整式的乘除竞赛题[3].docx

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1、初二上加深进步部分整式的乘除复习题1、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题例：假设123456789123456786，123456788123456787，试比较x、y的大小解：设123456788，那么1222，12.a22-a220xy看完后，你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准行！解：设1.345，那么：原式12312，=2x3-2x23x2-21，=2x3-2x233+2x2，1.3454、我们把符号“n!读作“n的阶乘，规定“其中n为自然数，当n0时，1221，当0时，01例如：6654321=720又规定“

2、在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面的依据以上的定义和运算依次，计算：14 ；23+24 ；3用详细数试验一下，看看等式!是否成立？12. 小明和小强平常是爱思索的学生，他们在学习整式的运算这一章时，觉察有些整式乘法结果很有特点，例如：1x213-1，24a2-22=8a33，小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式，小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和或差小明说：“还有，我觉察左边那个二项式和最终的结果有点像小强说：“对啊，我也觉察左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项

3、积的2倍小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联络敬重的同学们，你能参及到他们的探讨中并找到相应的规律吗？1能否用字母表示你所觉察的规律？2你能利用上面的规律来计算2yx2-24y2吗？2、一个单项式加上多项式912-25后等于一个整式的平方，试求全部这样的单项式3、化简：1；2多项式x2及另一个整式的和是2x23y2，求这一个整式解：1原式=2a22-82-9；22x23y2-x2=2x23y222+23y2这个整式是x2+23y2点评：1关键是去括号按5、设，求整式的值6、整式2x26及整式22-351的差及字母x的值无关，试求代数式72+2b32b+3a

4、2-2a232-3a2的值解：2x26-22-351=2x26-22+351=2-2bx2+367，因为它们的差及字母x的取值无关，所以2-20，3=0，解得3，122+2b32b+3a2-2a232-3a2=6a2-4a252+4b3=6-32-4-321+5-31+41=78。在盒子里放有四张分别写有整式3x2-3，x2，x2+21，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母1求能组成分式的概率；2在抽取的能组成分式的卡片中，请你选择其中能进展约分的一个分式，并化简这个式解：1四张分别写有整式3x2-3，x2，x2+21，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片

5、上的整式分别作为分子和分母共有43=12种结果，其中以“2 作分母的3个，不能组成分式，故可以组成9个分式，能组成分式的概率为=；2答案不唯一如，=，9. 甲乙两人共同计算一道整式乘法：23，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+1110；由于乙漏抄了第二个多项中的x的系数，得到的结果为2x2-910请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果解：设第二个多项中的x的系数为Z，2=22+22x2-910，1，第二个多项中的x的系数是1，2=2x2-910，29，10，2，5，23=2532=6x2-1910；13. 由于看错了运算符号，某学生把一个整式减去-4a

6、2+2b2+3c2误以为是加上-4a2+2b2+3c2，结果得出的答案是a2-4b2-2c2，求原题的正确答案 解：设原来的整式为A那么-4a2+2b2+3c22-4b2-2c25a2-6b2-5c2-4a2+2b2+3c2=5a2-6b2-5c2-4a2+2b2+3c2=9a2-8b2-8c2原题的正确答案为9a2-8b2-8c210. 依据题意列出代数式，并推断是否为整式，假设是整式指明是单项式还是多项式1友情商店实行货物七五折实惠销售，那么定价为x元的物品，售价是多少元？2一列火车从A站开往B站，火车的速度是a千米/小时，A，B两站间的间隔 是120千米，那么火车从A站开往B站须要多长时

7、间？3某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，削减25%的工作人员，后又引进人才，调进3人，该单位现有多少人？解：1依据题意得，售价为：75，是整式，是单项式；2依据题意，不是整式；3依据题意得，如今人数为：1-25%3，是整式，是多项式11. 某村小麦种植面积是a亩，水稻种植面积比小麦种植面积多5亩，玉米种植面积是小麦种植面积的3倍1玉米种植面积及水稻种植面积的差为m，试用含口的整式表示m；2当102亩时，求m的值 解：135，=35，=25；2当102时，2102-5，=199亩14. 红星中学校办工厂，消费并出售某种规格的楚天牌黑板，其本钱价为每块20元，假设由厂家直销，每块售价30元，

8、同时每月要消耗其别人工费用1200元；假设托付商场销售，出厂批发价为每块24元1假设每月销售x块，用整式分别表示两种销售方式所获得的利润注：利润=销售总额-本钱-其他费用2新学期各学校教学黑板修理较多，销路较好，意料11月份可销售300块，实行哪一种销售方式获得的利润多？3假设你是红星中学校办工厂的厂长，请你进展决策：当意料销售200块黑板时，应选择哪一种销售方式较好？解：1厂家直销的利润为30-201200；托付商场销售的利润为24-20x；2当300时，厂家直销的利润为10300-1200=1800元；托付商场销售的利润为24-20300=1200元；实行厂家直销的利润大；3当200时，厂

9、家直销的利润为10200-1200=800元；托付商场销售的利润为4200=800元；两种销售方式一样16、探究应用：1计算2a2+24= 24x2+22=2上面的整式乘法计算结果很简洁，你又觉察一个新的乘法公式：请用含ab的字母表示3以下各式能用你觉察的乘法公式计算的是A3a2-39B22m2+22C416+42Dm2+224干脆用公式计算：32y9x2+64y2=234m2+69=17. 阅读下面学习材料：多项式2x32有一个因式是21，求m的值解法一：设2x3221x2，那么2x322x3+21x2+2b解法二：设2x3221A为整式由于上式为恒等式，为了便利计算，取0.5，得2依据上面

10、学习材料，解答下面问题：多项式x4316有因式1和2，试用两种方法求m、n的值解：解法1：设x4316=12x2，1分那么x43164+3x3+32x2+23b2b2分比较系数得：，解得，所以5，20 4分18. 1化简：3x222222x23y2，22y2，C是一个整式，且0，求C解：1原式=3x2232y，2分=3x22，2；解：22x23y222y2=3x2+5y22分，0，3x2-5y24分19、问题1：同学们已经体会到灵敏运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的便利，快捷信任通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得胜利的喜悦例：用简便方法计算195205解：195205

11、=200-5200+5=2002-52=399751例题求解过程中，第步变形是利用填乘法公式的名称；2用简便方法计算：91110110001问题2：对于形如x2+22这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2的形式但对于二次三项式x2+23a2，就不能干脆运用公式了此时，我们可以在二次三项式x2+23a2中先加上一项a2，使它及x2+2的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+23a2=x2+222-3a2=2-2a2=3a像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法1利用“配方法分解因式：a2-412问题3：假设5，

12、3，求：x22；x44的值15.阅读解答题：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决例：假设123456789123456786，123456788123456787，试比较x、y的大小解：设123456788，那么1222，12，a22-a220，xy看完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，信任你准行！5.456-3.4563-1.4562解：设3.456为a，那么2.4561，5.4562，1.4562，可得：123-2232-232+44=24，3.456，原式=24=23.456-4=2.91220.计算：1-8a4b5c453a3b222a2x3-95333

13、31-1+3-3224运用整式乘法公式计算1232-124122522-2x2y2+4，其中10，解：1-8a4b5c453a3b2，2a3c3a3b2，6a6b2c；22a2x3-9533，=2a6x3-9533，=；331-1+3-322，=9m2n2-1-9m2n2-124，=9m2n2-1-9m2n2+124，=125；41232-124122，=1232-123+1123-1，=1232-1232-1，=1232-1232+1，=1；522-2x2y2+4，=x2y2-4-2x2y2+4，=2y2，；当10，时，原式10-=21、一个角的补角是它的余角的度数的3倍，那么这个角的度数是

14、多少？ (这个角是45) 22、如下图，是一个正方体的平面绽开图，标有字母A的面是正方体的正面，假设正方体的相对的两个面上标注的代数式的值及相对面上的数字相等，求x、y的值23、一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数(60)先化简后求值：2+2x，其中3，1.52001宁夏设2，求的值2计算：解：由题意可设字母12346，那么123451，123471，于是分母变为n2-11应用平方差公式化简得n2-n2-1222+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=246902007淄博依据以下10个乘积，答复以下问题：1129； 1228； 1327； 1426； 1525；1624； 17

15、23； 1822； 1921； 20201试将以上各乘积分别写成一个“2-2两数平方差的形式，并写出其中一个的思索过程；2将以上10个乘积依据从小到大的依次排列起来；3试由1、2揣测一个一般性的结论不要求证明分析：1依据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可2减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可3依据排列的依次可得，两数相差越大，积越小解答：解：11129=202-92；1228=202-82；1327=202-72；1426=202-62；1525=202-52；1624=202-42；1723=202-32；1822=202-22；1921=202-12；2020=202-02

16、 4分例如，1129；假设1129=2-2，因为2-2=+-；所以，可以令-=11，+=29解得，=20，=9故1129=202-92或1129=20-920+9=202-922这10个乘积依据从小到大的依次依次是：1129122813271426152516241723182219212020整式的乘除复习题一学新学问应用 1、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题例：假设123456789123456786，123456788123456787，比较x、y的大小解：设123456788，那么12=，1=.20xy看完后，

17、你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准行！2、我们把符号“n!读作“n的阶乘，规定“其中n为自然数，当n0时，1221，当0时，01例如：6654321=720又规定“在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面的依据以上的定义和运算依次，计算：14 ；23+24 ；3用详细数试验一下，看看等式!是否成立？3. 小明和小强平常是爱思索的学生，他们在学习整式的运算这一章时，觉察有些整式乘法结果很有特点，例如：1=，2=，小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式，小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和或差小明说

18、：“还有，我觉察左边那个二项式和最终的结果有点像小强说：“对啊，我也觉察左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联络敬重的同学们，你能参及到他们的探讨中并找到相应的规律吗？1能否用字母表示你所觉察的规律？2你能利用上面的规律来计算2y吗？3以下各式能用你觉察的乘法公式计算的是A3B22C416+4D4干脆用公式计算：32y=23+9=4、问题1：同学们已经体会到灵敏运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的便利，快捷信任通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得胜利的喜悦例：用简便

19、方法计算195205解：195205=200-5200+5=2002-52=399751例题求解过程中，第步变形是利用填乘法公式的名称；2用简便方法计算：91110110001问题2：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式但对于二次三项式，就不能干脆运用公式了此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它及的和成为一个完 全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法1利用“配方法分解因式：二乘法公式应用 5、一个单项式加上多项式后等于一个整式的平方，试求全部这样的单项式6、设，求整式的值

20、假设5，3，求：；的值三整式的计算 7、化简：1；2多项式及另一个整式的和是，求这一个整式解：8、整式及整式的差及字母x的值无关，试求代数式7的值9. 甲乙两人共同计算一道整式乘法：23，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6+1110；由于乙漏抄了第二个多项中的x的系数，得到的结果为2-910请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果解：10. 由于看错了运算符号，某学生把一个整式减去-4+2+3误以为是加上-4+2+3，结果得出的答案是-4-2，求原题的正确答案11. 依据题意列出代数式，并推断是否为整式，假设是整式指明是单项式还是多项式1友情商店实行货物七五折

21、实惠销售，那么定价为x元的物品，售价是多少元？2一列火车从A站开往B站，火车的速度是a千米/小时，A，B两站间的间隔 是120千米，那么火车从A站开往B站须要多长时间？3某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，削减25%的工作人员，后又引进人才，调进3人，该单位现有多少人？12. 某村小麦种植面积是a亩，水稻种植面积比小麦种植面积多5亩，玉米种植面积是小麦种植面积的3倍1玉米种植面积及水稻种植面积的差为m，试用含口的整式表示m；2当102亩时，求m的值13. 红星中学校办工厂，消费并出售某种规格的楚天牌黑板，其本钱价为每块20元，假设由厂家直销，每块售价30元，同时每月要消耗其别人工费用120

22、0元；假设托付商场销售，出厂批发价为每块24元1假设每月销售x块，用整式分别表示两种销售方式所获得的利润注：利润=销售总额-本钱-其他费用2新学期各学校教学黑板修理较多，销路较好，意料11月份可销售300块，实行哪一种销售方式获得的利润多？3假设你是红星中学校办工厂的厂长，请你进展决策：当意料销售200块黑板时，应选择哪一种销售方式较好？14. 1化简：322223，2，C是一个整式，且0，求C15、如下图，是一个正方体的平面绽开图，标有字母A的面是正方体的正面，假设正方体的相对的两个面上标注的代数式的值及相对面上的数字相等，求x、y的值16计算：1-8c4a3 2-9a3a331-1+3-

23、4运用整式乘法公式计算-124122三写多项式方法 17. 阅读下面学习材料：多项式2有一个因式是21，求m的值依据上面学习材料，解答下面问题：多项式16有因式1和2，试用两种方法求m、n的值四余角和补角 18、一个角的补角是它的余角的度数的3倍，那么这个角的度数是多少？ 19、一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数小测验 姓名 -3，+21，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母1求能组成分式的概率；2在抽取的能组成分式的卡片中，请你选择其中能进展约分的一个分式，并化简这个式2. 先化简后求值 +3. 设2，求的值4. 计算5依据以下10个乘积，答复

24、以下问题：1129； 1228； 1327； 1426； 1525；1624； 1723； 1822； 1921； 20201试将以上各乘积分别写成一个“2-2两数平方差的形式，并写出其中一个的思索过程；2将以上10个乘积依据从小到大的依次排列起来；3试由1、2揣测一个一般性的结论不要求证明初中数学竞赛专题培训第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的根本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多数学问题的有力工具因式分解方法灵敏，技巧性强，学习这些方法及技巧，不仅是驾驭因式分解内容所必需的，而且对于培育学生的解题技能，开展学生的思维实力，都有着特殊独特的作用初中数学

25、教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材根底上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍1运用公式法在整式的乘、除中，我们学过假设干个乘法公式，现将其反向运用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a22=()()；(2)a222=(ab)2；(3)a33=()(a22)；(4)a33=()(a22)下面再补充几个常用的公式：(5)a222+222()2；(6)a333-3()(a222)；(7)()(123b2+21)其中n为正整数；(8)()(123b2-21)，其中n为偶数；(9)()(123b2-21)，其中n为奇数运用公式法分解因式

26、时，要依据多项式的特点，依据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例1 分解因式：(1)-2x514x312-214；(2)x3-8y33-6；(3)a222-222；(4)a75b22b57解 (1)原式21(x42x224)21(x2n)2-2x22+(y2)221(x22)2 21()2()2(2)原式3+(-2y)3+()3-3x(-2y)() =(2)(x2+4y22+22)(3)原式=(a2-22)+(-22)2()2+2c()2=()2本小题可以稍加变形，干脆运用公式(5)，解法如下：原式2+()22+2()22a()=()2(4)原式=(a75b2)+(a2b57) 5(a

27、22)5(a22) =(a22)(a55) =()()()(a432b234) =()2()(a432b234)例2 分解因式：a333-3此题事实上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)分析 我们已经知道公式()33+3a2323的正确性，现将此公式变形为a33=()3-3()这个式也是一个常用的公式，此题就借助于它来推导解 原式=()3-3()3-3 =()33-3() =()()2()2-3() =()(a222)说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a333-3明显，当0时，那么a333=3；当0时，那么a333-30，即a

28、3333，而且，当且仅当时，等号成立假设令30，30，30，那么有等号成立的充要条件是这也是一个常用的结论例3 分解因式：x151413+21分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式来分解解 因为x16-1=(1)(x151413+x21)，所以说明 在此题的分解过程中，用到先乘以(1)，再除以(1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用2拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项互相抵消为零在对某些多项式分解因式时，须要复原那些被合并或互相抵消的项，即把多项式中

29、的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进展因式分解例4 分解因式：x3-98分析 此题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，留意一下拆项、添项的目的及技巧解法1 将常数项8拆成-1+9原式3-91+9=(x3-1)-99=(1)(x21)-9(1)=(1)(x28)解法2 将一次项-9x拆成8x原式388=(x3)+(-88)(1)(1)-8(1)=(1)(x28)解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-98=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(1)(1)-8(1)

30、(x21)=(1)(x28)解法4 添加两项22原式3-98322-982(1)+(8)(1)=(1)(x28)说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无确定之规，主要的是要依靠对题目特点的视察，灵敏变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种例5 分解因式：(1)x963-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4；(3)(1)4+(x2-1)2+(1)4；(4)a3322+1解 (1)将-3拆成-1-1-1原式963-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x63+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1

31、)(x6+2x3+3)=(1)(x21)(x6+2x3+3)(2)将4拆成22原式=(m2-1)(n2-1)+222n222+1+22=(m2n2+21)-(m2-22)=(1)2-()2=(1)(1)(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(1)4=(1)4+2(1)2(1)2+(1)4-(x2-1)2=(1)2+(1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加两项原式3322+1=(a33)+(a2)+(2+1)()()()+(2+1)()b()+1+(2+1)=a()+1

32、(2+1)=(a21)(b21)说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式构造较困难，所以不易想到添加，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再及第三组结合，找到公因式这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累阅历3换元法换元法指的是将一个较困难的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清楚例6 分解因式：(x21)(x22)-12分析 将原式绽开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将x2看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了解 设x2，那么原式=

33、(1)(2)-122+310=(2)(5)=(x22)(x25)=(1)(2)(x25)说明 此题也可将x21看作一个整体，比方今x21，一样可以得到同样的结果，有爱好的同学不妨试一试例7 分解因式：(x2+32)(4x2+83)-90分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合解 原式=(1)(2)(21)(23)-90 =(1)(23)(2)(21)-90 =(2x2+53)(2x2+52)-90令2x2+52，那么原式(1)-90290=(10)(9)=(2x2+512)(2x2+57)=(2x2+512)(27)(1)说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的根底例8

34、分解因式：(x2+48)2+3x(x2+48)+2x2解 设x2+48，那么原式2+32x2=(2x)()=(x2+68)(x2+58)=(2)(4)(x2+58)说明 由此题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，依据题目须要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-76解法1 原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3

35、x3(x2-1)+8x=(2x2-32)(3x2+83)=(21)(2)(31)(3)说明 本解法事实上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即娴熟运用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体解法2 原式26(t2+2)+7362(6t2+724)2(23)(38)22(1)-33(1)+8=(2x2-32)(3x2+83)=(21)(2)(31)(3)例10 分解因式：(x22)-4(x22)分析 此题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，常常令，用换元法分解因式解 原式=()22-4()2-2令，那么原式

36、=(u2)2-4v(u2-2v)4-6u29v2=(u2-3v)2=(x2+22-3)2=(x22)2练习一1分解因式： (2)x105-2；(4)(x54321)252分解因式：(1)x3+3x2-4； (2)x4-11x2y22；(3)x3+9x2+2624；(4)x4-123233分解因式：(1)(2x2-31)2-22x2+331；(2)x4+7x3+14x2+71；(3)()3+2(1)-1；(4)(3)(x2-1)(5)-20初中数学竞赛专题培训第二讲：因式分解(二)1双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(22)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如

37、，分解因式2x2-722y2-5353我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)(22y2-353)，可以看作是关于x的二次三项式对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+353=(23)(-111)再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=(23)2(-111) =(23)(2111)上述因式分解的过程，施行了两次十字相乘法假设把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到以下图：它表示的是下面三个关系式：(2y)(211y)=2x2-722y2；(3)(21)=2x2-53；(23)(-111)22y2+35

38、3这就是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式22进展因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解22，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字穿插之积的和等于原式中的，第一、第三列构成的十字穿插之积的和等于原式中的例1 分解因式：(1)x2-310y292；(2)x22+534；(3)22；(4)6x2-73y272z2解 (1)原式=(52)(21)(2)原式=(1)(4)(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解原式=(1)(2)(4)原式=(23)(32z)说明 (4)中有三个字母，解法仍及前面的类似2求根法我们把形如1

39、1+10(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，等记号表示，如f(x)2-32，g(x)52+6，当时，多项式f(x)的值用f(a)表示如对上面的多项式f(x)f(1)=12-31+2=0；f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12假设f(a)=0，那么称a为多项式f(x)的一个根定理1(因式定理) 假设a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，那么多项式f(x)有一个因式依据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根对于随意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，常常用下面的定理来断定它是否有有理根定理2的根，那么必有p是a0的约数，q是的约数特殊地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为的约数我们依据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进展因式分解例2 分解因式：x3-4x2+64分析 这是一个整系数一元多项式，原式假设有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：1，2，4，只有f(2)=23-422+62-4=0，即2是原式的一个根，所以