2022年7第七章习题及答案 .pdf

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1、习题 7 1.一工厂利用三种原料能生产五种产品，其有关数据如下表：每万件产品所用原料数（kg）产品现在原料数（kg）A B C D E 原料甲乙丙1 1 1 2 0 2 1 1 2 0 3 2 1 2 2 10 24 21 每万件产品利润（万元）8 20 10 20 21 (1)求最优生产计划. (2)对目标函数系数c1、c4分别作灵敏度分析. (3)对约束条件的常数项b1、b2分别作灵敏度分析. (4)如果引进新产品F，已知生产F1 万件要用原材料甲、乙、丙分别为1、2、1 公斤，问F 的利润多少时才有利于投产？如果每万件F 可得到利润12 万元，问F 是否有利于投产？(5)如果新增加煤耗不

2、允许超过10 吨的限制，而生产每万件A、B、C、D、E 产品分别需要煤3、2、1、2、1 吨，问原最优方案是否需要改变？如果改变，应如何改变？解：设用54321,xxxxx分别表示计划生产产品A、B、C、D、E 的单位数量（万件）模型为：54321212010208maxxxxxxf0,2122222423102.543215432154315321xxxxxxxxxxxxxxxxxxts标准形：54321212010208minxxxxxff0,2122222423102.876543218543217543165321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts(1)基),(876

3、aaaB对应的初始单纯形表. 1x2x3x4x5x6x7x8xf8 20 10 20 21 0 0 0 0 6x1 2 1 0 1 1 0 0 10 7x1 0 1 3 2 0 1 0 24 8x1 2 2 2 2 0 0 1 21 换基迭代1x2x3x4x5x6x7x8x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - f-2 0 0 20 11 -10 0 0 -100 2x1/2 1 1/2 0 1/2 1

4、/2 0 0 5 7x1 0 1 3 2 0 1 0 24 8x0 0 1 2 1 -1 0 1 11 继续1x2x3x4x5x6x7x8xf-3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 -220 5x1 2 1 0 1 1 0 0 10 7x1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 5/2 4x-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 1/2 所以Tx)10,21,0,0 ,0(,220f即 D 生产 1/2 万件， E 生产 10 万件，获得最大利润220 万元 . (2)对 c1作灵敏度分析记811cc则186321101123220 xxxxxxf（由最优基对应）任以),(47

5、5aaaB为最优基1x2x3x4x5x6x7x8xf-3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 -220 5x1 2 1 0 1 1 0 0 10 7x1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 5/2 4x-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 1/2 若要原最优解不变，应满足条件：03，3则1x的价值系数1101c时，最优解最优值不变. 对 c4作同样的灵敏度分析任以),(475aaaB为最优基1x2x3x4x5x6x7x8xf2-3 -2 -11 0 0 -1 0 -10-2-220-25x1 2 1 0 1 1 0 0 10 7x1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2

6、5/2 4x-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 1/2 若要原最优解不变，应1202100102023，所以2104c，最优值变为2220. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - (3) 对 b1作灵敏度分析设111110bbbb最优基202312001),(475aaaB，则新的基解bBbBxB11所以111212510bbbxB令0Bx得到2125-1b，即2212151b时，最优基不变

7、。对 b4作灵敏度分析可以得到25-2b，即2431b时，最优基不变。(4) 设生产新产品F9x万件，每单位的利润为9c万元9954321212010208minxcxxxxxff0,21222224223102.9876543218954321795431695321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts原最优解Tx)0,25,0 ,10,21,0 ,0,0(是该问题的一个可行解。任取),(475aaaB为基，9100021201020811222211231111212101231100120021cCABCB=1110010011239c所以119c时， B 不是最

8、优基，9x可取非 0 值，从而安排生产F 有利。129c名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2123112121123111919aBp检验数为：10002120102081CABCB1x2x3x4x5x6x7x8x9xf-3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 1 -220 5x1 2 1 0 1 1 0 0 1 10 7x1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 3/2 5/2 4x-1

9、/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 -1/2 1/2 变为1x2x3x4x5x6x7x8x9xf310343310 0 3532-9 0 352205x3238350 1 31321 0 3257x3132320 0 3232-1 1 354x3134311 0 32310 0 34Tx3500032534000即每万件F 可得利润12 万元时，应生产D 为34万件， E 为325万件， F 为35万件。(5) 新增约束条件1022354321xxxxx标准形54321212010208minxxxxxff0,10223)1(2122222423102.91954321854321754

10、3165321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts将（ 1）添入原最优基),(475aaaB对应的单纯形表名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 1x2x3x4x5x6x7x8x9xf-3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 0 -220 5x1 2 1 0 1 1 0 0 0 10 7x1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 0 5/2 4x-1/2 -1 0 1 0 -1

11、0 1/2 0 1/2 9x3 2 1 2 1 0 0 0 1 10 ),(9475*aaaaB为对偶可行基对偶单纯形法1x2x3x4x5x6x7x8x9xf-33 -22 -11 0 0 -11 0 0 -10 -210 5x1 2 1 0 1 1 0 0 0 10 7x-4 -4 -1 0 0 -1/2 1 0 -3/2 4 4x1 0 0 1 0 -1/2 0 0 1/2 0 8x-3 -2 0 0 0 -1 0 1 -1 1 所以最优解Tx0140100000，即改变为只生产E 为 10 万件。3.求解下列线性规划问题的对偶问题：（2）432132minxxxxf（3）43214323

12、minxxxxf0,332432142.2131432421xxxxxxxxxxts无约束324143214324321,0, 0247325433432.xxxxxxxxxxxxxxxts解(1)对偶问题：32132maxyyyg0, 0,3441331222.32121322131yyyyyyyyyyyts无约束名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - (2)对偶问题：321253maxyyyg, ,

13、0,04444373322232.32132132132131无约束yyyyyyyyyyyyyyts3.判断下列说法是否正确，为什么？（1）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解. （2）如果线性规划的对偶问题无可行解，则其原问题也一定无可行解. （3）如果线性规划的原问题和对偶问题都具有可行解，则其原问题和对偶问题一定具有有限最优解 . （4）已知线性规划问题0,maxxbAxcxf，若 x 是它的一个基解，y 是其对偶问题的基解，则恒有ybcx. 解：1.。如原问题是无界解，则对偶问题无可行解。P167 Th3。2.。 （1）的逆否命题。3.。 P167 Thm44.

14、。原问题对偶问题若yx,为可行解cxfmaxybgmin则有byxAyxc0.xbAxts0.ycyAts但若yx,为基解，则不一定6.已知线性规划问题,23min21xxf0,3142342.21212121xxxxxxxxts名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - （1）写出它的对偶问题；（2）应用对偶理论证明原问题和对偶问题都存在最优解. 解：对偶问题3213144maxyyyg0,22233.3

15、21321321yyyyyyyyyts（1）原问题显然有可行解Tx21,0对偶问题可行解Ty1,0,0则由 Thm4 （P167）得原问题和对偶问题都有最优解8.某文具用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。该厂现有工人100 人，每月白坯纸供应量为3 万公斤。已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30 捆，或生产日记本30 打，或练习本30 箱。已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸310公斤，每打日记本用白坯纸340公斤，每箱练习本用白坯纸380公斤。 又知每生产一捆原稿纸可获利润2 元，生产一打日记本获利3 元，生产一箱练习本获利1 元，试确定：（ 1）现有生产条件下

16、获利最大的方案；（ 2）如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40 元，则该工厂要不要招收临时工，招收多少临时工合适？解：设每月生产原稿纸1x捆，日记本2x打，练习本3x箱标准形32132minxxxf0,30000538034031030004.51321321xxxxxxxxxxts以54aaB为基的初始单纯形表0 2 3 1 0 0 3000 1 1 1 1 0 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共

17、9 页 - - - - - - - - - 30000 3103403800 1 变为-9000 -1 0 -2 -3 0 3000 -10000 1 1 1 1 0 -10 0 3403401 对偶单纯形法-8000 0 0 310351012000 1000 0 1 373110111 0 3434101所以最优解为Tx020001000，最优值8000f，最优基)(12aaB原问题的对偶问题的最优解101,35y对偶问题2130000100minyyg0, ,138030133403012310301.21212121yyyyyyyyts其最优解为101,50y，则临时工的影子价格为50

18、 元/月市场价 40 元/月所以应招收临时工。对 b1作灵敏度分析11bb10200040100010402000100001011010140200010001bBxB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 则要保持最优基不变，需要01020000401000，则20025所以300751b内最优基不变则招工的最大人数为200100300，10000)4050(20008000f名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -