高中数学专题函数导数专题.doc

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1、 专题六 函数导数专题【命题趋向】函数是高考考察能力重要素材，以函数为根底编制考察能力试题在历年高考试卷中占有较大比重这局部内容既有以选择题、填空题形式出现试题，也有以解答题形式出现试题一般说来，选择题、填空题主要考察函数概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数几何意义等重要知识，关注函数知识应用以及函数思想方法渗透，着力表达概念性、思辨性和应用意识解答题大多以根本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法严密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进展较为深入考察，表达了能力立意命题原那么这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力试题充

2、分显示了函数与导数主干知识地位在中学引入导数知识，为研究函数性质提供了简单有效方法解决函数与导数结合问题，一般有标准方法，利用导数判断函数单调性也有规定步骤，具有较强可操作性高考中，函数与导数结合，往往不是简单地考察公式应用，而是与数学思想方法相结合，突出考察函数与方程思想、有限与无限思想等，所考察问题具有一定综合性在一套高考试卷中一般有2-3个小题有针对性地考察函数与导数重要知识和方法，有一道解答题综合考察函数与导数，特别是导数在研究函数问题中应用，这道解答题是试卷把关题之一【考点透析】函数和导数主要考点包括函数概念、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，导数及其应用、微积分及微积分根本

3、定理等【例题解析】题型1 函数概念及其表示例1 2021高考山东文5设函数那么值为 ABCD分析：由内向外逐步计算解析： ，故答案A点评：此题考察分段函数概念和运算能力解决关键是由内到外“逐步有选择代入函数解析式，求出函数值例2绍兴市2021学年第一学期统考数学试题第14题如图，函数图象是曲线，其中点坐标分别为，那么值等于 分析：从图象上理解自变量与函数值对应关系 解析：对于点评：图象是表示函数一种方法，图象上反响了这个函数一切性质题型2 函数图象与性质例3浙江省2021年高考省教研室第一次抽样测试理科第14题为非零实数，假设函数图象关于原点中心对称，那么 分析：图象对称性反响在函数性质上就是

4、这个函数是奇函数，根据奇函数对定义域内任意都有点特点可得一个关于恒等式，根据这个恒等式就可以确定值，特别地也可以解决问题 解析： 对于函数图象关于原点中心对称,那么对于，因此有答案点评：函数奇偶性是函数重要性质之一，这两个性质反响了函数图象某种对称性，这二者之间是可以相互转换例4 绍兴市2021学年第一学期统考数学试题第5题设，那么 A B C D分析：以和为分界限，根据指数函数与对数和性质解决解析：对于，因此答案A点评：大小比拟问题，可以归结为某个函数就归结为一个函数、利用函数单调性比拟，不能归结为某个函数一般就是找分界限题型3 函数与方程例5浙江省2021年高考省教研室第一次抽样测试理科第

5、3题函数零点个数是 A B C D分析：这是一个三次函数，可以通过研究这个函数单调性与极值，结合函数图象根本特征解决解析：对于，因此函数在上单调递增，而对于，因此其零点个数为个答案B点评：本例和例9在本质方法上是一致，其根本道理就是“单调函数至多有一个零点，再结合连续函数零点定理，探究问题答案例6浙江省五校2021届高三第一次联考理科第题函数有且仅有一个正实数零点，那么实数取值范围是A B C D分析：函数中二次项系数是个参数，先要确定对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数图象布列不等式解决解析：当时，为函数零点；当是，假设，即时，是函数唯一零点，假设，显然函数不是函数零点，这样函数有且仅有一

6、个正实数零点等价与方程有一个正根一个负根，即，即综合知答案B点评：分类讨论思想、函数与方程思想是高考所着重考察两种数学思想，在此题表达淋漓尽致还要注意函数零点有“变号零点和“不变号零点，如此题中就是函数“不变号零点，对于“不变号零点，函数零点定理是“无能为力，在解决函数零点时要注意这个问题 题型4 简单函数模型及其应用例7苏州市2021届高三教学调研测试第18题经市场调查，某超市一种小商品在过去近天内销售量件与价格元均为时间天函数，且销售量近似满足件，价格近似满足元1试写出该种商品日销售额与时间函数表达式；2求该种商品日销售额最大值与最小值分析：函数模型就是销售量乘以价格，价格函数带有绝对值，

7、去掉绝对值后本质上是一个分段函数，建立起这个分段函数模型后，求其最值即可解析：1 2当时，取值范围是，在时，取得最大值为；当1时，取值范围是，在时，取得最小值为 答案：总之，第天，日销售额取得最大为元；第天，日销售额取得最小为元 点评：分段函数模型是课标考试大纲所明确提出要求一个，分段函数在一些情况下可以用一个带有绝对值解析式统一表达，要知道带有绝对值函数本质上是分段函数，可以通过“零点分区方法去掉绝对值号再把它化为分段函数题型5 导数意义、运算以及简单应用例82021高考江苏8直线是曲线一条切线，那么实数 分析：切线斜率是，就可以确定切点坐标，切点在切线上，就求出来值解析：方法一，令得，即切

8、点横坐标是，那么纵坐标是，切线过点，所以方法二：设曲线上一点点坐标是，由知道过该点曲线切线斜率是，故过该点曲线切线方程是，即，根据这条直线和直线重合，故答案：点评：此题考察导数几何意义应用，即曲线上一点处导数值是曲线在该点切线斜率，解题突破口是切点坐标，这也是解决曲线切线问题时一个重要思维策略在解题中不少考生往往无视“切点在切线上这个简单事实，要引以为戒例9中山市高三级20212021学年度第一学期期末统一考试理科第2题物体 运动方程为是时间，是位移，那么物体在时刻时速度为 A B C D分析：对运动方程求导就是速度非常解析：，将代入即得答案D点评：此题考察导数概念实际背景，考试大纲明确提出“

9、了解导数概念实际背景，要注意这样考点例10江苏扬州市2021-2021学年度第一学期期未调研测试第14题假设函数满足：对于任意都有恒成立，那么 取值范围是 分析：问题等价于函数在区间最大值与最小值差不大于，可以通过求函数在上最值解决解析：问题等价于函数在，函数极小值点是，假设，那么函数在上单调递减，故只要，即只要，即；假设，此时，由于，故当时，此时只要即可，即，由于，故，故此时成立；当时，此时，故只要即可，此显然故，即取值范围是点评：三次函数一直以来都是大纲区高考一个主要考点，主要用这个函数考察考生对用导数研究函数性质、研究不等式等问题理解和掌握程度，随着课标考试大纲对导数公式强化，课标区高考

10、函数导数解答题已经把函数范围拓宽到了指数函数、对数函数、三角函数等包括文科，但三次函数是高中阶段可以用导数研究最为透彻函数之一，高考也不会无视了这个函数!题型6 导数在研究函数、方程、不等式等问题中综合运用例11安徽省 * MERGEFORMAT错误！未找到引用源。皖南八校2021届高三第二次联考理科数学第22题函数，1当时，判断在定义域上单调性；2假设在上最小值为，求值；3假设在上恒成立，求取值范围分析：1通过判断导数符号解决；2确立函数极值点，根据极值点是不是在区间上确立是不是要进展分类讨论和分类讨论标准；3由于参数是“孤立，可以别离参数后转化为一个函数单调性或最值等解决解析：1由题意：定

11、义域为，且，故在上是单调递增函数2由1可知： 假设，那么，即在上恒成立，此时在上为增函数，舍去 假设，那么，即在上恒成立，此时在上为减函数，舍去 假设，令得，当时，在上为减函数，当时，在上为增函数， 综上可知：3又令，在上是减函数，即，在上也是减函数，令得，当在恒成立时，点评：此题前两问是借助于导数和不等式这两个工具研究函数性质，地三问是借助于导数研究不等式，这是目前课标区高考中函数导数解答题主要命题模式求一个函数在一个指定闭区间上最值主要思考方向就是考虑这个函数极值点是不是在这个区间内，结合函数单调性确立分类讨论标准此题第三问实际上是对函数两次求导，也要注意这个方法例12浙江宁波市2021学

12、年度第一学期期末理科第22题函数和点，过点作曲线两条切线、，切点分别为、1求证：为关于方程两根；2设，求函数表达式；3在2条件下，假设在区间内总存在个实数可以一样，使得不等式成立，求最大值分析：1写出曲线上任意一点处切线方程后，把点点坐标代入，就会得到一个仅仅含有参数方程，而两个切点横坐标都适合这个方程，那么两个切点横坐标必是一个以参数为系数一个方程两个解；2根据第一结果和两点间距离公式解决；3根据第二问结果探究解题方案解析：1由题意可知：， ， 切线方程为：，又切线过点， 有，即， 同理，由切线也过点，得由、，可得是方程 * 两根2由 * 知 ， 3易知在区间上为增函数， 那么 即，即，所以

13、，由于为正整数，所以又当时，存在，满足条件，所以最大值为 点评：此题第一问解决方法具有一般意义，许多过一点作曲线两条切线、两个切点横坐标之间关系都可以得到这个结论，这对进一步解决问题往往是关键一步此题第三问解决方法用是先估计、再确定方法，也只得仔细体会例13(2021江苏泰州期末20)，其中是自然常数，1讨论时, 单调性、极值；2求证：在1条件下，；3是否存在实数，使最小值是，如果存在，求出值；如果不存在，说明理由分析：1求导后解决；2去绝对值后构造函数、利用函数单调性解决，或是证明函数；3根据极值点是不是在区间确立分类讨论标准，分类解决解析：1 当时，此时为单调递减，当时，此时为单调递增，极

14、小值为 2极小值，即在最小值为， 令又， 当时在上单调递减 当时，3假设存在实数，使有最小值，当时，由于，那么函数是上增函数解得舍去 当时，那么当时，此时是减函数当时，此时是增函数解得 点评：此题第二问实际上可以加强为证明对任意证明；第三问解答方法具有一般意义，即求函数在指定闭区间上最值分类就是按照极值点是不是在这个区间上进展题型7 函数应用、生活中优化问题例142021高考江苏卷17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形顶点 及中点处，为了处理三家工厂污水，现要在该矩形区域上含边界，且与等距离一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，设排污管道总长为1按以下要求建立函数关系式：设，将表示为

15、函数；设，将表示为函数关2请你选用1中一个函数关系，确定污水处理厂位置，使铺设排污管道总长度最短分析：1已经指明了变量，只需按照有关知识解决即可；2根据建立函数模型，选择合理模型和方法解决解析：1如图，延长交于点，由条件知垂直平分，假设，那么，故 又，所以所求函数关系式为假设，那么，所以所求函数关系式为2选择函数模型方法一：使用导数方法令得 ， ，当时，是减函数；当时，是增函数所以函数在处取得极小值，这个极小值就是函数在最小值，当时，因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到两点距离均为时，铺设排污管道总长度最短方法二：传统方法，记 ，那么，化为，其中，由正弦函数有界性知，解得或，又当时，故，即最小

16、值为，当时，由此知可以取，此时，即当时，函数有最小值下同方法一方法三：从几何意义上考虑同方法二，那么可以看作是平面上定点，与动点上连点斜率，而动点是单位圆在第二象限后半区一段弧，设过点直线方程为，由于圆心到直线距离不大于圆半径，那么(下面分析类似解法一)选用函数模型：方法一：导数方法，令那么，平方得，解得，由于，故，并且可以判断这个是函数最小值点，此时，下面对实际问题解释类似上面解法方法二：判别式方法将函数看作常数，移项，平方，整理得，由于是实数，故，即，解得，或，由于，舍掉这个解，故函数最小值是，当时，方程有两个相等实数根下面对实际问题解释类似于上面解法点评：此题考察函数概念、解三角形、导数

17、等根本知识，考察数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题能力命题者匠心独具地把对同一个问题让考生用不同变量建立数学模型，而在接下来第二问中又要求考生选用所建立两个函数模型中一个来解决优化问题，这就要求考生有对数学模型较高鉴赏能力，选用模型不同，其简繁程度就不同，使考生在比拟鉴别中体会数学美学价值，是一道值得称道优秀试题题型8 定积分理科例15安徽省 * MERGEFORMAT错误！未找到引用源。皖南八校2021届高三第二次联考理科数学第5题假设，那么实数等于A B CD分析：根据微积分根本定理计算定积分，利用方程解决解析： 答案A点评：根据微积分根本定理计算定积分关键是找到一个函数，使这个函数

18、导数等于被积函数，同时要合理地利用定积分性质和函数性质简化计算例16广东潮州市20212021学年度第一学期高三级期末质量检测理科第13题两曲线所围成图形面积是_分析：根据函数图象把所求面积表示为函数定积分，根据微积分根本定理求出这个定积分即可解析：由，解得，或，即两曲线交点和，所求图形面积为答案点评：定积分简单应用主要就是求曲边形面积，注意根据函数图象准确地地用定积分表示这个面积【专题训练与高考预测】一、选择题1函数满足对任意，都有成立，那么取值范围是 ABCD2定义在上函数图象关于点成中心对称，对任意实数都有，且，那么值为 ABC0D13函数；其中对于定义域内任意一个自变量都存在唯一个自变

19、量，使成立函数是 ABCD4设，函数导函数是，且是奇函数 假设曲线一条切线斜率是，那么切点横坐标为 A B C D 5函数在上为减函数，那么实数取值范围是 A B CD6一质点沿直线运动，如果由始点起经过称后位移为，那么速度为零时刻是 A秒B秒末C秒末D秒末和秒末二、填空题7函数，那么关于不等式解集是 8函数在定义域内是增函数，那么实数取值范围为_9文科有以下命题：函数图象中，相邻两个对称中心距离为；函数图象关于点对称；关于方程有且仅有一个实数根，那么实数；命题：对任意，都有，那么：存在，使得其中所有真命题序号是 9理科1 【解析】 这个面积是三 解答题10函数，其中为实数 1假设时，求曲线在

20、点处切线方程； 2当时，假设关于不等式恒成立，试求取值范围11， 1假设在处取得极值，试求值和单调增区间； 2如右图所示，假设函数图象在连续光滑，试猜测拉格朗日中值定理：即一定存在使得？用含有表达式直接答复 3利用2证明：函数图象上任意两点连线斜率不小于 12函数 1假设函数与图象在公共点P处有一样切线，求实数值并求点P坐标； 2假设函数与图象有两个不同交点M、N，求取值范围； 3在2条件下，过线段中点作轴垂线分别与图像和图像交点，以为切点作切线，以为切点作切线是否存在实数使得，如果存在，求出值；如果不存在，请说明理由【参考答案】1解析：A 条件等价于函数单调递减2解析：D 由，得，因此，是周

21、期函数，并且周期是函数图象关于点成中心对称, 因此，=-，所以，3解析：A 是周期函数不唯一，排除；式当=1时，不存在使得成立，排除；答案：A4解析：D ，由于是奇函数，故对任意恒成立，由此得，由得，即，解得，故，故切点横坐标是5解析：D ，因为在上为减函数，故在上恒成立，即在上恒成立，等价于在上最大值设，故，选答案D6解析：D ，即，令，解得或，选答案D7解析： 是奇函数，又，在 单调递增，故定义在上且是增函数由得即故 即不等式解集是8解析： 对一切恒成立，令，那么当时，函数取最大值，故，即9文科解析： 函数，相邻两个对称中心距离为，错误；函数图象对称中心应为，错误；正确；正确9理科解析：

22、2直线与抛物线所围成图形面积为 10解析：1当时，从而得，故曲线在点处切线方程为，即2由，得，令那么令那么，即在上单调递增所以，因此，故在单调递增那么，因此取值范围是11解析：1， 依题意，有，即 ， 令得或， 从而单调增区间为和2 3， 由2知，对于函数图象上任意两点，在之间一定存在一点,使得，又，故有，证毕 12解析：1设函数与图象公共点，那么有 又在点P有共同切线代入得设所以函数最多只有个零点，观察得是零点，此时2方法1 由令当时，那么单调递增当时，那么单调递减，且所以在处取到最大值，所以要使与有两个不同交点，那么有方法2 根据1知当时，两曲线切于点，此时变化对称轴是，而是固定不动，如果继续让对称轴向右移动即，两曲线有两个不同交点，当时，开口向下，只有一个交点，显然不合，所以3不妨设，且，那么中点坐标为以为切点切线斜率以为切点切线斜率如果存在使得，即 而且有和， 如果将两边同乘得 ， ，即设，那么有，令，因此在上单调递增，故，所以不存在实数使得