l2到l1的角为2。tan1=1，1=45。2=45=135。(2) k1 =1、k2= -。设l1到l2的角为1，l2到l1的角为2。tan1= = -3。1

23、= -arctan3，2= -1=arctan3。师：我们现在可抬头了。首先看一下第一题。你们各自都有书，我就板书了。第一题，k1 =，k2= 3。这题目没有错吧。好，紧接着。设l1到l2的角为1，l2到l1的角为2。这一步很关键啊！有人走上来就是tan，不好。然后，紧接着tan1的公式，k2 k1。如果，我走上来，算tan2可不可以？可以，好，那么请你把tan2的公式报给我听。tan2就等于 生：k1 -k2。师：对了。k1 -k2。所以，l1到l2的角、l2到l1的角公式首先要写对。好，没问题。下面就是代系数了，三角函数的系数。所以，1=45。在这边，为什么？不清楚。因为到角的范围，我们刚

24、才擦了，在上面，到角的范围是0到180 ，因此，1只有45，所以2互补，一减，等于135。写的很好。在这个范围当中，所以1为45。否则，不是。第二题，l1到l2的角为1，l2到l1的角为2，我们来看一下，tan1的角，算出来是-3，好，现在注意一下。算出来是-3，用反正切表示，他写的是 -arctan3，对不对？ 生：对。师：非常好。我跟大家说，如果正切算出来是负的，比如说函数值算出来的是k，k0，那么它对应的角就应该是 +arctank，所以这题是 +arctan(-3)，由于-3的负号可以从公式里提出来，所以就变成 -arctan3。很好。第二个减一下也就是arctan3。跟你们的是一样？

25、 生：一样。师：好，第二大题的小题，大家口答。第一小题： l1:y=3x-1；l2:y=- x+4 。大家在喊，是90，问一下，有没有用公式算？ 生：没有。师：啊，没有。理由是，用公式你会发现分母为零，所以在这种情况下，以后我们拿到题目，要算夹角。应该注意什么？k。首先请你观察斜率k。在这题，k成负倒数。所以，不用公式，直接给出90。第二小题： l1:x-y=5；l2:y=4 。你说。 生：45。师：你怎么来的？ 生：根据k1 =1，k2 =0。师：然后你用公式算的？ 生：没有。师：没算？ 生：y=4与x轴平行。师：平行。很好。y=4与x轴平行，再来。 生：tan=1，倾斜角为45。师：倾斜角

26、为45，这样画出来，直接看出来，于是夹角较小的那个45，是这样吧。很好，就这种特殊的，由此，我们产生联想。对于这种特殊的，如果一条直线与x轴平行，没算，明明可以算，她没有用公式算，可以直接给出，直接计算。是不是更快？更快。下面第三个。第三小题：l1：5x-3y=9；l2:6x+10y+7=0 。 生：90。师：第三个都知道了，也是垂直。理由是k1 =、k2= -。 下面请大家拿出数学之友来。翻到偶数本，13页，请大家看A组的第6题，对书上的题目做一个补充。A组的题目我用黄颜色抄在黑板上啊。x=3这条直线与2x-y+3=0这条直线，它们的夹角是多少？(37:3337:53)师：大家弄出来了，答案

27、弄出来了？弄出来了告诉我？多少？生： -arctan2。师： -arctan2。还有没有？ 生：-arctan2。师：好，-arctan2。 来看一下，怎么做？你们这边先说。就做在书上。代没代公式？ 生：没代。师：他们没代公式。为什么没代公式？因为什么？生：与x轴有关系。然后师：x=3的图象是什么样子？ 生：与x轴垂直。师：x=3有没有斜率？ 生：没有。师：x=3。总而言之，一句话，是竖的，是不是这个样子？我们在直角坐标系当中看一下，画草图，我连小格子都不画了。画草图。x=3，大概在这边，是这样吧，竖的，斜率不存在，我怎么代公式啊？所以，斜率不存在。所以，老师讲了，斜率不存在，画图。这个，画成

28、斜截式，y =2x+3， 斜率为正，截距为正。画草图啊，大概是这样子吧。斜率为正，截距为正。好了，那么它们的夹角，自己还看得到？夹角是不是那个较小的角，锐角。我们来看，三角形？什么三角形? 生：直角三角形。师：要求这个角，他们的夹角，先请问是什么东西？这个正好是2x-y+3=0的倾斜角。这个倾斜角怎么表示？ 生：arctan2。师：对，arctan2。斜率为2 ，倾斜角为arctan2，那么，、互补吧。因此，案就是 生： -arctan2。师：好。29页这个这个，请大家把奇数页的那本再拿出来。看一下A组的第2题。直线 l2的方程是什么？直线 l1绕着它上面一个点(1，)沿逆时针旋转15，旋转以后的直线l2的方程是什么? (40:3141:23，其间下课铃响）师：答案是多少啊？你告诉我，旋转后的角是多少？ 生：60，师：很好。原来是45，逆时针旋转15，看出来是60。所以最后用点斜式了。那么，今天家庭作业这节课的重点：我让大家把重点放在数学之友奇数本29页。看一下教学目的。它的教学目的总结得非常好， 就和我在黑板上写的。首先，到角、到角的范围，夹角的范围。它们两个的区别都在上面。第二个夹角公式、到角公式，一个加绝对值，一个不加绝对值；第三个，要注意斜率不存在的情况，怎么算？画图，数形结合。就到这儿。下课。