高中数学的数形结合思想方法全讲解例题巩固测试.doc

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1、数形结合思想方法(1)-讲解篇一、 知识要点概述数与形是数学中两个最古老、最根本元素，是数学大厦深处两块基石，所有数学问题都是围绕数和形提炼、演变、开展而展开：每一个几何图形中都蕴藏着一定数量关系，而数量关系又常常可以通过图形直观性作出形象描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题条件和结论之间内在联系，将数问题利用形来观察，提示其几何意义；而形问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合，寻找解题思路，使问题得到解决方法，简言之，就是把数学问题中数量关系和空间形式相结合起来加以考察处理数学问题方法，称之为数形结合思想方法。数形结合是一

2、个数学思想方法，包含“以形助数和“以数辅形两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形生动和直观性来说明数之间联系，即以形作为手段，数为目，比方应用函数图像来直观地说明函数性质；或者是借助于数准确性和标准严密性来说明形某些属性，即以数作为手段，形作为目，如应用曲线方程来准确地说明曲线几何性质。数形结合思想，其实质是将抽象数学语言与直观图像结合起来，关键是代数问题与图形之间相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算几何意义以及曲线代数特征，对数学题目中条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设

3、参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数取值范围。二、 解题方法指导1转换数与形三条途径： 通过坐标系建立，引入数量化静为动，以动求解。 转化，通过分析数与式构造特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间距离等。 构造，比方构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。2运用数形结合思想解题三种类型及思维方法：“由形化数 ：就是借助所给图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含数量关系，反映几何图形内在属性。“由数化形 ：就是根据题设条件正确绘制相应图形，使图形能充分反映出它们相应数量关系，提示出数与式本质特征。“数形转换 ：就是根据“

4、数与“形既对立，又统一特征，观察图形形状，分析数与式构造，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含数量关系。三、 数形结合思想方法应用(一) 解析几何中数形结合解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络交汇处命题，备受出题者青睐，求解中常常通过数形结合思想从动态角度把抽象数学语言与直观几何图形结合起来，到达研究、解决问题目. 1. 与斜率有关问题【例1】：有向线段PQ起点P与终点Q坐标分别为P-1，1，Q2，2.假设直线lx+my+m=0与有向线段PQ延长相交，求实数m取值范围. 解：直线l方程x+my+m=0可化为点斜式：y+1=-x-0，易知直线l过定点M0，-1，且斜率为-.

5、 l与PQ延长线相交，由数形结合可得：当过M且与PQ平行时，直线l斜率趋近于最小；当过点M、Q时，直线l斜率趋近于最大. 【点评】含有一个变量直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点直线系方程.此题是化为点斜式方程后，可看出交点M0，-1和斜率-.此类题目一般结合图形可判断出斜率取值范围. 2. 与距离有关问题【例2】求：y=cos-cos+32+sin-sin-22最大小值.【分析】可看成求两动点Pcos，sin与Qcos-3，sin+2之间距离最值问题. 解：两动点轨迹方程为：x2+y2=1和x+32+y-22=1，转化为求两曲线上两点之间距离最值问题.如图： 3. 与截距有关问题【例3】

6、假设直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，求k取值范围. 解：曲线x=是单位圆x2+y2=1右半圆x0，k是直线y=x+k在y轴上截距. 由数形结合知：直线与曲线相切时，k=-，由图形：可得k=-，或-1k1. 4. 与定义有关问题【例4】求抛物线y2=4x上到焦点F距离与到点A3，2距离之和为最小点P坐标，并求这个最小值.【分析】要求PA+PF最小值，可利用抛物线定义，把PF转化为点P到准线距离，化曲为直从而借助数形结合解决相关问题. 解：P是抛物线y2=4x上任意一点，过P作抛物线准线l垂线，垂足为D，连PFF为抛物线焦点，由抛物线定义可知：. 过A作准线l垂线，交抛物线于P，垂足为Q，

7、显然，直线AQ之长小于折线APD之长，因而所求点P即为AQ与抛物线交点. AQ直线平行于x轴，且过A3，2，所以方程为y=2，代入y2=4x得x=1. P1，2与F、A距离之和最小，最小距离为4.【点评】 1化曲线为直线是求距离之和最有效方法，在椭圆，双曲线中也有类似问题. 2假设点A在抛物线外，那么点P即为AF与抛物线交点内分AF. (二)数形结合在函数中应用 1. 利用数形结合解决与方程根有关问题方程解问题可以转化为曲线交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题解决得到简化.【例5】方程x2-4x+3=m有4个根，那么实数m取值范围 .【分析】此题并不涉及方程根具体值，只求根个数，而

8、求方程根个数问题可以转化为求两条曲线交点个数问题来解决. 解：方程x2-4x+3m根个数问题就是函数y=x2-4x+3与函数y=m图象交点个数. 作出抛物线y=x2-4x+3=x-22-1图象，将x轴下方图象沿x轴翻折上去，得到y=x2-4x+3图象，再作直线y=m，如下图：由图象可以看出，当0m1时，两函数图象有4交点，故m取值范围是0，1. 数形结合可用于解决方程解问题，准确合理地作出满足题意图象是解决这类问题前提. 2. 利用数形结合解决函数单调性问题 函数单调性是函数一条重要性质，也是高考中热点问题之一.在解决有关问题时，我们常需要先确定函数单调性及单调区间，数形结合是确定函数单调性常

9、用数学思想，函数单调区间形象直观地反映在函数图象中.【例6】确定函数y=单调区间. 画出函数草图，由图象可知，函数单调递增区间为-，0，1，函数单调递减区间为0，1. 3. 利用数形结合解决比拟数值大小问题【例7】定义在R上函数y=fx满足以下三个条件：对任意xR都有fx+4=fx；对任意0x1x22，都有fx1fx2；y=fx+2图象关于y轴对称.那么f4.5，f6.5，f7大小关系是 . 解：由：T=4；由：fx在，上是增函数；由：fxfx，所以fx图象关于直线x=2对称.由此，画出示意图便可比拟大小. 显然，f4.5f70. y=fxgx在区间a，babax解集是x|0ax解集是x|0x

10、4， 即要求半圆在直线上方，由图可知a0，所以选. 【点评】 此题很好表达了数形结合思想在解题中妙用. 【例10】 假设x，时，不等式x-12logax恒成立，那么a取值范围是. . 0，1. ， . ，. ， 解：设y1=x121x2，y2=logax. 由图可知假设y1y21x1. y1=x-12过，点，当y2=logax也过，点，即a=2时，恰有y1y21x2 a2时x-120，那么不等式xfx0解集是. . x|0xa . x|-axa . x|-axa . x|x-a或0x0，可得到fx图象，又由xfx0，可知x与fx异号，从图象可知，当x-a，a，+时满足题意，应选.【例12】 设

11、函数fx2，求使fx取值范围.【解法】由fx得2. 易求出gx和hx图象交点立时，x取值范围为，+. 【解法3】 由几何意义可设1，x，y，那么，可知轨迹是以1、为焦点双曲线右支，其中右顶点为，由双曲线图象和x+1x-1知x.【点评】 此题三种解法都是从不同角度构造函数或不等式几何意义，让不等式解集直观地表现出来，表达出数形结合思想，给我们以“柳暗花明解题情境.四运用数形结合思想解三角函数题 纵观近三年高考试题，巧妙地运用数形结合思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍效果.【例13】函数fx=sinx+2sinx，x，图象与直线y=k有且仅有个不同交点，那么

12、k取值范围是 .【分析】此题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制高考中就能大大地节约时间，提高考试效率. 解：函数fx由图象可知：1k3.【例14】当0x时，函数fx最小值为. . . . . 解：y=那么y为点，与点sin2x，3cos2x两点连线斜率，又点轨迹方程0，即x2+x0，如图，当过点直线ly=kx+5与椭圆x2+x0相切时，k有最小值，应选. 【例15】假设sin+cos=tan0，那么. 解：令fx=sinx+cosx=sinx+ 0.再令，那么sin+cos=.366，tan=1.7321.367，由图象知xP应小于.应选. 【点评】 此题首先构造

13、函数fx，gx，再利用两个函数图象交点位置确定，淘汰了、两选项，然后又用特殊值估算，结合图象确定选项，起到了出奇制胜效果.【例16】 函数fx是定义在，上奇函数，当0x3时fx图象如以下图所示，那么不等式fxcosx0解集是. 解：函数fx定义在，上，且是奇函数，根据奇函数图象性质可知，fx在，上图象如下图，假设使fxcosx1时，关于x方程ax=logax无实解.正确与否. 错解：在同一坐标系中分别作出函数y=ax及y=logax图象a1如图1，可见它们没有公共点，所以方程无实解，命题正确. 【评析】 实际上对不同实数a，y=ax和y=logax图象延伸趋势不同.例如当a=2时，方程无实数解

14、；而当a=时，x=2是方程解.说明两图象向上延伸时，一定相交，交点在直线y=x上.2、注意图象伸展“速度【例20】比拟2n与n2大小，其中n2，且nN+. 错解：在同一坐标系中分别作出函数y=2x及y=x2图象如图2. 由图可知，两图象有一个公共点. 当x=2时，2x=x2； 当x2时，2x2，且nN+时，2nn2.错因是没有充分注意到两个图象在x2时递增“速度！要比拟两个图象递增速度，确实很难由图象直观而得.此题可以先猜测，后用数学归纳法证明.此题正确答案是 当n=2、4时，2n=n2； 当n=3时，2nn2. 证明略.3、注意数形等价转化【例21】方程x2+2kx-3k=0有两个实数在-1

15、与3之间，求k取值范围. 错解：令fx=x2+2kx-3k，结合题意画出图象3中1，再由图象列出不等 解略.【评析】 事实上，不等式组*并不与题意等价，图象3中2也满足不等式组*，但两实根均大于3，还可以举出两实根均小于-1反例.假设不等式组*与图3中1等价，需加上条件-3kb0有四组实数解，求a、b、m应满足关系. 错解：方程组中两个方程分别是椭圆和抛物线方程，原方程组有四组实数解等价于椭圆与抛物线有四个不同公共点.由图4知，m-b，且a，即-a2m-b. 【评析】 观察图象过于草率！事实上，图5也是一种可能情形，即当=a时，仍有可能为四组解.例如当a=2，b=1，m=-4时，可得解集为：，

16、. 现用数形结合求解： 考虑一元二次方程 a2y2+b2y-m+a2b2=0， 令=0即相切情形， 解得m=-， 结合图象， 注意到m-b，那么a、b、m应满足关系是-m0时示意图. 视角二：由m0，先将原方程变形，得x-1=x，再视方程x-1=x两边代数式为两个函数，分别画出函数y=x-1，y=x图象如图2，由图易看出： 当01或-10，即m1时，图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根. 视角三：用别离参数法，先将原方程化为=m. 分别作出函数y=，y=m图象如图3，由图易看出，当m1时，两函数图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根. 视角四：用别离参数法，先将原方程化为. 当x

17、0时，得1-=，当x0时，得-1-=. 分别作出函数y=，y=图象如图4，由图易看出，当01或-11或m-1时，两函 数图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根. 可见，例1各解虽同是数形结合，但大有简繁之分，视角二优于视角一，视角一中两函数中都含有m，因而他们图象也是变化，虽可以通过讨论而获得结论，但讨论时容易因考虑不周而产生漏解，视角三虽看图直观明了，但图象不易作出，而视角四既比视角三作图方便，又比视角二简单，不用讨论，这是因为视角二还有一个函数中含有m，而视角四中已不含m，所以这里以视角四为最理想.【例24】函数fx=ax2+bx且2f14，1f-12，求f-2取值范围.这是我们常出

18、错题，其代数解法有待定系数法、特征函数法、三角代换法等，而众所周知数形结合法是线性规划法. 这类问题可看作一个条件极值问题，即变量a、b在 2a+b4 1a-b2 这两个约束条件下，求目标函数y=4a-2b最大小值问题.约束条件2a+b4，1a-b2解集是非空集，在坐标平面上表示区域是由直线：a+b=4，a+b=2，a-b=2，a-b=1所围成封闭图形图5中阴影局部. y大小又可以看作直线b=2a-y在b轴上截距大小，从图中易知当直线b=2a-y经过A，C3，1时截距分别为最小f-2=5和最大f-2=10. 所以5f-210. 其实还可有如下数形结合法： 要求f-2取值范围，只要确定f-2最大

19、小值，即找到fx图象在x=-2时最高点F与最低点E纵坐标，为此只要确定fx经过E、F时函数表达式，由于fx=ax2+bx是经过原点c=0抛物线系，所以只要再有两点就可确定，由2f14，1f-12，知fx在x=1时最高点B1，4，最低点A1，2，fx在x=-1时最高点D-1，2，最低点C-1，1，如图6，由抛物线图象特征易知经过F点图象就是经过O、B、D图象C2，经过E点图象就是经过O、A、C图象C1，于是： 将B1，4，D-1，2坐标代入fx=ax2+bx得 解得a=3，b=1. 故图象经过O、B、D函数为C2fx=3x2+x，所以 fmax-2=10. 将A1，2，C-1，1坐标代入fx=a

20、x2+bx得 故图象经过O、A、C函数为C1fx=x2+x，fmin-2=5. 所以5f-210.【例25】正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cAk2.此题难度较大，用代数方法一时是无从下手.假设能数形结合，提醒其条件a+A=b+B=c+C=k中隐含几何背景联想到三数相等几何图形是等边三角形，那么可得如下简捷证法. 证明：如图7， 作边长为k正三角形PQR，分别在各边上取点L、M、N，使得QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c， 如果再观察a+A=b+B=c+C=k这个代数条件，从三数相等几何图形是等边三角形，联想到四数相等a+A=

21、b+B=c+C=k几何图形是正方形.那么又可作边长k正方形图8. 由面积关系知其结论aB+bC+cAk2显然成立. 仅举三例，可见一斑，不但数形结合确好，而且同是数形结合，也有不好与好之分，只有把握住“结合 这一数形结合法核心，才能把在由数到形这一变换、操作过程中图形选择多样性，变成解题灵活性和创造性.在实际学习中要结合具体问题掌握一些常规操作策略，例如要画假设是函数图象，那就要设法让要画图象函数尽可能少含参变量，最好不含参变量，如果一定要含有，也要设法让它在较低次函数如一次函数或在简单函数中含有.只有这样，才能从一个新层面上去理解、掌握、运用好数形结合法.【完毕语】 在数形结合法学习中，我们

22、还应进一步看到运算、证明简捷化与严格化是密切相关，“数学中每一步真正进步都与更有力工具和更简单方法开展密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有理论并把陈旧复杂东西抛到一边.数学科学开展这种特点是根深蒂固.“把证明严格化与简捷化绝对对立起来是错误.相反，我们可以通过大量例子来证实；严格方法同时也是比拟简捷比拟容易理解方法.正是追求严格化努力驱使我们去寻求更简捷推理方法.数形结合思想方法(2)-高考题选讲数形结合思想是一种很重要数学思想，数与形是事物两个方面，正是基于对数与形抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞.数

23、缺形时少直观，形少数时难入微. 把数量关系研究转化为图形性质研究，或者把图形性质研究转化为数量关系研究，这种解决问题过程中“数与“形相互转化研究策略，就是数形结合思想.数形结合思想就是要使抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来. 在使用过程中，由“形到“数转化，往往比拟明显，而由“数到“形转化却需要转化意识，因此，数形结合思想使用往往偏重于由“数到“形转化. 考试中心对考试大纲说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题题型特点，为考察数形结合思想提供了方便，能突出考察考生将复杂数量关系转化为直观几何图形问题来解决意识，而在解答题中，考虑到推理论证严密性，对数量关系问题

24、研究仍突出代数方法而不提倡使用几何方法，解答题中对数形结合思想考察以由形到数转化为主. 1. 注重图形内涵与拓展，突出对数字直觉能力考察 【例1】图1有面积关系那么由图2有体积关系：_. 解： 【点评】 此题注重考察图形分析能力.思维方式上从平面向空间拓展，面积与体积类比，直观类比与猜测并举.表达了高考题以能力立意考察注重素质命题原那么.【例2】 如下图，椭圆=1左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，假设F1，F2，P是一个直角三角形三个顶点，那么点P到x轴距离为 . 解：以为圆心以1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，那么12P中12或21为直角，如此求出点坐标即得yp=1表示商业用地，l

25、2表示工业用地，l3表示居住用地.要使各类用地租金收入最高，应将工业用地划在. . 与市中心距离分别为3km和5km圆环型区域上 . 与市中心距离分别为1km和4km圆环型区域上 . 与市中心距离为km区域外 . 与市中心距离为5km区域内 解：由函数y实际意义知：在区间，上，即在与市中心距离分别为km和km圆环型区域上，工业用地租金大于商业用地租金和居住用地租金，为了获取最高租金，因此这个区域应租用给工业，应选B.【点评】 这道题考察是阅读理解能力，提醒我们在日常学习中，要注意训练直觉思维，养成整体观察、检索信息、把握问题实质良好习惯. 2. 注重绘图，突出对动手能力和探究性学习考察【例】设

26、奇函数fx定义域为，假设当x，时，fx图象如以下图，那么不等式fx0解集是_. 解：由奇函数图象关于原点对称，完成fx在定义域内图象，再由fx0找出使fx图象在x轴下方区域，从而得到不等式fx0，x，yxy-n0，那么点，B充要条件是. . m-1，n5. m-1，n5 . m5. m-1，n5 解：先假定点，在直线2x-y+m=0和直线x+y-n=0上，那么m=-1，n=5.再确定两个不等式2x-y-10和x+y-50所共同确定区域，平移两直线得到答案.【点评】此题考察了集合、二元一次不等式表示区域、充要条件等知识.以运动、变化、联系观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，强调辨证思维能

27、力.3. 注重对思维灵活性和创造性考察【例】点是椭圆上动点，1，分别是左、右焦点，为原点，那么取值范围是. 解：此题一种解法是：在1中，根据中线定理得：PF1+PF22P+2F1，再由椭圆定义，得到PF1-PFP，由2P2得答案.另一种解法是数形结合，根据点所处位置对取值影响来判断出结论.逐渐移动点到长轴端点，P值逐渐增大，逐渐接近，当移动点到短轴端点时PF1PF，取最小值0.从而判断出答案为. 【点评】解法二是采用极端性原那么变静态思维方式为动态思维方式，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间取值或某一瞬间相对位置.运用动态思维方式处理、研究问题，提醒了问题本质，表达了思维灵活性. 4. 注重方

28、法通用性、应用性，突出能力考察【例7】电信局为了满足客户不同需求，制定了A，B两种话费计算方案.这两种方案应付话费元与通话时间分钟之间关系如以下图所示MNCD. 1假设通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？ 2方案B从500钟以后，每分钟收费多少元？ 3通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？ 解：由M60，98，C500，168，N500，230. MNCD. 设这两方案应付话费与通话时间函数关系式分别为fAx，fBx， 1通话两小时费用分别是116元和168元. 2由fBn+1-fBn=0.3n500或由直线CD斜率实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元. 3由图知

29、：当0x60时fAx500时fAxfBx；当60fBx得x，即通话时间为，+时方案B较优惠.【评析】此题在实际问题中融入函数，直线等知识，考察了阅读理解能力，表达了在知识应用过程中对能力考察.下面就高考中出现一些相关题进展点评【例8】. 假设方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)内有唯一解，求实数m取值范围。【分析】将对数方程进展等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解问题，再利用二次函数图像进展解决。【解】 原方程变形为 即：设曲线y(x2) , x(0,3)和直线y1m，图像如下图。由图可知： 当1m0时，有唯一解，m1; 当11m4时，有唯一解，即3m0, m1或30),椭

30、圆中心D(2,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同点，它们中每一个点到点A距离等于该点到直线L距离？【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题研究方程组解情况。【解】 由得：a2，b1, A(,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：，消y得：x(47p)x(2p)0所以1664p48p0,即6p8p20，解得：p1。结合范围(,4+)内两根，设f(x)x(47p)x(2p)，所以4+即p0、f(4+)0即p43。结合以上，所以43p。【注】 此题利用方程曲线将

31、曲线有交点几何问题转化为方程有实解代数问题。一般地，当给出方程解情况求参数范围时可以考虑应用了“判别式法，其中特别要注意解范围。另外，“定义法、“数形结合法、“转化思想、“方程思想等知识都在此题进展了综合运用。【例10】. 设a、b是两个实数，A(x,y)|xn，ynab nZ，B(x,y)|xm，y3m15 (mZ)，C(x,y)|xy144，讨论是否，使得AB与(a,b)C同时成立。【分析】集合A、B都是不连续点集，“存在a、b，使得AB含意就是“存在a、b使得nab3n15(nZ)有解AB时xnm。再抓住主参数a、b，那么此问题几何意义是：动点(a,b)在直线L：nxy3n15上，且直线

32、与圆xy144有公共点，但原点到直线L距离12。【解】 由AB得：nab3n15 ;设动点(a,b)在直线L：nxy3n15上，且直线与圆xy144有公共点，所以圆心到直线距离d3()12 n为整数 上式不能取等号，故a、b不存在。【注】 集合转化为点集即曲线，而用几何方法进展研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还表达了主元思想、方程思想，并表达了对有公共点问题恰当处理方法。此题直接运用代数方法进展解答思路是：由AB得：nab3n15 ,即b3n15an 式；由(a,b)C得，ab144 式；把式代入式，得关于a不等式：(1n)a2n(3n15)a(3n15)1440 式,它判别式4n

33、(3n15)4(1n)(3n15)14436(n3)因为n是整数，所以n30,因而0,故式不可能有实数解。所以不存在a、b，使得AB与(a,b)C同时成立【例11】fx=ax+b，2a2+6b2=3，证明对任意x，恒有fx.【点拨】从等式2a2+6b2=3联想到几何图形：椭圆.于是一个好解法出现了. 这是此题一个优美解，从等式外形联想到构造一个几何图形，思维在数和形天地里驰骋.【例12】设p=log2x2t-2log2x+1-t，当t，时恒有p0，求x范围.【点拨】初读，无论如何与图形挂不起钩来，但t范围不是确定了吗？而且发现p是关于t一次函数.这个发现好极了，一次函数图象太简单了，于是按t降幂排列：p=ft=log2x-1t+log22x-2log2x+1， t，时p0恒成立如图2， f0且f0， x8或0x. 简捷吧？数与形和谐地统一，使得问题真正化繁为简了.【例13】设x1，求点x+，x-与点，之