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1、第二十四讲 四点共圆一【知识要点】四点共圆的判定方法:1、假设四个点到一定点的距离相等,那么这四个点在同一个圆上即这四点共圆。2、假设一个四边形的一组对角的和等于180度,那么这个四边形的四个顶点共圆。3、假设一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。4、假设两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5、假设、两线段相交于点,且,那么、四点共圆。6、假设、两线段延长后相交于点,且,那么、四点共圆。7、假设四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积,那么四边形的四个顶点共圆。【典例精讲】例1、锐角的三条高、交于,在、七个
2、点中能组成四点共圆的组数是A、组 B、组 C、组 D、组例2、如图,、四点在同一圆上,的延长线与的延长线交于点,且。1证明:;2延长到,延长到,使得,证明:、四点共圆.例3、如图,在梯形中,点,分别在边,上,设与相交于点,假设,四点共圆,求证:例4、点,直线过点与轴交于点,假设、四点共圆,那么的值为 A、 B、 C、 D、无法求出例5、在圆内接等腰三角形的底边上任取二点、,延长、分别交圆于、,求证:.例6、如图,分别是,边上的点,且不与顶点重合,为方程的两根.1证明:,四点共圆;2假设,求,四点所在圆的半径例7、如图,为圆的直径,为垂直于的一条弦,垂足为,弦与交于点1证明:、四点共圆;2证明:
3、例8、如图,在平行四边形中,为钝角,且,1求证:、四点共圆;2设线段与1中的圆交于、求证:例9、如下图,为的内心,求证:的外心与、四点共圆.例10、三点共线,点在直线外,分别为,的外心求证:,四点共圆.例11、如图,在中,分别是,的角平分线,是与的交点,假设,四点共圆,那么的内切圆半径为多少?例12、如图,点是外接圆弧的中点,点、在边上,使得,。证明:、四点共圆.例13、如图,1求证:、四点共圆;2假设,求线段的长例14、在的边,上分别取,使得,又点是的外心1证明:,四点共圆;2证明:在的平分线上例15、如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点,、分别为弦与弦上的点,且,、四点共圆1证明:是外
4、接圆的直径;2假设,求过、的圆的面积与外接圆面积的比值例16、如图,锐角的内心为,过点作直线的垂线,垂足为,点为内切圆与边的切点1求证:,四点共圆;2假设,求的度数例17、如图,在正中,点,分别在边、上,且, ,相交于点,求证:1,四点共圆;2【强化训练】1、 如图,是的直径,弦,的延长线相交于点,垂直的延长线于点求证:1;2,四点共圆2、如图,是的切线,为切点,是的割线,与交于,两点,圆心在的内部,点是的中点1证明,四点共圆;2求的大小3、如图,为半圆的直径,、分别为半圆的切线,切点分别为、,的延长线交于,的延长线交于,为垂足1求证:、四点共圆;2求证:4、如图,中的两条角平分线和相交于,在
5、上,且1证明:,四点共圆; 2证明:平分5、如图,是的直径,是的切线,割线、分别交于、,连接、求证:6、如图,与相交于、两点,圆心在上,的弦切于点,及其延长线交于,两点,过点作,交的延长线于点1求证:、四点共圆;2假设,求出由四点、所确定圆的直径7、如下图,切圆于,割线交圆于、,于,与的延长线相交于点,连接并延长交圆于点,连接1求证:,四点共圆;2当,时,求圆的半径8、如图,是直角三角形,以为直径的圆交于点点是边的中点,连交圆于点1求证:,四点共圆;2求证:.9、如下图,在中,点为三角形外的一点,以为圆心,为半径的圆与边相切,切点为,圆与边相交于点,直径与边交于点,连接求证:10、如图,在中,是直角,是线段上一点,以为直径的半圆交于,连接交半圆于点,延长交于1求证、四点共圆; 2假设 ,求 的值11、如下图,是的直径,为延长线上的一点,是的割线,过点作的垂线,交的延长线于点,交AD的延长线于点,过作的切线,切点为求证:1,四点共圆;212、如图,与相切于点,为的割线,弦,与相交于点,为上一点,且。1求证:、四点共圆。2假设,求的长13、如图,由外一点引的切线、,过引割线交于、。与交于。求证:.14、如图,、是的三条高,是垂心,求证:.