初三几何6旋转2.半角及三线共点问题(2014-2015)教师(13页).doc

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1、-初三几何6旋转2.半角及三线共点问题(2014-2015)教师-第 12 页 2015年中考解决方案旋转2半角及三线共点问题学生姓名：上课时间：旋转2内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题半角问题旋转模型图秘籍：角含半角要旋转【例1】 、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证：【答案】延长至，使，连结，易证，再证，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有【例2】 如

2、图所示，在正方形中，点、分别在、上，且，求的面积【答案】如图所示，将绕点顺时针旋转，得到，则、共线.而，且，故，则.由此可得，.在Rt中，故，.在Rt中，则.故.【巩固】如图，正方形的边长为1，、上各存一点、，若的周长为2，求的度数【答案】把绕点旋转到的位置，又，又，又，【巩固】如图：正方形ABCD的边长为6cm，E是AD的中点，点P在AB上，且ECP=45则PE的长是_cmPEC的面积是_.（11年怀柔二模）【答案】（1）5（2）15【例3】 如图所示，在等腰直角的斜边上取两点、，使，记，求证：以、为边长的三角形的形状是直角三角形.【答案】解法：如图所示，将绕点顺时针旋转，得到.连接，则，故

3、从而，则.而，故在直角三角形中有.解法2：我们用上一讲学习过的“对称变换”也能得到解答如图所示，以为对称轴将翻折到的位置易证和关于对称，且为直角三角形，并且可得，【巩固】请阅读下列材料：已知：如图1在中，点、分别为线段上两动点，若探究线段、三条线段之间的数量关系小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明【答案】（1） 证明：根据绕点顺时针旋转得到在中即又即（

4、2）关系式仍然成立证明：将沿直线对折，得，连又，又在中即 【例4】 如图1，RtRt， 绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K（1）观察：如图2、图3，当或时， _（填“”，“”或“”）如图4，当CDF时， _（只填“”或“”）（2）猜想：如图1，当CDF时， _，证明你所得到的结论（3）如果，请直接写出度数和的值 图1 图2 图3 图4【答案】（1） （2）证明：作点C关于FD的对称点G，连接GK、GM、GD则GDCD，GKCK，GDKCDKD是AB的中点，ADCDGDA30，CDA120EDF60，GDMGDK60 ADMCDK60ADMGDM又,GMGKMK，AMCK

5、MK（3）CDF15，【例5】 (1)如图，在四边形中，分别是边上的点，且求证：;(2) 如图在四边形中，分别是边上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明 (3) 如图，在四边形中，分别是边延长线上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明【答案】证明：延长到，使，联结 又，(2) (1)中的结论仍然成立 (3)结论不成立，应当是 证明：在上截取，使，连接【例6】 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长【答案】2【巩固】 在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，探究

6、：当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系（1）如图，当点在边上，且时，之间的数量关系式_；此时_（2）如图，当点在边上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点分别在边的延长线上时，若，则_(用 表示)【答案】第三问提示：利用旋转，即可得到两个阴影部分全等【例7】 已知：如图，正方形中，,为对角线，将绕顶点逆时针旋转()，旋转后角的两边分别交于点、点，交,于点、点，联结、（1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究与的面积的数量关系，写出结论并加

7、以证明（11年石景山一模）【答案】（1）不变； 45； （2）结论：SAEF=2 SAPQ 45，同理 过点作于 AEF APQ 【例8】 如图(1)，两块等腰直角三角板和，点与在同一条直线上，将三角板绕点逆时针旋转角（）得到设，,(1)如图，当，且点与点重合时，连结，将直线绕点逆时针旋转，交直线于点，请补全图形，并求证：图图图如图，当，且点与点不重合时，连结，将直线绕点逆时针旋转，交直线于点，求的值（用含x的代数式表示）来源:学&科&网【答案】补全图形如右图 图 如图，连结AE，和是等腰直角三角形，图 点为的中点 ，平分 RtRt，图 如图(3)，过点作交直线于点，连结 又，【例9】 如图1

8、、2是两个相似比为：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。 在图3中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与交于点，如图4。求证：； 若在图3中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点，如图5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。DACB图3BAC图2D图1DBFE图5CDBACFEA 如图，在正方形中，分别是边上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，分别与对角线交于，试问线段、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。NFMEBDAC （2010安徽蚌埠）【答

9、案】（1）连，如图4，两个等腰直角三角形的相似比为，而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，点为的中点，又，同理可得，而；（2）结论仍然成立理由如下：把绕点顺时针旋转，得到，如图5而，在中，（3）线段能构成直角三角形的三边长理由如下：把绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，如图的周长等于正方形的周长的一半，而， 而，【例10】 边长为2的正方形的两顶点、分别在正方形EFGH的两边、上(如图1)，现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时停止旋转，旋转过程中，边交于点，边交于点.（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当和平行时(如图2)，求正方形旋转的度数；（3）如图3，设的

10、周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论. (2014年房山二模)【答案】点第一次落在上时停止旋转，旋转了.在旋转过程中所扫过的面积为 （2），又，.又,.旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为(3)证明： 延长交轴于点，则，又，.又,在旋转正方形的过程中，值无变化. 【例11】 已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足 ，连结MC，NC，MN（1）填空：与ABM相似的三角形是 ，= ；（用含a的代数式表示）（2）求的度数； （3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论 (12年西城区九上期末）【答案】（1）与ABM相

11、似的三角形是 NDA ，； （2）由（1）ABMNDA可得（如图9） 四边形ABCD是正方形， AB=DC，DA= BC， BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角， BCMDNC （3）线段之间的等量关系是（只猜想答案不证明不给分） 证法一：如图9，将绕点顺时针旋转得到，连接则 可得 在中，证法二：连接，作，与交于点,（如图10）可知， 四边形是矩形 在中，【例12】 （1）如图1，点分别是正方形的边上的点，连接， 则之间的数量关系是：连结，交于点，且 满足，请证明这个等量关系；（2）在中， ，点分别为边上的两点如图2，当，时，应满足的等量关系是_；如图3，当，时，应满足的等量关系是_【参

12、考：】（2014平谷一模）【答案】 (1) 在正方形中，把绕点逆时针旋转得到连结则,在中，, （2） ； 三线共点问题考点说明：图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合【例13】 如图，在中，是内的一点，且，求的度数【答案】 【答案】如图，将绕点旋转，使与重合，即.为等腰，又，则.【巩固】如图，是等边内一点，若，求的度数【答案】【解析】如图，过点作，连接， （等于将沿点逆时针旋转）【巩固】为等边内一点，求证：以、为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.【答案】要判断、为中心，将逆时针旋转，则点变到点，线段变

13、到，点变到点，此时，并且，.为等边三角形，所以，.这时，就是以、为三边构成的三角形.易知而所以因此【例14】 如图，为正方形内一点，将绕着点按逆时针旋转到 的位置（1）求的值；（2）求的度数【答案】（1）；（2）【解析】（1）是绕着点逆时针旋转得到的,是等腰直角三角形.（2）仿照（1）将绕着点按顺时针旋转到的位置（如图），连接则是等腰直角三角形.为直角三角形. 【巩固】如图所示，是等边中的一点，试求的边长.【答案】【解析】由于有等边三角形，故可考虑将绕点旋转，使、出现在一个三角形中，从而构造出一个直角三角形.将绕点逆时针旋转，则与重合，点转至点，点转至点，连接，如图所示，有，.故为等边三角形，

14、在中，故，从而有，故所以，在中，.【巩固】如图所示，为正方形内一点，若，.求： 的度数； 正方形的边长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将绕点顺时针旋转，得到.连接，因为，所以，.在中，则，所以，故.（2）因，则、三点共线，故，在中，根据勾股定理得所以.【巩固】在中，是内任意一点，已知，求证：【答案】因为，所以可将绕点旋转到的位置，连结、，则，因为，所以由，可得，则，即【例15】 如图，是等边外的一点，求的度数【答案】【解析】以为一边向四边形的外面作正三角形，则，【例16】 如图，正方形内一点，连结、，请问：是等边三角形吗？为什么？【答案】将绕点逆时针旋转，得，再作关于的轴对称图形，得与经

15、过对折后能够重合.所以，所以为等边三角形，即.又因为，所以.又因为，所以.所以，所以.所以为等边三角形.【例17】 在ABC中，AB=AC，BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD。（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若DEC=45，求的值。（2013年北京中考试题）【解析】（1）（2）为等边三角形证明连接、线段绕点逆时针旋转得到线段则，又 且为等边三角形.在与中（SSS）在与中（AAS）为等边三角形（3），又为等腰直角三角形而【例18】 如图，在正方形外

16、面存在一个点，连接,以为直角顶点作一个等腰直角三角形,若恰好三点共线，且,（1）求点到直线的距离（2）求的面积（3）求四边形的面积【答案】（1）（2）（3）（解析过程略）【例19】 问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求BPC的度数(1) 图2中BPC的度数为_；(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则BPC的度数为_，正六边形ABCDEF的边长为_（12年西城一模） 图1 图2 图3【答案】（1）135；（2）120； 【例20】 已知：如图1，是的内接正三角形，点为弧BC上一动点，（1）求证：（2）如图2，四边形是的内接正方形，点为弧BC上一动点，求证：（3）如图3，六边形是的内接正六边形，点为弧BC上一动点，请你写出PA，PB，PC三者之间的数量关系表达式（不需要证明）（12年通州二模）图3图2图1 【答案】（1）在AP上截取PM=BP,连结BM 是的内接正三角形，AB=BCPM=BP,是正三角形，AM=PC，AP = PB+PC(2)过点B做,交PA于点N四边形是的内接正方形，AB=BC, ,PB=BN根据勾股定理得：(3)结论：