ZF公理系统(2页).doc

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1、-ZF公理系统-第 2 页ZF公理系统ZF公理系统是策梅洛(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)等提出的ZF系统，主要内容如下：(ZF1)外延公理：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。(ZF2)空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。(ZF3)无序对公理：也就是说，任给两个集合x、y，存在第三个集合z，而wz当且仅当w=x或者w=y。(ZF4)并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使wy当且仅当存在z使zx且wz”。(ZF5)幂集公理：也就是说，任意的集合

2、x，P（x）也是一集合。准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使zy当且仅当对z的所有元素w，wx”。(ZF6)无穷公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。准确的定义：“存在一个集合，使得空集是其元素，且对其任意元素x，xx也是其元素。”根据皮亚诺公理系统对自然数的描述，此即：存在一个包含所有自然数的集合。(ZF7)分离公理模式：“对任意集合x和任意对x的元素有定义的逻辑谓词P(z)，存在集合y，使zy当且仅当zx而且P(z)为真”。(ZF8)替换公理模式：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合t，当x属于t时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。(ZF9)正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使xy为空集。”