光波场的描述.ppt

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1、光波场的描述现在学习的是第1页，共27页A 振幅，振幅，T 时间周期，时间周期， 时间频率，时间频率， 时间圆（角）频率，且时间圆（角）频率，且T 22 简谐振动在简谐振动在t 时刻的相位，它描时刻的相位，它描)(0 t写振动的状态写振动的状态 0 初相位，即初相位，即t = 0 时刻的相位时刻的相位波的基本概念波的基本概念 波动是振动的传播过程，被传播的是一个分布在某波动是振动的传播过程，被传播的是一个分布在某一空间范围的物理量，而这个量又是随时间变化的。所一空间范围的物理量，而这个量又是随时间变化的。所以一个波动过程也称为一个波场，波场中各点的振动之以一个波动过程也称为一个波场，波场中各点

2、的振动之间存在着相互关联性。波动的特点是它具有时空周期性间存在着相互关联性。波动的特点是它具有时空周期性。现在学习的是第2页，共27页波函数波函数：描述波动过程中被传播的物理量随空间：描述波动过程中被传播的物理量随空间位置位置 和时间和时间 t 而变化的函数关系式而变化的函数关系式 。r),(tr 1.1 一维平面简谐波一维平面简谐波简谐波简谐波 简谐振动的传播。简谐振动的传播。平面简谐波平面简谐波 波面是平面的简谐波波面是平面的简谐波 。（1）平面简谐波的波函数）平面简谐波的波函数 设一维平面简谐波以速度设一维平面简谐波以速度 V 沿沿 z 轴正方向传播，轴正方向传播，则其波函数：则其波函数

3、：)(2cos),(0 zTtAtz)(cos),(0VztAtz )cos(),(0 kztAtz现在学习的是第3页，共27页 波长，波长，相隔为波长相隔为波长 的整数倍的两点具有相同的的整数倍的两点具有相同的振动状态。振动状态。1/ 称为称为空间频率空间频率，它表示传播方向上单，它表示传播方向上单位长度内的波长数。位长度内的波长数。k = 2 / 空间圆频率或波数，空间圆频率或波数，它表示沿传播方向它表示沿传播方向2 长度内的波长数。长度内的波长数。 ( (z , t) )= t kz + 0 波的相位，波的相位，它是余弦函数的它是余弦函数的整个自变量。相位决定振动状态，相位恒定则振动状态

4、整个自变量。相位决定振动状态，相位恒定则振动状态也一定，在波动过程中，振动状态的传播就是恒定相位也一定，在波动过程中，振动状态的传播就是恒定相位状态的传播。状态的传播。（2）平面简谐波的相速）平面简谐波的相速 如果跟踪某一振动状态，则它在不同时刻如果跟踪某一振动状态，则它在不同时刻 t出现于出现于不同地点不同地点 z 时应满足：时应满足： ( (z , t) )= t kz + 0 = 常量常量现在学习的是第4页，共27页两边取全微分两边取全微分0 kdzdt 某一振动状态或恒定相位状态沿某一振动状态或恒定相位状态沿z轴传播的速度称为轴传播的速度称为相速相速TkdtdzVp 在平面在平面简谐波

5、中，相速也就是波函数表达式中的波简谐波中，相速也就是波函数表达式中的波的传播速度，通常称为波速。波动的时间周期性和空间周的传播速度，通常称为波速。波动的时间周期性和空间周期性通过相速期性通过相速Vp相联系。相联系。TVp 色散：色散： 在介质在介质中，相速随波长中，相速随波长(频率频率)变化的现象。变化的现象。 下表列出了描述时间周期性物理量和空间周期性物下表列出了描述时间周期性物理量和空间周期性物理量之间的对应关系。理量之间的对应关系。kdtdz 现在学习的是第5页，共27页时间性物理量时间性物理量空间性物理量空间性物理量符号符号名称名称备注备注符号符号名称名称备注备注T周期周期时间周期时间

6、周期 波长波长空间周期空间周期v频率频率v =1/Tf空间空间频率频率f =1/ 圆频率圆频率 =2 v k波数波数k =2 f（3）平面简谐波的复指数函数形式）平面简谐波的复指数函数形式 为了运算方便，可把平面简谐波的波函数写成复指数为了运算方便，可把平面简谐波的波函数写成复指数函数形式函数形式 )(cos)cos(),(00 kztAkztAtzRe),()(0 kztiAetz现在学习的是第6页，共27页 可见，复指数函数形式的波函数的实部就是波函可见，复指数函数形式的波函数的实部就是波函数，为简单起见，在书写时可省略表示实数部分的符数，为简单起见，在书写时可省略表示实数部分的符号号Re

7、，而将波函数写成：，而将波函数写成： )(0),( kztiAetztikzieAe )(0tiez )(它表示沿它表示沿z轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波的平面简谐波 采用复指数函数的波函数中，时间相位因子和采用复指数函数的波函数中，时间相位因子和空间相位因子完全分开，在讨论简谐波场中各点的空间相位因子完全分开，在讨论简谐波场中各点的空间分布时，时间因子空间分布时，时间因子 总是相同的，常可略总是相同的，常可略去不写，剩下不含时间的空间分布相因子去不写，剩下不含时间的空间分布相因子 叫做复叫做复振幅振幅 tie )(z 复振幅复振幅)(0)( kziAez现在学习的是第7页，共27页 复

8、振幅描述了波场的振幅和它的相对空间相位分布复振幅描述了波场的振幅和它的相对空间相位分布，也称为波场分布。其共轭复数为：，也称为波场分布。其共轭复数为： 复振幅的共轭复数复振幅的共轭复数)(0)( kziAez光波强度可用下式求得光波强度可用下式求得2)()(00)()(AAeAezzkzikzi 复指数函数是周期性函数，其周期是复指数函数是周期性函数，其周期是2 i，即，即zmizmizeeee 22m为整数为整数常用关系式：常用关系式：,sincos iei 12 ie, 1 ieiei 2/ 欧拉公式：欧拉公式：,2cos iiee ieeii2sin 现在学习的是第8页，共27页1.2

9、三维平面简谐波三维平面简谐波 /2 kk 设一列波长为设一列波长为 的平的平面简谐波沿矢量面简谐波沿矢量 的方向的方向传播，传播， 称为波矢量，其称为波矢量，其大小等于波沿大小等于波沿 方向的空方向的空间圆频率间圆频率(波数波数) 。kkk 设相邻两波面的距离为波长，某波面上有一点设相邻两波面的距离为波长，某波面上有一点P0，其矢径为，其矢径为 ，且，且 与与 同方向，则其波函数为同方向，则其波函数为 k0r0r)(cos),(000 krtAtPk该波的波面是垂直于波矢该波的波面是垂直于波矢 的平面，如图所示。的平面，如图所示。 xyzok 0r0P Pr式中式中r0为为O至至P0的距离的距

10、离现在学习的是第9页，共27页xyzok 0r0P Pr 现考察在某一时刻，同一现考察在某一时刻，同一波面上任一点波面上任一点P(x,y,z)的振动的振动，因，因P与与P0处于同一波面，处于同一波面，故故P与与P0点振动相同，则点振动相同，则P点点的波函数取为：的波函数取为：)(cos),(00 krtAtP设设O至至P的矢径为的矢径为 ，则有，则有rkkrr 0代入上式得：代入上式得：波函数在波函数在P点的值点的值)(cos),(0 rktAtP若用复指数函数形式表示，则其复振幅为若用复指数函数形式表示，则其复振幅为现在学习的是第10页，共27页)(0)( rkiAeP复振幅复振幅若传播方向

11、的方向余弦为若传播方向的方向余弦为(cos ， cos ， cos )，则，则zyxzzyyxxekekekekekekk coscoscos k的三个分量为：的三个分量为： cos , cos , coskkkkkkzyx )coscoscos(2 coscoscos zyxzkykxkzkykxkrkzyx 现在学习的是第11页，共27页)+(=)(0zkykxkizyxAeP从上式可知，从上式可知，平面简谐波具有两个特点：平面简谐波具有两个特点： 振幅振幅A是常量，它与场点是常量，它与场点P的坐标无关。的坐标无关。 相位的空间分布是直角坐标的线性函数。相位的空间分布是直角坐标的线性函数。

12、上式中的上式中的fx、fy、fz分别称为分别称为x、y、z方向的方向的空间频率空间频率 cos , cos , cos zyxfff cos1 , cos1 , cos1 zzyyxxfff空间周期空间周期)cos+cos+cos(20=zyxiieAe)+(20= zfyfxfiizyxeAe现在学习的是第12页，共27页空间周期和空间频率的物理意义空间周期和空间频率的物理意义kk例：沿平面上例：沿平面上 方向传播的平面简谐波的波长为方向传播的平面简谐波的波长为 ， 就是沿就是沿 方向的空间周期，即相位相差方向的空间周期，即相位相差2 的波面的波面的间隔。显然，波面随空间的分布与考察的方向有

13、关的间隔。显然，波面随空间的分布与考察的方向有关。在。在x轴方向，相距轴方向，相距 的波面在的波面在x轴上的截距为轴上的截距为 cos/ x，同样，这两个波面在，同样，这两个波面在y轴上的截距为轴上的截距为 cos/ y， x和和 y 分别表示在分别表示在x方向和方向和y方向具有相同振动相位的方向具有相同振动相位的两相邻点之间的距离，它就是沿两相邻点之间的距离，它就是沿x轴和轴和y轴方向的空间周期，而它们轴方向的空间周期，而它们的倒数就是相应的空间频率。它们的倒数就是相应的空间频率。它们分别表示沿分别表示沿x轴和轴和y轴方向每增加单轴方向每增加单位长度，简谐波场增加的位长度，简谐波场增加的周期

14、数。周期数。 x y k O xy现在学习的是第13页，共27页在此特例中，波面与在此特例中，波面与z 轴平行，则轴平行，则01 , zzzf 综上所述，我们可以得到，综上所述，我们可以得到，一列沿任意一列沿任意 方向传播的平面简方向传播的平面简谐波的复振幅为：谐波的复振幅为：k)(2)()(000 )( zfyfxfizkykxkirkizyxzyxAeAeAeP 此式表明，一组空间频率此式表明，一组空间频率(fx，fy，fz)对应于一定方向对应于一定方向传播的单色平面波。不同的空间频率分量组，对应于不同方传播的单色平面波。不同的空间频率分量组，对应于不同方向传播的单色平面波。向传播的单色平

15、面波。 x y k O xy现在学习的是第14页，共27页k /1 ffk 2/2 cos/ x /cos xf cos/ y 空间周期空间周期空间频率空间频率空间圆频率空间圆频率 方向方向x方向方向y方向方向z方向方向 cos/ z /cos yf /cos zfxxxfk 2/2 yyyfk 2/2 zzzfk 2/2 且且222zyxffff 空间频率矢量空间频率矢量 2kf k也叫空间圆频率矢量也叫空间圆频率矢量 此波在直角坐标系中三个坐标轴方向的空间周期，空间此波在直角坐标系中三个坐标轴方向的空间周期，空间频率，空间圆频率列表如下频率，空间圆频率列表如下现在学习的是第15页，共27页

16、例例2.1一列平面波的传播方向平行于一列平面波的传播方向平行于xz平面，与平面，与z轴成倾角轴成倾角 ，写出它在，写出它在z = 0面上的复振幅分布。面上的复振幅分布。解：解：Oxz cos 0, , sinkkkkkzyx 设设 0=0，则，则)cossin()( ),(0 zxikzkykxkiAeAezyxzyx 在波前在波前 z = 0面上面上 sin ),(ikxAeyx kxkzk现在学习的是第16页，共27页1.3 球面波球面波 傍轴近似和远场近似傍轴近似和远场近似 所有光源或发光物体都可以看成是由许多点光源组所有光源或发光物体都可以看成是由许多点光源组成的，每个点光源向周围空间

17、辐射发散球面波，其波函成的，每个点光源向周围空间辐射发散球面波，其波函数为：数为：tikritkrieePAeratr )()(00)( ),(振源到场点振源到场点P的距离的距离到振源为单位距离到振源为单位距离的场点的振幅的场点的振幅A(P)=a/r是是P点的振幅点的振幅 在光学中，波场中的任一曲面或平面称为波前，在光学中，波场中的任一曲面或平面称为波前，而实验和应用中大多数是在平面上观察波的分布，所而实验和应用中大多数是在平面上观察波的分布，所以现在讨论球面波在以现在讨论球面波在xy平面上的表示方法。平面上的表示方法。现在学习的是第17页，共27页 rzxy0PPo 球面波的点源球面波的点源

18、P0到到P的距离的距离场点场点xy平面到平面到P0的距离的距离8)(21322222222 zyxzyxzzyxzr 设设 0=0，则在，则在xy平面上波的复振平面上波的复振幅为幅为ikreraP )( 当当xy平面远离平面远离P0点时，常考虑两种近似条件点时，常考虑两种近似条件(1) 傍轴近似，满足条件：傍轴近似，满足条件：x2 + y2 z2222yxzr 式中式中ikreraP )( r zzyxzr222 (x , y)现在学习的是第18页，共27页在傍轴条件下，在傍轴条件下，发散球面波发散球面波在在xy平面上的复振幅平面上的复振幅(费涅耳近似费涅耳近似)若是向若是向P点点会聚的球面波

19、会聚的球面波，则，则P点的光场表示为点的光场表示为 ),( )2(22zyxzikezayx 发散球面波发散球面波 ),( )2(22zyxzikezayx 会聚球面波会聚球面波(费涅耳近似费涅耳近似)(2) 远场近似，满足条件：远场近似，满足条件： 或或 zyxk222zyx 22ikreraP )( r zr z现在学习的是第19页，共27页在在远场近似远场近似下，球面波在下，球面波在xy平面上的复振幅表示平面上的复振幅表示 ),( ikzezayx 发散球面波发散球面波会聚球面波会聚球面波 ),( ikzezayx 这两式表示平面波，可见只有这两式表示平面波，可见只有同时满足傍轴条同时满

20、足傍轴条件和远场条件件和远场条件，球面波的波前才完全过度到平面波，球面波的波前才完全过度到平面波的波前，在此情况下，的波前，在此情况下，球面波在球面波在xy平面上可近似看成平面上可近似看成平面波平面波。单色光的概念：单色光的概念：只含单一频率只含单一频率(波长波长)的光称为单色光。的光称为单色光。现在学习的是第20页，共27页 在光学中，严格的单色光就是理想的平面简谐波在光学中，严格的单色光就是理想的平面简谐波；任何在空间或时间上有限的光波都不是严格的单色；任何在空间或时间上有限的光波都不是严格的单色光。光。 在时间上也是无限延伸的，即在其波函数中，对在时间上也是无限延伸的，即在其波函数中，对

21、于任一固定的坐标于任一固定的坐标 z ， t +。 所以，理想的平面简谐波是一种无头无尾，无始无所以，理想的平面简谐波是一种无头无尾，无始无终，在空间和时间上都无限变化的单一频率的波。是在终，在空间和时间上都无限变化的单一频率的波。是在空间各点的振动频率都相同，而且振幅不随时间变化的空间各点的振动频率都相同，而且振幅不随时间变化的正弦或余弦波。正弦或余弦波。理想平面简谐波特点是：理想平面简谐波特点是： 在空间上是无限延伸的，即在其波函数中，对于在空间上是无限延伸的，即在其波函数中，对于任一固定的时刻任一固定的时刻 t， z +。现在学习的是第21页，共27页 另一方面，任何一个非简谐波都可以看

22、成是由另一方面，任何一个非简谐波都可以看成是由许多不同频率，不同振幅的简谐波的叠加结果，这许多不同频率，不同振幅的简谐波的叠加结果，这是因为在一般情况下光波遵从波的叠加原理。我们是因为在一般情况下光波遵从波的叠加原理。我们可以利用数学上的傅利叶分析方法有效地进行叠加可以利用数学上的傅利叶分析方法有效地进行叠加和分解。和分解。 实际的光源发出的都不是严格的单色光波，而是包含实际的光源发出的都不是严格的单色光波，而是包含各种波长成份。若光波中只包含波长范围很窄的成份，则各种波长成份。若光波中只包含波长范围很窄的成份，则这种光称为这种光称为准单色光准单色光。通常所说的单色光就是指准单。通常所说的单色

23、光就是指准单色光。在很多情况下，准单色光可以近似地用平面简色光。在很多情况下，准单色光可以近似地用平面简谐波来描写。谐波来描写。现在学习的是第22页，共27页2 波动方程和叠加原理波动方程和叠加原理 波函数所遵循的二阶线性偏微分方程称为波动方波函数所遵循的二阶线性偏微分方程称为波动方程。波函数就是波动偏微分方程在一定边界条件下的程。波函数就是波动偏微分方程在一定边界条件下的解。解。一维波动方程一维波动方程222221tVz 三维波动方程三维波动方程2222222221tVzyx 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222zyx 波动方程简写波动方程简写22221tV V是波的传播速率是波的传播速率

24、 从数理方法中可从数理方法中可以知道，用分离变以知道，用分离变量法可得一维波动量法可得一维波动方程在一维无界空方程在一维无界空间的解。间的解。现在学习的是第23页，共27页)(cos),(0VztAtz 例例2.2 证明上式是一维波动方程的解证明上式是一维波动方程的解证明：证明：(1) )(sin0VztAt (2) )(cos0222VztAt (3) )(sin0VztVAz (4) )(cos02222VztVAz 比较比较(2)、(4)两式得两式得222221tVz （证毕）（证毕）现在学习的是第24页，共27页 波动方程中，因波函数波动方程中，因波函数 ( , t )和它的导数只和它

25、的导数只出现一次幂，所以是线性偏微分方程。凡是线性微出现一次幂，所以是线性偏微分方程。凡是线性微分方程描述的系统都称为线性系统。线性齐次微分分方程描述的系统都称为线性系统。线性齐次微分方程的一个重要特性是它的解满足叠加原理。如果方程的一个重要特性是它的解满足叠加原理。如果函数函数 1( , t ), 2( , t ), 3( , t ) , m( , t )中，中，每一个都是波动方程的解，那么这些解的线性组合每一个都是波动方程的解，那么这些解的线性组合也将是方程的解。也将是方程的解。rrrrr现在学习的是第25页，共27页即即 2122221221tVz 1 + 2 也是波动方程的一个解。也是

26、波动方程的一个解。证明：证明： 根据题意有根据题意有,12122212tVz 22222221tVz 两式相加有两式相加有 22221222222121ttVzz例例2.3 若若 1( , t )和和 2( , t )是一维波动方程的两个是一维波动方程的两个解，试证明解，试证明 1( , t )+ 2( , t )也是方程的一个解。也是方程的一个解。rrrr现在学习的是第26页，共27页波的叠加就是空间每点振动的合成波的叠加就是空间每点振动的合成标量波标量波矢量波矢量波 ),(),(),(),(321tPtPtPtP ),(),(),(),(321tPtPtPtP 波的叠加原理波的叠加原理 当

27、几列光波在空间相遇时，在重叠区域内任意点，当几列光波在空间相遇时，在重叠区域内任意点，任意时刻的合振动都等于每列光波单独存在时各自在该任意时刻的合振动都等于每列光波单独存在时各自在该点的振动的合成。点的振动的合成。 光波的线性叠加原理在真空中是严格成立的；在介质光波的线性叠加原理在真空中是严格成立的；在介质中其适应性是有条件的。这种条件与介质的中其适应性是有条件的。这种条件与介质的性质性质和和光强光强有有关。光波在其中遵从叠加原理的介质称为关。光波在其中遵从叠加原理的介质称为线性介质线性介质；否；否则称为则称为非线性介质非线性介质。线性叠加原理不成立时的光学现象。线性叠加原理不成立时的光学现象称为称为非线性光学现象非线性光学现象，研究这种现象的光学称为，研究这种现象的光学称为非线性非线性光学光学。现在学习的是第27页，共27页