模糊逻辑.doc

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1、模糊逻辑模糊集和模糊逻辑43概念起源于1965年，它是由美国控制论专家L.A. Zadeh首先提出的. 模糊集合论是经典集合论通过引入所谓隶属函数的概念发展起来的，目前已经建立起一系列有关模糊数学的基础理论和应用方法51-54. 其基本思想是利用数学语言来描述并解释具有不确定性（模糊性）的自然语言、自然现象以及不能或很难建立其精确的数学模型的物理过程，使之被纳入到定量分析理论中，再利用数学理论和工具去解决这些问题，达到更加符合实际的目的. 由于较之分明集合，模糊集合能更好地反映、描述和刻划客观实际问题，自它诞生之日起，不仅得到了数学工作者、理论分析家的推崇，而且也得到应用专家的钟爱. 随着计算

2、机技术的飞速发展，模糊集理论和模糊逻辑在解决实际问题等方面已显示出巨大的优越性，广泛并成功地运用于控制理论、优化过程、聚类分析、模式识别、知识表示、专家系统及信号与图象的分析处理等诸多领域55-65. 在本文的讨论中，除非特别说明，一直规定是一个带有“+”运算的Abelian群. 的最典型的例子是维Euclidean空间和维离散数值空间（是一个非负整数）. 定义中任意元素和的差为，其中表示元素在中的逆元. 1 模糊集合包含关系的模糊化每一个映射确定上的一个模糊（子）集，对任意，称为点属于集合的程度，称为模糊集的隶属函数. 和之间是相互唯一确定的. 以后，我们将对和不加区别，统称其为上的一个模糊

3、集. 记为上的模糊集的全体. 集合的幂集可以嵌入到中. 事实上，对任意，令则，常称为集合的特征函数. 在上定义偏序“”：，则和都构成偏序集，且还是完备格. 若规定的补“”为，那么，和都形成完备的布尔格. 1.1 模糊逻辑运算定义1.1 模糊合取是从到的二元运算，满足（1）单调性：关于两个变量均是非降的；（2）边界条件：，.若模糊合取还满足（3），则称是一个三角半范（简称半范）. 满足（4）交换律：；（5）结合律：的三角半范称为一个三角范数，或范数. 称满足，的连续的范数为一个Archimedean范数. 定义1.1中的边界条件是为了确保模糊合取是Boolean合取运算的扩张，其中的单调性是使得

4、具有逻辑意义. 常用的、比较典型的模糊合取运算有运算：概率积运算：运算：运算： 运算：族运算：当时，当时，在这些模糊合取运算中，到都是范数（其中到还是Archimedean范数），而且有且对任意范数，有最后三种模糊合取运算都不满足交换律，因而它们都不是范数. 直接由定义可知，如果是一个模糊合取，则对任意的，均有.引理1.1 设是一个Archimedean范数，则存在常数，单调递增函数，使得，如果存在常数，且是也单调递增函数，则，当且仅当存在，对任意，有. 引理表明，任意Archimedean范数均可以唯一由一个递增函数表示，常称为的生成函数. 定义1.2 模糊析取是从到的函数，满足（1）单调性

5、：关于两个变量均是非降的；（2）边界条件：，.若模糊析取还满足（3）则称为一个三角共轭半范（或称半范）. 满足（4）交换律：；（5）结合律：的三角共轭半范被称之为一个三角共轭范数（共轭范数，或范数）. 定义1.3 设是上的一个递减函数，满足，且是对合的（，），则称是上的一个“负”. 值得注意的是，“负”是不唯一的. 是上的一个典型的“负”，通常称之为“自然负”. 除此之外，在上还存在许多“负”，例如， 就是其中一类“负”. 性质1.1 设是上的一个负，则是一个严格递减的连续函数. 而且还有，其中为任意指标集，.证明 如果不是严格递减的，则存在，使得. 由的对合性有，即，矛盾. 如果在上不连续，

6、设为的一个不连续点. 若，则，且. 从而存在，使对任意，. 然而，矛盾. 如果，证明是容易的. 易知，. 如果，则，这是不可能的. 因此得到同理可以证明 性质1.2 设是从到上的一个严格递增函数，则是上的一个负. 证明 仅需证明满足单调性，边界条件（，）和对合性. 直接验证即可. 一个模糊合取和一个模糊析取被称为关于给定的负是互为对偶的，如果和满足事实上，任意给定一个模糊合取和一个负，是一个模糊析取. 并且，这样的和是互为对偶的. 根据前面所列范数和模糊合取，给定一个负，容易得到与之对偶的范数和模糊析取. 定义1.4 模糊蕴涵是从到的函数，满足（1）关于第一个变量是非增的，而关于第二个变量是非

7、降的；（2），.如果是一个模糊蕴涵，则对任意，有.设是上的一个函数，是上的一个负，称函数为函数的负函数，简称为的负. 事实上，在对偶意义下，与是互为负函数的. 特别地，给定一个负，一个模糊合取和一个模糊蕴涵，分别称，为运算和的负. 定理1.1 设是上的一个负，则（1）是上的一个模糊合取当且仅当是上的一个模糊蕴涵；（2）是上的一个模糊蕴涵当且仅当是上的一个模糊合取. 证明 直接验证即可证明. 设是一个负，是一个模糊合取，则是一个模糊蕴涵，通常称之为模糊合取关于负的模糊蕴涵，记为. 定义1.5给定上的一个模糊合取，如果存在，使得，则称为的一个零因子. 换句话说，如果对任意的，则没有零因子. 定义1

8、.6 给定上的一个模糊合取，令 ， （2-1）称为模糊合取的剩余. 需要指出的是，由（2-1）定义的并不一定是模糊蕴涵. 可以证明，如果没有零因子，则这样的是一个模糊蕴涵，称之为模糊合取的剩余蕴涵，记为.任给一个没有零因子的模糊合取，利用（2-1），可以很容易地计算出其剩余蕴涵. 直接计算表明，当取负时，合取运算的负（蕴涵）是合取运算的剩余蕴涵；合取运算的负（蕴涵）是合取运算的剩余蕴涵. 合取运算的负（蕴涵）是概率积合取运算的剩余蕴涵；概率积合取运算的负（蕴涵）则是合取运算的剩余蕴涵. 而合取运算和族合取运算的负分别为它们对应的剩余蕴涵运算，也就是说，这两种运算的蕴涵和蕴涵是一致的. 一般地，

9、给定一个模糊蕴涵，不一定是负，因为并不一定满足对合律. 但是，当满足，时，是一个负，而且.定理1.2 设是上的一个Archimedean范数，则是上的一个负. 证明 由的定义及单调性知，是递减的，且，由是一个Archimedean范数，则存在常数，单调递增函数，使得，对任意， 当时，是显然的. 因此，是上的一个负. 1.2 模糊集合的包含度设，则有下列等价结论： （2-2）及 （2-3）这里，和分别表示Boolean逻辑运算中的合取和蕴涵.用代表，表示集合“撞击”. 我们扩展这种关系以及两个集合的包含关系到模糊集合上. 定义1.7 设，用取代（2-2）中的（存在），定义模糊集合“撞击”模糊集的

10、程度（与相交的程度）为，同样，以取代（2-3）中的（任意），定义模糊集合包含于模糊集合中的程度为，这里，和分别表示某种给定的模糊合取和模糊蕴涵运算. 下列性质是容易验证的. 性质1.3 设，则有，如果均是分明集合，则，值得注意的是，对模糊集，若按，定义模糊集的包含关系，则一般是不成立的. 但是，我们有性质1.4 设模糊蕴涵满足，则证明 ：对任意，由，知，因而：由，对任意，有，从而. 容易验证，如果没有零因子的模糊合取满足，为的剩余蕴涵，则性质1.4成立. 特别地，如果取为模糊合取的剩余蕴涵，则该定理自然成立. 性质1.5 设，则有（1），；（2），；（3） 对任意，其中,分别表示,沿点的平移模

11、糊集，.证明 由模糊蕴涵和模糊合取的单调性，（1），（2）的证明是容易的. 下面证明（3）. 性质1.6 设，为两个任意指标集，若定义，则有，证明 利用和的定义，直接验证即可证明. 1.3 模糊集的Minkowski和扩张原理是将分明映射转化为模糊映射的重要桥梁，它在模糊集合论中具有重要的意义. 本节将利用扩张原理定义模糊集的Minkowski和运算. 扩张原理 设，分别为非空集，上的模糊集合全体，为一个非负整数，每一个从到的元（点态）映射均可以以如下方式扩展为从到的元模糊映射. 对任意，若在上无解，则规定，其中的是上一给定的满足结合律的模糊合取运算. 例如，设为给定的某种模糊合取运算. 记为

12、上的某种分明运算（比如：加、减或乘运算），为对应运算的模糊扩张，则对上的两个模糊集，有，特别地，取，定义模糊集与的模糊Minkowski和为模糊集，具体地，对任意，如果和都是分明集，则也是一个分明集，并且，在下一章中，我们将继续探讨模糊集的Minkowski和运算及其性质. 2 模糊逻辑运算间的伴随关系在以下的讨论中，一直记和为，记和为.定义2.1 设和分别是上的模糊合取和模糊蕴涵运算，如果对每个，任意，均有 （2-4）则称和在上满足伴随关系，也称模糊蕴涵和模糊合取在上满足伴随关系. 注意：上满足伴随关系的两个二元函数和并不一定是模糊蕴涵和模糊合取. 定理2.1 如果上的模糊蕴涵和模糊合取满足

13、伴随关系，则对任意的，有（1）；（2）；（3）；（4）.证明 （1）：在（2-4）中，取，则有；取，则有. 从而（2）：.（3）：.（4）：由（2）、（3），直接可以得到（4）的结论. 根据定理2.1，给定一个模糊合取和模糊蕴涵，如果满足伴随关系，则和可以相互确定. 下面的定理表明，这样的和相互之间还是唯一确定的. 定理2.2 设模糊蕴涵和模糊合取分别都满足伴随关系，则. 类似地，设模糊蕴涵和模糊合取分别满足伴随关系，则.证明 设，都满足伴随关系，则对任意，有，从而有因此，对任意的，即.同理可以证明定理的第二部分. 一般来讲，给定一个模糊合取，若通过（2-1）得到的为其剩余蕴涵， 那么，并不一

14、定满足伴随关系. 但是，我们有定理2.3 模糊蕴涵和模糊合取满足伴随关系当且仅当是模糊合取的剩余蕴涵，并且关于第二个变量是下半连续的. 证明 设是一对伴随关系，则对任意，有因而对任意的， 因而即关于第二个变量是下半连续的. 反之，对任意的，设，则如果，由是的剩余，立即得. 这就证明了是一对伴随关系. 定理2.4 设无零因子的模糊合取关于第二个变量是下半连续的，则存在唯一一个模糊蕴涵，使得满足伴随关系. 同样地，给定一个模糊蕴涵，如果关于第二个变量是上半连续的，且对任意，均有，则存在唯一一个模糊合取，使得满足伴随关系. 证明 对任意，令则由无零因子知，是一个模糊蕴涵. 若，则由的构造形式，直接有

15、.若，即，由关于第二个变量是下半连续的及的单调性，有 因此，满足伴随关系. 的唯一性由定理2.2直接得到. 定理的第二部分类似地可以证明. 定理2.5如果模糊蕴涵和模糊合取满足伴随关系，则对每一个和任意，均有，也就是说，对每一个，是上的一个上半连续函数，而是上的一个下半连续函数. 证明 由满足伴随关系，则对任意和， 因此又 从而定理成立. 定理2.6 设满足伴随关系，则对任意和，证明 对任意和，： 从而： 因此 如果满足伴随关系，且可交换，则定理2.6自然成立. 定理2.7 设对任给的指标集及任意，模糊蕴涵和模糊合取满足伴随关系，则是一个模糊蕴涵，是一个模糊合取，且形成一对伴随关系. 证明 直

16、接验证可知，是一个模糊蕴涵，而是一个模糊合取. 对任意的， 即满足伴随关系. 定理2.8 设模糊蕴涵和模糊合取（）满足伴随关系，令，则是一个模糊蕴涵，是一个模糊合取，且形成一对伴随关系. 证明 类似于前一定理的证明，直接验证即可. 定理2.9 设模糊蕴涵和模糊合取满足伴随关系，是一个连续、递增映射，并满足，且具有逆. 令则是一个模糊蕴涵，是一个模糊合取，且形成一对伴随关系. 证明 直接验证即可得到证明. 定理2.10 设是一对伴随关系，则对任意，证明 ：设对任意，有，则对每一个，成立. 又另一方面，因此，.：完全类似地可以证明. 定理2.11 设满足伴随关系，满足交换律，则满足结合律当且仅当对任意，.证明 利用定理2.10，结论容易得证.