2022年初中数学圆的专题训练 .pdf

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1、第1页（共 28页）圆的专题训练初中数学组卷一选择题（共15 小题）1如图，O 的半径为 4，ABC 是 O 的内接三角形， 连接 OB、OC若 BAC 与 BOC互补，则弦BC 的长为（）A3 B 4C5D62如图， AB 是 O 的直径，弦CDAB 于点 E， CDB=30 ， O 的半径为5cm，则圆心 O 到弦 CD 的距离为（）Acm B3cm C3cm D6cm 3如图，AB 是 O 的直径，CDAB ，ABD=60 ，CD=2，则阴影部分的面积为（）ABC2D44如图，已知AB 是O 的直径， D=40 ，则 CAB 的度数为（）A20 B40 C50 D705如图，半径为 3

2、的A 经过原点 O 和点 C（0，2） ，B 是 y 轴左侧 A 优弧上一点， 则 tanOBC 为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第2页（共 28页）AB2CD6如图， AB 是圆 O 的直径，弦CDAB， BCD=30 ，CD=4，则 S阴影=（）A2B C D7如图，O 中，弦 AB 与 CD 交于点 M，A=45 ，AMD=75 ，则 B 的度数是 （）A15 B25 C30 D758如图，点A，B

3、，C 在O 上， A=36 ， C=28 ，则 B=（）A100B72 C64 D369如图，在平面直角坐标系中，P 与 x 轴相切，与y 轴相交于A（0，2） ，B（0，8） ，则圆心 P 的坐标是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第3页（共 28页）A （5，3）B （5，4）C （ 3，5）D （4，5）10如图，正方形ABCD 的边 AB=1 ，和都是以 1 为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（

4、）AB1C1 D111如图， ABC 内接于半径为5 的O，圆心 O 到弦 BC 的距离等于3，则 A 的正切值等于（）ABCD12如图所示，在ABC 中， A=90 ，AB=AC=2cm ， A 与 BC 相切于点D，阴影部分的面积为（）ABCD13如图，某工件形状如图所示，等腰RtABC 中斜边 AB=4 ，点 O 是 AB 的中点，以O为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（）ABCD214若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（）A3：2 B3：1 C5：3 D2：1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

5、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第4页（共 28页）15如图，AB 为半圆 O 的直径， C 为半圆上一点， 且为半圆的设扇形 AOC 、COB、弓形 BmC 的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（）AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1二解答题（共10 小题）16已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径， C 是圆上一点， D 是 BC 延长线上一点，过点D 的直线交 AC 于 E 点，且 AEF 为等边三角形（1）求证： DFB 是等腰三角形；（2）若

6、 DA=AF，求证： CFAB 17已知 ABC ，以 AB 为直径的 O 分别交 AC 于 D，BC 于 E，连接 ED，若 ED=EC（1）求证： AB=AC ；（2）若 AB=4，BC=2，求 CD 的长18如图，正方形ABCD 内接于 O，M 为中点，连接BM ，CM（1）求证： BM=CM ；（2）当 O 的半径为 2 时，求的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第5页（共 28页）19如图， O 是

7、ABC 的外接圆， AC 为直径，弦BD=BA ，BEDC 交 DC 的延长线于点 E（1）求证： 1=BAD ；（2）求证： BE 是 O 的切线20如图， O 的直径为 AB ，点 C 在圆周上（异于A，B） ，AD CD（1）若 BC=3，AB=5 ，求 AC 的值；（2）若 AC 是 DAB 的平分线，求证：直线CD 是O 的切线21如图，直角ABC 内接于 O，点 D 是直角 ABC 斜边 AB 上的一点，过点D 作 AB的垂线交 AC 于 E，过点 C 作 ECP=AED ，CP 交 DE 的延长线于点P，连结 PO 交 O于点 F（1）求证： PC 是 O 的切线；（2）若 PC

8、=3，PF=1，求 AB 的长22如图，在ABC ，AB=AC ，以 AB 为直径的 O 分别交 AC、BC 于点 D、E，点 F 在AC 的延长线上，且CBF=CAB （1）求证：直线BF 是O 的切线；（2）若 AB=5，sinCBF=，求 BC 和 BF 的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第6页（共 28页）23如图， AB 是 O 的直径，点F、C 在O 上且，连接 AC 、AF，过点 C 作 CDA

9、F 交 AF 的延长线于点D（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）若，CD=4 ，求 O 的半径24如图，已知圆O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E，连接 CO 并延长交AD 于点 F，且 CFAD （1）请证明： E 是 OB 的中点；（2）若 AB=8，求 CD 的长25如图， AB 是 O 的直径，弦CDAB 于点 E，且 CD=24，点 M 在 O 上， MD 经过圆心 O，联结 MB （1）若 BE=8，求 O 的半径；（2）若 DMB= D，求线段 OE 的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

10、名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第7页（共 28页）圆的专题训练初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共15 小题）1 （ 2016?陕西）如图，O 的半径为 4，ABC 是O 的内接三角形，连接OB、OC若BAC 与 BOC 互补，则弦BC 的长为（）A3 B 4C5D6【分析】 首先过点 O 作 ODBC 于 D，由垂径定理可得BC=2BD ，又由圆周角定理，可求得 BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案【解答】 解：过点 O 作 ODBC 于 D，则 BC=2BD

11、， ABC 内接于 O，BAC 与BOC 互补， BOC=2A， BOC+A=180 ， BOC=120 ，OB=OC ， OBC=OCB=（180 BOC）=30 ， O 的半径为 4，BD=OB ?cosOBC=4=2，BC=4故选： B【点评】 此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用2 （ 2016?黔南州）如图，AB 是 O 的直径，弦CDAB 于点 E， CDB=30 ， O 的半径为 5cm，则圆心 O 到弦 CD 的距离为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

12、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第8页（共 28页）Acm B3cm C3cm D6cm 【分析】 根据垂径定理知圆心O 到弦 CD 的距离为 OE；由圆周角定理知COB=2CDB=60 ，已知半径OC 的长，即可在RtOCE 中求 OE 的长度【解答】 解：连接 CBAB 是 O 的直径，弦CDAB 于点 E，圆心 O 到弦 CD 的距离为 OE； COB=2CDB （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），CDB=30 ， COB=60 ；在 RtOCE 中，OC=5cm， OE=OC?c

13、osCOB，OE=cm故选 A【点评】 本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解3 （ 2016?通辽）如图， AB 是 O 的直径， CDAB， ABD=60 ，CD=2，则阴影部分的面积为（）ABC2D4【分析】连接 OD，则根据垂径定理可得出CE=DE ，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可【解答】 解：连接 ODCDAB ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

14、- - 第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第9页（共 28页）CE=DE=CD=，故 SOCE=SODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又 ABD=60 ， CDB=30 ， COB=60 ，OC=2，S扇形OBD=，即阴影部分的面积为故选 A【点评】 本题考查的是垂径定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键4 （ 2016?娄底）如图，已知AB 是 O 的直径， D=40 ，则 CAB 的度数为（）A20 B40 C50 D70【分析】 先根据圆周角定理求出B 及 ACB 的度数，再由直角三角形的性质即可得出

15、结论【解答】 解： D=40 ， B=D=40 AB 是 O 的直径， ACB=90 ， CAB=90 40 =50 故选 C【点评】 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键5 （2016?达州）如图，半径为3 的A 经过原点 O 和点 C（0，2） ，B 是 y 轴左侧 A 优弧上一点，则tanOBC 为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 28 页 - - - - - - -

16、 - - 第10页（共 28页）AB2CD【分析】 作直径 CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tanCDO ，根据圆周角定理得到 OBC= CDO ，等量代换即可【解答】 解：作直径CD，在 RtOCD 中， CD=6，OC=2，则 OD=4，tanCDO=，由圆周角定理得，OBC= CDO，则 tanOBC=，故选： C【点评】 本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键6 （ 2016?广安）如图， AB 是圆 O 的直径，弦CDAB， BCD=30 ，CD=4，

17、则 S阴影=（）A2B C D【分析】 根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知DOE=60 ，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODBSDOE+SBEC【解答】 解：如图，假设线段CD、AB 交于点 E，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第11页（共 28页）AB 是 O 的直径，弦CDAB ，CE=ED=2，又 BCD=30 ， DOE=2BCD

18、=60 ， ODE=30 ，OE=DE ?cot60 =2=2，OD=2OE=4 ，S阴影=S扇形ODBSDOE+SBEC=OEDE+BE?CE=2+2=故选 B【点评】 考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键7 （ 2016?自贡）如图，O 中，弦 AB 与 CD 交于点 M， A=45 ，AMD=75 ，则 B的度数是（）A15 B25 C30 D75【分析】 由三角形外角定理求得C 的度数，再由圆周角定理可求B 的度数【解答】 解： A=45 ， AMD=75 ， C=AMD A=75 45 =30 ， B=C=30 ，故选 C【点评】 本题主

19、要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键8 （ 2016?毕节市）如图，点A，B，C 在 O 上， A=36 ，C=28 ，则 B=（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第12页（共 28页）A100B72 C64 D36【分析】 连接 OA ，根据等腰三角形的性质得到OAC= C=28 ，根据等腰三角形的性质解答即可【解答】 解：连接 OA，OA=OC ， OAC= C=28 ， OA

20、B=64 ，OA=OB ， B=OAB=64 ，故选： C【点评】 本题考查的是圆周角定理，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键9 （ 2016?河池）如图，在平面直角坐标系中，P 与 x 轴相切，与y 轴相交于A（0，2） ，B（0，8） ，则圆心 P 的坐标是（）A （5，3）B （5，4）C （ 3，5）D （4，5）【分析】 过 P作 PCAB 于点 C，过 P作 PDx 轴于点 D，由切线的性质可求得PD 的长，则可得 PB 的长，由垂径定理可求得CB 的长，在 RtPBC 中，由勾股定理可求得PC 的长，从而可求得P 点坐标名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

21、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第13页（共 28页）【解答】 解：如图，过 P 作 PCAB 于点 C，过 P 作 PDx 轴于点 D，连接 PB，P 为圆心，AC=BC ，A（0，2） ，B（0，8） ，AB=8 2=6，AC=BC=3 ，OC=83=5， P 与 x 轴相切，PD=PB=OC=5 ，在 RtPBC 中，由勾股定理可得PC=4，P 点坐标为（ 4，5） ，故选 D【点评】本题主要考查切线的性质和垂径定理，利用切线的性质求得圆的半径是解题

22、的关键10 （2015?黄冈中学自主招生）如图，正方形ABCD 的边 AB=1，和都是以 1 为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）AB1C1 D1【分析】 图中 1、2、3、4 图形的面积和为正方形的面积，1、2 和两个 3 的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即1=【解答】 解：如图：正方形的面积 =S1+S2+S3+S4；两个扇形的面积=2S3+S1+S2； ，得： S3S4=S扇形S正方形=1=故选： A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

23、- - - - - - - 第 13 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第14页（共 28页）【点评】 本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键11 （2014?镇江）如图， ABC 内接于半径为5的 O，圆心 O 到弦 BC 的距离等于3，则A 的正切值等于（）ABCD【分析】 过点 O 作 ODBC，垂足为 D，根据圆周角定理可得出BOD= A，再根据勾股定理可求得BD=4 ，从而得出 A 的正切值【解答】 解：过点 O 作 ODBC，垂足为 D，OB=5 ，OD=3，BD=4 ， A=BOC， A=BOD

24、 ，tanA=tan BOD=，故选： D【点评】 本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，要熟练掌握这几个知识点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第15页（共 28页）12 （2013?江门模拟）如图所示，在ABC 中， A=90 ，AB=AC=2cm ， A 与 BC 相切于点 D，阴影部分的面积为（）ABCD【分析】 阴影部分的面积是三角形ABC 的面积减去圆的面积，根据勾股定理可求得BC的长，连

25、接AD ，由等腰直角三角形的性质可得出AD 等于 BC 的一半【解答】 解：连接 AD ， A=90 ，AB=AC=2cm ，由勾股定理得BC=2cm，AD=BC，AD=cm，S阴影=SABCS圆=2故选 B【点评】 本题是一道综合题，考查了扇形面积的计算以及等腰三角形的性质，是中档题13 （2011?深圳模拟）如图，某工件形状如图所示，等腰RtABC 中斜边 AB=4 ，点 O 是AB 的中点，以O 为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（）ABCD2【分析】 本题需先求出直角三角形的边长，再利用切线的性质和等腰直角三角形的性质得出四边形 CDOE 是正方形，然后分别求出

26、直角三角形ABC 、扇形 FOD，正方形 CDOE，扇形EOG 的面积，即可求出阴影部分的面积【解答】 解：设 AC=BC=x ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第16页（共 28页）则 x2+x2=4 x=2设 OD=R，则 OE=R AC ，BC 与O 相切，ODAD ，OEBC A=45 AOD=45 A=AOD AD=OD=R AC=2AC=2AD=OD C=90四边形 ODCE 是正方形S正方形CD

27、OE=2 S扇形FOD=S扇形EOG=阴影部分的面积是2故选 A 【点评】 本题主要考查了扇形面积的求法，在解题时要注意面积计算公式和图形的有关性质的综合应用14（2006?兰州）若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（）A3：2 B3：1 C5：3 D2：1 【分析】 利用轴的截面是一个正三角形，易得圆锥的底面半径和母线长的关系，把相应数值代入圆锥的侧面积=底面周长母线长2，圆锥底面积 = 半径2比较即可【解答】 解：设圆锥底面圆的半径为r，S底= r2，S侧=?2r?2 r=2 r2，S侧：S底=2 r2： r2=2：1故选 D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

28、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第17页（共 28页）【点评】 此题主要考查圆锥的轴截面、侧面积与底面积的求法15 （2003?海南）如图， AB 为半圆 O 的直径， C 为半圆上一点，且为半圆的设扇形AOC 、 COB、弓形 BmC 的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（）AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1【分析】 首先根据 AOC 的面积 =BOC 的面积，得S2S1再根据题意，知S1占半圆面积的所以 S3大

29、于半圆面积的【解答】 解：根据 AOC 的面积 =BOC 的面积，得S2S1，再根据题意，知S1占半圆面积的，所以 S3大于半圆面积的故选 B【点评】 此类题首先要比较有明显关系的两个图形的面积二解答题（共10 小题）16 （2016?株洲）已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径，C 是圆上一点， D 是 BC 延长线上一点，过点 D 的直线交AC 于 E 点，且 AEF 为等边三角形（1）求证： DFB 是等腰三角形；（2）若 DA=AF，求证： CFAB 【分析】 （1）由 AB 是 O 直径，得到 ACB=90 ，由于 AEF 为等边三角形， 得到 CAB=EFA=60 ，根据三角形的

30、外角的性质即可得到结论；（2）过点 A 作 AM DF 于点 M，设 AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EM=a ，AM=a，在根据已知条件得到AB=AF +BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a ，推出 ECF=EFC，根据三角形的内角和即可得到结论【解答】 解： （1） AB 是 O 直径， ACB=90 ， AEF 为等边三角形，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第18页

31、（共 28页） CAB= EFA=60 ， B=30 ， EFA=B+FDB， B=FDB=30 ， DFB 是等腰三角形；（2）过点 A 作 AM DF 于点 M，设 AF=2a， AEF 是等边三角形，FM=EM=a ，AM=a，在 RtDAM 中，AD=AF=2a，AM=，DM=5a ，DF=BF=6a ，AB=AF +BF=8a，在 RtABC 中， B=30 ， ACB=90 ，AC=4a，AE=EF=AF=2a ，CE=AC AE=2a ， ECF= EFC， AEF= ECF+EFC=60 ， CFE=30 ， AFC= AFE+EFC=60 +30 =90 ，CFAB 【点评】

32、 本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键17 （2016?宁夏）已知 ABC ，以 AB 为直径的 O 分别交 AC 于 D，BC 于 E，连接 ED，若 ED=EC（1）求证： AB=AC ；（2）若 AB=4，BC=2，求 CD 的长【分析】（1）由等腰三角形的性质得到EDC=C，由圆外接四边形的性质得到EDC=B，由此推得B=C，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接 AE，由 AB 为直径，可证得AEBC，由（ 1）知 AB=AC ，证明 CDE CBA后即可求得CD 的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎

33、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第19页（共 28页）【解答】（1）证明： ED=EC， EDC= C， EDC= B， B=C，AB=AC ；（2）方法一：解：连接 AE ，AB 为直径，AEBC，由（ 1）知 AB=AC ，BE=CE=BC=， CDECBA ，CE?CB=CD ?CA，AC=AB=4 ，?2=4CD ，CD=方法二：解：连接 BD ，AB 为直径，BD AC ，设 CD=a，由（ 1）知 AC=AB=4 ，则 AD=4 a

34、，在 RtABD 中，由勾股定理可得：BD2=AB2AD2=42（ 4a）2在 RtCBD 中，由勾股定理可得：BD2=BC2CD2=（2）2a242（ 4a）2=（2）2a2整理得： a=，即： CD=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第20页（共 28页）【点评】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键18 （2016?福州）如图，正方形ABCD 内接于 O，M

35、 为中点，连接BM，CM（1）求证： BM=CM ；（2）当 O 的半径为 2 时，求的长【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算【解答】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AB=CD ，=，M 为中点，=，+=+，即=，BM=CM ；（2）解： O 的半径为 2， O 的周长为 4 ，=，=+=，的长 =4 =4 = 【点评】 本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

36、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第21页（共 28页）19 （2016?自贡）如图， O 是ABC 的外接圆， AC 为直径，弦BD=BA ，BEDC 交 DC的延长线于点E（1）求证： 1=BAD ；（2）求证： BE 是 O 的切线【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；（2）连接 BO，求出 OBDE，推出 EBOB，根据切线的判定得出即可；【解答】 证明：（1）BD=BA ， BDA= BAD ， 1=BDA ， 1=BAD ；（2）连接 BO， ABC=90 ，又 BAD +BCD=1

37、80 ， BCO+ BCD=180 ，OB=OC ， BCO=CBO， CBO+ BCD=180 ，OBDE，BEDE，EBOB，OB 是 O 的半径，BE 是 O 的切线【点评】 本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键20 （2016?黄石）如图，O 的直径为 AB ，点 C 在圆周上（异于A，B） ，AD CD（1）若 BC=3，AB=5 ，求 AC 的值；（2）若 AC 是 DAB 的平分线，求证：直线CD 是O 的切线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

38、 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第22页（共 28页）【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC 的长即可；（2）连接 OC，证 OCCD 即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得OCA= CAD ，即可得到OCAD ，由于 AD CD，那么 OCCD，由此得证【解答】（1）解： AB 是 O 直径， C 在 O 上， ACB=90 ，又 BC=3， AB=5，由勾股定理得AC=4 ；（2）证明：连接OC AC 是 DAB 的角平分线， DAC= BAC ，又 AD DC，

39、 ADC= ACB=90 ， ADC ACB ， DCA= CBA ，又 OA=OC ， OAC= OCA， OAC +OBC=90 ， OCA +ACD= OCD=90 ，DC 是 O 的切线【点评】 此题主要考查的是切线的判定方法要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可21 （2016?菏泽）如图，直角ABC 内接于 O，点 D 是直角 ABC 斜边 AB 上的一点，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于 E，过点 C 作 ECP=AED ，CP 交 DE 的延长线于点P，连结 PO 交 O 于点 F（1）求证： PC 是 O 的切线；（2）若 PC

40、=3，PF=1，求 AB 的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第23页（共 28页）【分析】（1）连接 OC，欲证明 PC 是O 的切线，只要证明PCOC 即可（2）延长 PO 交圆于 G 点，由切割线定理求出PG 即可解决问题【解答】 解： （1）如图，连接OC，PDAB ， ADE=90 ， ECP= AED ，又 EAD= ACO， PCO=ECP+ACO= AED +EAD=90 ，PCOC，PC 是

41、 O 切线（2）解法一：延长 PO 交圆于 G 点，PFPG=PC2，PC=3，PF=1，PG=9，FG=91=8，AB=FG=8 解法二：设 O 的半径为 x，则 OC=x，OP=1+x PC=3，且 OCPC 32+x2=（1+x）2解得 x=4 AB=2x=8 【点评】 本题考查切线的判定、切割线定理、 等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型22 （2016?新疆）如图，在ABC ，AB=AC ，以 AB 为直径的 O 分别交 AC 、BC 于点 D、E，点 F在 AC 的延长线上，且CBF=CAB 名师资料总结 - - -精品资

42、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第24页（共 28页）（1）求证：直线BF 是O 的切线；（2）若 AB=5，sinCBF=，求 BC 和 BF 的长【分析】（1）连接 AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明ABF=90 （2）利用已知条件证得AGCABF ，利用比例式求得线段的长即可【解答】（1）证明：连接AE，AB 是 O 的直径， AEB=90 ， 1+2=90 AB=AC

43、， 1=CAB CBF=CAB ， 1=CBF CBF+2=90即 ABF=90 AB 是 O 的直径，直线 BF 是O 的切线（2）解：过点C 作 CGAB 于 GsinCBF=， 1=CBF，sin1=，在 RtAEB 中， AEB=90 ，AB=5 ，BE=AB ?sin1=，AB=AC ， AEB=90 ，BC=2BE=2，在 RtABE 中，由勾股定理得AE=2，sin2=，cos2=，在 RtCBG 中，可求得GC=4，GB=2，AG=3 ，GCBF，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

44、- - - - - - 第 24 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第25页（共 28页） AGC ABF ，BF=【点评】 本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题23 （2016?南昌校级自主招生）如图，AB 是O 的直径，点F、C 在 O 上且，连接 AC、AF，过点 C 作 CDAF 交 AF 的延长线于点D（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）若，CD=4 ，求 O 的半径【分析】（1）连结 OC，由 F，C，B 三等分半圆，根据圆周角定理得FAC=BAC ，而OAC= OCA

45、 ，则 FAC=OCA ，可判断 OCAF，由于 CDAF，所以 OCCD，然后根据切线的判定定理得到CD 是O 的切线；（2）连结 BC，由 AB 为直径得 ACB=90 ，由 F，C，B 三等分半圆得BOC=60 ，则BAC=30 ，所以 DAC=30 ，在 RtADC 中，利用含30 度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8 ，在 RtACB 中，根据勾股定理求得AB ，进而求得 O 的半径【解答】（1）证明：连结OC，如图， FAC=BAC ，OA=OC ， OAC= OCA， FAC=OCA ，OCAF，CDAF，OCCD，CD 是 O 的切线；名师资料总结 - - -精品资料欢迎

46、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第26页（共 28页）（2）解：连结BC，如图，AB 为直径， ACB=90 ，=， BOC=180 =60 ， BAC=30 ， DAC=30 ，在 RtADC 中， CD=4，AC=2CD=8 ，在 RtACB 中， BC2+AC2=AB2，即 82+（AB ）2=AB2，AB=， O 的半径为【点评】 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了圆周角定理和含30 度的直

47、角三角形三边的关系24 （2016?西安校级三模）如图，已知圆O 的直径 AB 垂直于弦CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于点 F，且 CFAD （1）请证明： E 是 OB 的中点；（2）若 AB=8，求 CD 的长【分析】 （1）要证明： E 是 OB 的中点， 只要求证OE=OB=OC，即证明 OCE=30 即可（2）在直角 OCE 中，根据勾股定理就可以解得CE 的长，进而求出CD 的长【解答】（1）证明：连接AC ，如图直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

48、精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第27页（共 28页）AC=AD ，过圆心 O 的线 CFAD ，AF=DF ，即 CF 是 AD 的中垂线，AC=CD ，AC=AD=CD 即： ACD 是等边三角形， FCD=30 ，在 RtCOE 中，点 E 为 OB 的中点；（2）解：在RtOCE 中， AB=8 ，又 BE=OE，OE=2，【点评】 解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解25 （2016?金乡县一模）如图，AB 是O 的直径，弦CDAB 于点 E，且 CD=24 ，点 M在 O

49、 上， MD 经过圆心 O，联结 MB（1）若 BE=8，求 O 的半径；（2）若 DMB= D，求线段 OE 的长【分析】（1）根据垂径定理求出DE 的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 28 页 - - - - - - - - - 第28页（共 28页）（2）根据 OM=OB ，证出 M= B，根据 M=D，求出 D 的度数，根据锐角三角函数求出 OE 的长【解答】 解： （1）设 O 的半径为x，则 OE=

50、x 8，CD=24 ，由垂径定理得，DE=12，在 RtODE 中， OD2=DE2+OE2，x2=（x8）2+122，解得： x=13（2） OM=OB ， M=B， DOE=2M，又 M=D， D=30 ，在 RtOED 中， DE=12， D=30 ，OE=4【点评】 本题考查的是垂径定理、勾股定理和圆周角定理的综合运用，灵活运用定理求出线段的长度、列出方程是解题的关键，本题综合性较强，锻炼学生的思维能力名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 28 页 -