状态空间模型和卡尔曼滤波2.docx

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1、状态空间模型和卡尔曼滤波摘要:20世纪60年月初，由于工程掌握领域的需要，产生了卡尔曼滤波(Kalman Filtering)算 法。进入70年月，人们明确提出了状态空间模型的标准形式，并开头将其应用到经济领域。 80年月以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。计量经济学领域中的诸多问题， 如可变参数模型、时间序列分析模型、季节调整模型、景气指数的建立、不行观测变量的估 量等都能转化为状态空间模型的形式，从而可以采用卡尔曼滤波来得出相应的估量及进行猜 测。关键字:状态空间 卡尔曼滤波一、状态空间模型的基础理论状态空间模型，亦称动态系统理论，它假设所争论的系统随时间的演化可由一个不 可观测向

2、量序列所确定,与该序列相伴的是一个可观测序列，两者的关系由状态空间模 型来识别”状态空间分析的目的是从观测序列供应的信息来推断不行观测变量的有关性 质”状态空间模型一般由两个方程构成:一个是状态方程，另一个是观测方程”其中状 态方程表示从目前状态向下一个时刻状态转换的方法，即相互间的转换关系;而观测方 程表示实际观测到的向量和状态向量之间的相互关系”通过建立观测方程和状态方程， 状态空间模型为充分描述动态系统的运动特征供应了全都的模型框架，一些相当简单的 问题也可能得以用简洁的形式表示”1.1状态空间模型的定义状态空间模型(State Space Model)一般应用于多变量时间序列。设*是包

3、含k个经济变量的kx 1维可观测向量。这些变量与mx 1维向量at有关，at被称为状态向量。 定义量测方程(Measurement Equation)为yt =Ztat+dt+t,P = 1,T(1.1.1)式中T表示样本长度，Zt是k义m矩阵，力是Zx 1向量，是kx 1向量，是均值为0, 协方差矩阵为Ht的连续的不相关扰动项，即E(C/) = 0, var() = Ht(1.1.2)一般地，at的元素是不行观测的，然而可表示成一阶马尔可夫(Markov)过程。下面 定义转移方程(Transition Equation)为4 =1%+G+R，1 = 1, ,T(M3)式中Tt是m x m矩阵

4、，ct是加x 1向量，Rt是m义g矩阵，r)t是g义1向量， 是均值为0,协方差矩阵为Q的连续的不相关扰动项，即口?)=0,var(7z) = Qt(1 . 1 .4)假设使上述的状态空间模型成立，还需要满意下面两个假定：(1)初始状态向量a0的均值为a 0 ,协方差矩阵为P。，即3%) = a0, var(a0)=4(1.1.6)其中:前面两个称为猜想公式，最终两个为更新(滤波)公式。一I为观测变量的单步猜想，匕 为猜想误差，S,为猜想误差的协方差，K,为卡尔曼增益阵。四、卡尔曼滤波的争论进展1960年，卡尔曼发表了用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文(A New Approach Lo

5、 Linear Fihering and Prediction Problems )。在这篇文章里，一种克服了维纳滤波缺点的新 方法被提出来，这就是我们今日称之为卡尔曼滤波的方法。卡尔曼滤波应用广泛且功能强大, 它可以估量信号的过去和当前状态，甚至能估量将来的状态，即使并不知道模型的准确性质。 本质上来讲，滤波就是一个信号处理与变换(去除或减弱不想要的成分，增加所需成分)的过 程，这个过程既可以通过硬件来实现，也可以通过软件来实现。卡尔曼滤波属于一种软件滤 波方法，其基本思想是:以最小均方误差为最正确估量准那么，采纳信号与噪声的状态空间模型, 采用前一时刻的估训一值和当前时刻的观测值来更新对状

6、态变量的估量，求出当前时刻的估 量值，算法依据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满意最小均方误差的估 量。卡尔曼滤波器(Kalman Fiher)是一个最优化自回归数据处理算法(optimal recursive data processing algorithm),它的广泛应用已经超过30年，包括航空器轨道修正、机器人系统掌 握、雷达系统与导弹追踪等。近年来更被应用于组合导航与动态定位，传感器数据融合、微 观经济学等应用争论领域。特殊是在图像处理领域如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等 当前热门争论领域占有重要地位。卡尔曼滤波作为一种数值估量优化方法，与应用领域的背景结合性很强。因

7、此在应用卡 尔曼滤波解决实际问题时，重要的不仅仅是算法的实现与优化问题，更重要的是采用猎取的 领域学问对被熟悉系统进行形式化描述，建立起精确的数学模型，再从这个模型动身，进行 滤波器的设计与实现工作。滤波器实际实现时，测量噪声协方差R 一般可以观测得到，是滤波器的条件。它 可以通过离线猎取一些系统观测值计算出来。通常，难确定的是过程激励噪声协方差的Q 值，由于我们无法直接观测到过程信号。一种方法是通过设定一个合适的Q,给过程信号“注 入”足够的不确定性来建立一个简洁的可以产生可接受结果的过程模型。为了提高滤波器的 性能，通常要按肯定标准进行系数的选择与调整。基本卡尔曼滤波(人尸)器限定在线性的

8、条件下，在大多数的非线性情形下，我们使用扩 展的卡尔曼滤波(EKF)器来对系统状态进行估量。为了更直观理解卡尔曼滤波，给出卡尔曼 滤波应用示意图.如下图：随着卡尔曼滤波理论的进展，一些有用卡尔曼滤波技术被提出来，如自适应滤波，次优 滤波以及滤波发散抑制技术等渐渐得到广泛应用。其它的滤波理论也快速进展，如线性离散 系统的分解滤波（信息平方根滤波，序列平方根滤波，UD分解滤波），鲁棒滤波（118波）等等。五、状态空间模型和卡尔曼滤波的将来争论方向1、进一步争论关于状态的估量算法，粒子滤波方法是目前学术界解决非线性非高斯系统估 量问题的一个主要方法。但是它的效果受重要性函数和重抽样算法的影响较大，因

9、此，如何 获得更好的重抽样方法和构造更好的重要性函数也是很值得争论的一个方面。2、目前，国际上流行的粒子滤波方法一般都是基于序贯重要抽样的，然而重要抽样只是蒙 特卡罗抽样方法中的一种，像相关抽样、系统抽样、分层抽样等抽样方法都有着自己一些独 特的优点。因此，从其他抽样方法动身争论新型的粒子滤波方法也是一个值得考虑的争论方 向。3、进一步争论关于模型静态参数的估量方法，比方在线EM算法的争论，或者与EM算法 相关的其他平滑算法。4、进一步加强状态空间模型在经济金融中的应用争论。在经济金融中，还有很多非线性、 非高斯的问题，产生结构性渐变或突变的问题，存在不行观测成份等问题，都值得偿试用状 态空间

10、模型进行争论。六、参考文献陈学华，状态空间模型理论与算法及其在金融计量中的应用，博士论文，暨南高校，2007杨小军，基于粒子滤波的混合估量理论与应用，博士论文，西北工业高校，2006于艳萍，郭鹏辉，基于状态空间模型的经济分析，厦门高校学报:自然科学报，2006年B05期4胡土强，敬忠良，粒子滤波算法综述，掌握与决策，2005 （4）5陆昕为，演化卡尔曼滤涉及其在时间序列分析中的应用，硕士论文，中国地质高校，2007 彭丁聪，卡尔曼滤波的基本原理及应用，软件导刊，第8卷第11期，2022年11月付剑茹，张宗成，时变最优套期保值比估量及比拟争论，管理科学学报，第13卷第12 期，2022年12月8

11、龚文引，演化Kalman滤涉及其应用争论D,武汉:中国地质高校争论生院2007.9 A. Doucet, N. de Freitas, and N. Gordon, Eds., Sequential Monte Cario methods in practice, Springer Verlag, New York, 200110Andrew Harvey, Siem Jan Koopman and Neil Shephard, State Space and Unobserved Component Models: Theory and Applications M. Cambridge U

12、niversity Press, 200411 B. Lauterbach and P Schultz. Pricing Warrants: An Empirical Study of the Black-ScholesModel and Its Alternatives J. Journal of Finance, 1990, 45: 1181 120912 Buetow, Gerald W, Jr. Johnson, Robert R, and Runkle Daviad E, The Inconsistency of Return-based Style Analysis. J. Jou

13、rnal of Portfolio Management, Spring2000,61-77Chan, Louis K.C, Chen, Hsiu-Lang, and Lakonishok, Josef., On Mutual Fund InvestmentStyles.J. National Bureau of Economic Research Working Paper 7215, July, 1999D Q Mayne, A solution of the smoothing problem for linear dynamic systems. InAutomatics, volum

14、e 4, pages 73-92, 1966D. Whitley, A genetic algorithm tutorial, Stat. Comput, 4:65-85, 199413 G. Kitagawa, Monte Carlo filter and smoother for non-Gaussian nonlinear statemodels, Journal of Computational and Graphical Statistics, vol. 5, no. 1, pp. 1-25, 199614 GREG WELCH,GARY BISHOP, An Introductio

15、n to the kalman filter J.Department of Computer Science University of forth Carolina at Chapel Hill Chapel Hi 11 ,NC27599-3175,2006.15 Lobosco,Angelo and DiBartolomeo Dan, Approximating the Confidence Intervals for Sharp Style Weights. J. Financial Analysts Journal, 80-85, July/August 1997(2)在全部的时间区

16、间上，扰动项8t和 磔是相互独立的，而且它们和初始状态a 0 也不相关，即B) = 0s, f = l, ,T(1.1.7)且E(0或)=0E(/a(；) = 0t = 1, T(1.1.8)量测方程中的矩阵Z,4,”,与转移方程中的矩阵&q,R,2统称为系统矩阵。如不特 殊指出，它们都被假定为非随机的。因此，尽管它们能随时间转变，但是都是可以预先确定 的。对于任一时刻，、能够被表示为当前的和过去的J和7及初始向量出的线性组合，所 以模型是线性的。对于任何特殊的统计模型，见的定义是由结构确定的。它的元素一般包含具有实际解释意义的成分，例如趋势或季节要素。状态空间模型的目标是，所建立的状态向量见

17、包含 了系统在时刻t的全部有关信息，同时又使用完可能少的元素。所以假如状态空间模型的 状态向量具有最小维数，那么称为最小实现(Minimal Realization)。对一个好的状态空间模型, 最小实现是一个基本准那么。然而,对于任一特殊问题的状态空间模型的表示形式却不是惟一的，这一点很简洁验证。 考虑通过定义一个任意的非奇异矩阵B ,得到新的状态向量6ft =5%。用矩阵B左乘转 移方程(LL3),得到a； =Tt*a + R；q(1.1.12)式中T=BTtB c = Bct.R = BRtO相应的量测方程是yz =Z：a；+d,+/(1.1.13)式中Z*二，8一二系统矩阵z,，凡,2依

18、靠于一个未知参数的集合。状态空间模型的一个主要的任 务就是估量这些参数。为了和模型中的其它参数，如q或4相区分，这些参数被称为超参数 (Hyperparameters)o超参数确定了模型的随机性质，而在q或4中消失的参数仅影响确定性 的可观测变量和状态的期望值。1.2常见模型的状态空间表达式局部水平模型局部水平模型包含一种水平上下运动的随机干扰，没有特定的方向。写成状态空间模 型：yt =4 +%与dN(0,b；)(1.2.1)4，(。，尺)(122)其中，式(121)为观测方程，式)为状态方程。儿是一个缓慢变化的成份，称为水平趋势。该模型是不平稳的状态空间模型，设状态初始设为N(a,P)。均

19、值为0,不平稳的方差应当是无穷的，所以可以设一个较大的数, = J = 0,P = l()7。局部线性趋势模型(1.2.3)A = A-i + A-i +Q，qiidN(0, o；)(1.2.4)其中，人是水平趋势，舟是倾斜趋势。写成状态空间模型形式:+ 0 + /(1.2.5)其中，式(1.2.5)为观测方程，式(1.2.6)为状态方程。可变参数模型通常的回归模型可用下式表示，即yt=xt/3 + st(1.2.6)式中以是因变量，项是1XH2的解释变量向量，是待估量的未知参数向量，t是 扰动项。这种回归方程式的估量方法一般是使用一般最小二乘法(OLS)、工具变量法等计量 经济模型的常用方法

20、。但是不管用其中的哪一种方法，所估量的参数在样本期间内都是固定 的。近年来，我们我国由于经济改革、各种各样的外界冲击和政策变化等因素的影响，经济 结构正在渐渐发生变化，而用以往的OLS等固定参数模型表现不出来这种经济结构的变化, 因此，需要考虑采纳可变参数模型(Time-varying Parameter Model)o下面采用状态空间模型 来构造可变参数模型。量测方程:yt=xtJ3t+st转移方程:国=殖_+坊(1.1.20)在(1.1.19)式中，可变参数月 是不行观测变量，必需采用可观测变量y和%来估量。A对应于(1.1.1)中的状态向量见，与(LL1)相对应，4=七，4=0。在(LL

21、20)式中假定参数0的变动听从于AR(1)模型(也可以简洁地扩展为AR。模型)。与(LL3)相对应,Z=,q=O,R/=/,。依据(LL21)式J和是相互独立的，且听从均值为0,方差为。？和协方差矩阵为Q的正态分布。二、状态空间模型的争论进展状态空间模型系统性争论状态空间模型在不同领域引起了众多学者的关注。Jazwinski(1970), Anderson和 Moore(1979)从工程应用的角度进行了争论。Harvey(1989)对广泛用于经济分析的结构时间序 列模型给出了通俗易懂的状态空间处理方法。West和Harrison(1993)对状态空间模型提出了 贝叶斯观点，并集中争论了猜想问题

22、。Jones(1993)对应用状态空间模型分析longitudinal data 进行了争论。Fahrmeir和Tutz(1994), Shumway和Stoffer(2000)争论了基于状态空间建模的时 间序列分析方法。此外,Hamilton(1994), Kitagawa 和 Gersch(1996), Kim 和 Nelson(1999)都对 状态空间模型的建模方法特别感爱好，进行了深化争论。Durbin和Koopman(2001)采纳基于 模拟的估量方法对非线性非高斯状态空间模型进行了较深化的争论。为了促进状态空模型的 理论进展，加快其在各领域内的应用，学者们在2002年召开了 “状态

23、空间和不行观测成份 模型”国际学术会议，特地争论这一主题。至此，状态空间模型在经济金融领域得到了越来 越广泛的应用。2.1 状态估量问题争论。主要集中于各种滤波算法的争论。所谓滤波，就是从带有干扰的信号中得到有用信号的 精确估量值。滤波理论就是在对系统可观测信号进行测量的基础上，依据肯定的滤波准那么，采纳某种统计最优的方法，对系统的状态进行估量的理论和方法。卡尔曼于1960 年提出的卡尔曼滤波理论，标志着现代滤波理论的建立。卡尔曼滤波首次将现代掌握理论中 的状态空间思想引入最优滤波理论，用状态方程描述系统动态模型，用观测方程描述系统观 测模型，并可处理时变系统、非平稳信号和多维信号。对于具有高

24、斯分布噪声的线性系统， 期望的概率密度函数仍旧是高斯分布，其分布特性可以用均值和方差来描述，卡尔曼滤波可 以得到系统状态的递推最小均方差估量。由于卡尔曼滤波采纳递推计算，因此特别相宜于用 计算机来实现，很快在航空、航天等诸多领域得到广泛应用。对非线性系统的估量问题，最经典并得到广泛应用的方法是以扩展卡尔曼滤波为 代表的算法，该算法需要对模型进行线性化，只有当滤波误差和猜想误差很小时才适用。此 外,应用扩展卡尔曼滤波还需要对非线性函数求雅可比矩阵，这也影响了它在实际中的应用。 与对非线性函数的近似相比，对高斯分布的近似要简洁得多。基于这种思想，剑桥高校Julier 等人于1995年提出了 UKF

25、算法。UKF方法直接使用系统的非线性模型，不象系统，EKF 方法那样需要对非线性系统线性化，也不需要计算Jacobian矩阵。对于线性UKF和EKF具 有同样的估量性能，但对于非线性系统，UKF好的估量。然而，尽管UKF有很多优点，但 对于随机向量的近似，方法那么可以得到更仅仅保证采样点集合的均值和方差特性是不够的。 只有当样本包含更多原始分布的信息时，经过非线性变换后的样本集合才能够表达更多后验 分布的信息。随着计算机计算力量的快速增长和计算本钱的不断降低，粒子滤波己经成为争论非线 性、非高斯动态系统最优估量问题的一个热点和有效方法。其核心思想是:先在状态空间中 生产一组随机样本，这些样本被

26、称为粒子，然后在测量的基础上，通过调整粒子的权值大小 和位置，来获得听从实际分布的样本，并以样本的均值作为系统状态估量值。该算法是一种 递推算法，简洁有用，很简洁推广用来解决猜想和平滑问题，且适合用于系统方程为非线性 和噪声为非高斯的状况。粒子滤波相对于实行解析形式对非线性系统进行近似，得到次优滤 波估量值的传统方法来说，极大地提高了算法的精确性、实时性。然而，传统的粒子滤波算 法存在随时间退化的问题。直到1993年Gordon提出了重抽样的概念，才有效地抑制了退 化问题，奠定了粒子滤波算法的基础。除了常见的由Gordon等提出的序贯重要性重抽样粒子滤波外，还有Kitagawa提出的蒙 特卡罗

27、滤波器和平滑器(Monte Carlo Filter and Smoother), Isard和Blake提出的条件密度传 播算法，M. Pitt和N.Shephard的帮助抽样重要重抽样滤波器(ASIR), C. Musso, N. Oudjane 和F. LeGland提出的正那么化粒子滤波算法(RPF)。止匕外，Kotecha和Duuric(2003提出了高斯 粒子滤波器(Gaussian Particle Filter, GPF),之后不久，又提出了高斯求和粒子滤波器(Gaussian Sum Particle Fitter, GSPF),卡尔曼粒子滤波器和无轨迹卡尔曼粒子滤波等。不同

28、的粒子滤波 算法的区分在于粒子簇进化策略和采用数据方式的差异。目前，在经济金融领域数据分析、信号处理、图像处理、计算机视觉、生物信息学、故 障诊断、目标跟踪及统计学等领域的争论者几乎同时关注粒子滤波器的进展，并提出了很多 改进算法。IEEE信号处理专刊(IEEETrans, on Signal Processing) 2002年第2期将粒子滤波 作为一个专题，争论了粒子滤波的进展及各种应用的现状。2.2 参数估量问题争论由于在大多数状况下不能直接应用极大似然估量方法，状态空间模型的参数估量比一般 的时间序列模型要困难得多，从而需要对状态空间模型的不同子类采纳不同的估量策略 (Ljung, L.

29、(2003)。比方，Zoubin Ghahramani和SamRoweis采用EM算法对线性动态系统进 行参数估量。Schon, T.和Gustafssan, F.(2003)争论了状态或参数是线性的状态空间模型的参 数估量问题，Doucet, A. and Tadic, V. B.(2003)使用粒子滤波实现模型的参数估量。Gibson, S Wills, A.,和Ninness, B. (2005)争论了双线性系统的极大似然参数估量。从使用的方法来看, 基本分为两类，一是直接把模型的参数视为状态，从而可以在滤波的框架下实现，这种做法, 会导致估量结果在很大程度上受参数的初值设置影响，但可以

30、较便利地实现在线估量。二是 引入EM算法，这种方法较流行，算法的收敛性也有肯定的保证。C. Andrieu and A. Doucet (2003)对传统方法进行了推广，对采用在线EM算法进行状态空间模型参数估量进行了争论, 这或许会成为将来争论的一个方向。2.3 状态空间模型在经济金融中的应用争论。状态空间模型的争论正在得到不断的丰富与进展，并被应用到多个领域，如通信系统、 目标定位和跟踪、信号处理、生物信息学、航天工程等。而在经济金融分析方面，也己经得 到了很大的进展，在早期，Harvey(1981, 1989)争论了任何给定ARMA模型的状态空间形式。 Kitagawa与Gersch(

31、1996)提出了基于状态空间模型表示的季节性调整模型。Hamilton (1994) 假设状态变量是离散的，提出了马氏变换模型(Markow Switching),用于处理经济结构发生 突变的问题。Tanizaki (1993a, 1996) Mariano 和 Tanizaki (2000)考虑了 Hall(1978) 1990)的长 久性消费问题，并应用非线性滤波和平滑技术对长久性消费与当前消费分别进行估量。最近, 状态空间模型己经被应用于利率期限结构、衍生产品定价、市场波动估量等方面的争论。比 如 Babbs S.H. and Nowman K.B. (1999), Manoliu M.

32、 and Tompaidis S. (2002)把状态空间模型 用于期限结构分析,Barndorff-Nietsen O.E. and Shephard, N.(2002)用于对已实现波动率争论, Casarin, R., (2004)把贝叶斯蒙特卡罗滤波用于随机波动模型的估量。此外还有Pizzinga(2006b), Swinkels和van der Sluis(2002)等也争论了状态空间模型在经济金融中的应用。在国内，状态空间模型，特殊是非线性滤波理论，在工程和信息等领域得到了越来越广 泛的应用。最近两年，在经济金融中的应用也消失快速增长的势头。在经济方面，状态空间 模型被用于经济变量的

33、检验或估量。比方，杭斌和申春兰(2004)应用状态空间模型分析中国 城镇居民消费与收入的长期均衡关系，石柱鲜和黄红梅(2004)采用状态空间模型估量中国的 潜在GDP,刘金全和刘志刚(2004)采用状态空间模型对我们我国GDP增长率序列进行了趋 势分解，李时兴和李兴绪(2006)采用状态空间模型分析我国财政对农业投入并进行预侧。此 外，刘金全和刘志刚(2005),刘金全和金春雨(2006),王海鹏和田澎(2005 2006)分别将状态 空间模型应用于对我们我国经济周期波动性分析，以及对经济增长率和通货膨胀率、能源消 费之间的关系检验。在金融方面，状态空间模型在分析基金折价，利率期限结构变化和对

34、指 数进行猜想等方面也得到了应用。比方王凯涛和袁泽沛(2003)采用状态空间模型分析基金折 价波。傅曼丽和屠梅曾(2005)采用状态空间利率模型描述利率期限结构的动态变化特征。王 靖和易丹辉(2006)使用状态空间模型测度羊群行为。孙宏义和陈平(200b)采用状态空间模型 结合对上海A股指数进行了拟合与猜想分析。此外，赵松山(2004),高洁(2004)和郭鹏辉 (2006)分别研讨了状态空间模型构建问题。总的说来，与国外，或者国内工程信息等其他领域相比，状态空间模型在我们我国经济 金融中的应用争论都明显滞后，目前基本上使用的是基于卡尔曼滤波的线性高斯模型。而对 非线性非高斯状态空间模型，无论

35、是理论算法争论，还是应用争论，目前还处于刚刚起步的 阶段。三、卡尔曼滤波的基础理论卡尔曼滤波的定义当一个模型被表示成状态空间形式(State Space Form ,缩写为SSF)就可以对之应用 一些重要的算法来求解。这些算法的核心是Kalman滤波。Kalman滤波是在时刻t基于全 部可得到的信息计算状态向量的最抱负的递推过程。Kalman滤波的主要作用是，当扰动项 和初始状态向量听从正态分布时，能够通过猜想误差分解来计算似然函数，从而可以对模型 中的全部未知参数进行估量，并且当新的观测值一旦得到，就可以采用Kalman滤波连续地 修正状态向量的估量。设YT表示在时刻T全部可采用信息的集合，

36、即/二 o状态向量的估量问题依据信息的多少分为三种类型：(1)当7时，超出样本的观测区间，是对将来状态的估量问题，称为猜想(Prediction)；(2)当，=T时，估量观测区间的最终时点，即对现在状态的估量问题，称为滤波 (Filtering)；(3)当， /时，是基于采用现在为止的观测值对过去状态的估量问题，称为光滑 (Smoothing) o进一步，假定4H和P/H分别表示以采用到t- 1为止的信息集合y7M为条件的状态向量,的条件均值和条件误差协方差矩阵，即arhi=E(ajYz)i=var(ajYz)在本节假定系统矩阵Z,2是的，设初始状态向量出的均值和误差协方差矩 阵的初值为。0和

37、Po，并假定0和Po也是的。考虑状态空间模型(1.1.1)、(LL3),设4表示基于信息集合At的%T的估量量，Pt-1 表示估量误差的mx m协方差矩阵，即Qt =E(%t ai)(3.1.1)当给定和与_1时，见 的条件分布的均值由下式给定，即%=卒1+4(3.1.2)在扰动项和初始状态向量听从正态分布的假设下，见的条件分布的均值q门是在最小 均方误差意义下的一个最优估量量。估量误差的协方差矩阵是%t=TtT；+RQR；,r=1，丁(3.1.3)方程()、()叫猜想方程(Prediction Equations) o一旦得到新的观测值% ,就能够修正火的估量4H ,更新方程(Updatin

38、g Equations)是a, =a，H +2_2：47(匕-Z31 -d)(3.1.4)和月=2_(3.1.5)其中，八E=ZhZ： + H,1,T(3.1.6)上述的(3.1.2)(3.1.6)一起构成Kalman滤波的公式。Kalman滤波的初值可以按4和外 或勺。和 小 来指定。这样每当得到一个观测值时, Kalman滤波供应了状态向量的最优估量。当全部的T个观测值都已处理，Kalman滤波基于 信息集合,产生当前状态向量和下一时间期间状态向量的最优估量。这个估量包含了产 生将来状态向量的最优猜想所需的全部信息。猜想误差匕=匕一羽 1 = Z, (% a 归)+ 弓，(3.1.7)被称

39、为新息(Innovations),由于它代表了最终观测的新信息。从更新方程(3.1.4)中可以看出, 新息匕对修正状态向量的估量量起到了关键的作用。在正态假定下，依据 是最小均方误差意义下的最优估量量，可以推断匕的均值是零向量。进一步地，从（3.1.7）式简洁看出var（v,） = E（3.1.8）式中由（3.1.6）式给定。在不同的时间区间，新息匕是不相关的，即E（V/V；） = 0= 1,T（）3.2卡尔曼滤波的推导卡尔曼滤波算法最早由Kalman在1960年提出，该种算法有几种不同的推导方法。如 Harvey（1989） Tanizaki （1996）o由于在线性高斯假设下，随机变量可以

40、完全由其均值和方差 所描述，下面我们采用高斯分布的有关性质和递归贝叶斯滤波理论进行推导，这种表达比拟 直观。由模型假设，即与,7和与听从正态分布，那么可以推出王和弘也听从正态分布。而且，条件密度函数p（x/M；）p（yk）和（西匕_）也是正态密度函数，分别写为：（可 加）= N（x%, 外,）三（七 一 /，%，）（321）|西）=N（H内,R）三（y - Htxt, R）（）= ME-,Q）=（X, -Ftxt_x,Q）（3.2.3）M%|%）= N（x0|o竭0）三中（x “0）（324）这里（为一飞$,亿卜）表示均值为s,方差为小的正态密度。即m 1（七/，稣）=（2%）2|0印_5（七

41、-2）“（七-?）（325）而X小三讥可几%三仇（西一林）（乙f S）仇s（326）假设，在t-1时刻，P（4i“T）三，月th）三（41 4恒，匕口）（327 ）卡尔曼滤波的目标是要对t时刻的状态进行观测：飞I三仇七Mi （3.2.8）三仇（为）a几.|1并且在获得t时刻的观测信息y”寸，对t时刻的状态进行更新估量:X小三仇为兄/勺,三 E（V）（V）帆依据递归贝叶斯滤波公式：P（x/x；i）= f （西卜1）2（卑|“一）公1/、（小）（小41）P（Xt %）二-F-J p（y七）（七九1）公,那么线性高斯状态空间模型的递归贝叶斯估量的猜想与更新步为：1、猜想：p（xjy；i）=Jp（X/

42、k-l）M西3Vl）T= （%, Ex-,。）（%-4口，匕3）公1=（%G%th，瓦th耳+。）三（毛_.一1，）(3.2.9)(3.2.10)(3.2.11)(3.2.12)2、更新：,=(一|x)P(讣3一1)P *JP(ytxt)P(xtyl.t_l)dxt_(- H吊,H)(3 -%_)J ( - H/, R)-/)囱_I=中(七 K,(y,一 火倒勺一)(3213)三(七-均“)其中：三%“.1 = /巾.1匕二M 一如，(3.2.14)S产 E(VM)= HFgH： + RKfMS：猜想与更新的第三个等式推导相对简单。分别比拟猜想与更新的第三步与第四步，得到:力1三仇为兀=E为_恒(3.2.15)(3.2.15)三 (%, %(%, /Mi = FtPt_FQX小三仇为尻=fl + K/匕4,三讥(七一%)(为一2)“=尸巾T _ K,H“i