全等三角形经典例题含答案.docx

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1、新思路全等三角形的经典例题 判定方法条件留意边边边公理SSS三边对应相等三边对应相等边角边公理(SAS)两边与它们的夹角对应相等“两边夹一角必需是两边夹一角，不能是两边对一角角边角公理(ASA)两角与它们的夹边对应相等“两角夹一边不能理解为两角及随意一边角角边公理(AAS)两角与其中一角的对边对应相等例1：如图，过DABC的顶点A，作AFAB且AF=AB，作AHAC，使AH=AC，连结BH, CF，且BH与CF交于D点。求证：1BH=CF2BHCF分析：从图中可视察分析，假设证BH=CF，明显，假设能证出DABHDAFC，问题就能解决。从看，已经知道AF=AB，AC=AH。这两个三角形已经具备

2、两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，明显不行能用“边边边公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从看，BAF与HAC都是直角。而图中的BAC明显是公共角，依据等式性质，问题可以顺当解决。证明：1AFAB，AHAC BAF=HAC=90 BAF+BAC=HAC+BAC 即FAC=BAH 在DABH与DAFC中 DABHDAFC边角边 BH=FC全等三角形对应边相等2设AC与BH交于点P 在DAPH中 HAP=90 2+3=90直角三角形中两个锐角互余 1=2全等三角形对应角相等 3=4 1+4=2+3=90 在DPDC中 1+4=90 HDC=90 BHCF例2：，如上图：BD, CE是DABC的

3、高，分别在高上取点P与Q，使BP=AC，CQ=AB。求证：AQ=AP分析：从要证的结论AQ=AP，只有在DABP与DQCA中找对应原素，不难发觉，已经有BP=AC, CQ=AB，也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出1=2？再分析条件，不难看出，既然BD, CE都是高，就有BDA=CEA=90，这样就可看出1与2都是BAC的余角了。依据同角的余角相等这条性质得到1=2，这样问题就可以迎刃而解了。证明：BDAC于D CEAB于EBDA=CEA=901+BAC=2+BAC=901=2在DABP与DPCA中DABPDQCA边角边AQ=A

4、P全等三角形对应边相等例3：如图，OA=OB, OC=OD求证：AE=BE分析：从要证明的结论AE=EB看，我们不难看出，应当在DADE与DBCE中去找寻答案，而要证明DADEDBCE，比拟明显的有一组对顶角相等，即AED=BEC，另外可以通过等式性质得到，OAOD=OBOC，即AD=BC，那么这两个三角的全等条件仍旧差一个，从证明的结论AE=BE上分析，不行能再找寻边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出A=B或ADE=BCE，A=B除了是DADE与DBCE的对应角外，它们还是DAOC与DBOD的对应角，只要DAOCDBOD，那么就可以推出A=B，这样问题便迎刃而解了

5、，同学们自己分析一下DAOC与DBOD全等条件够吗？证明：在DAOC与DBOD中DAOCDBOD边角边A=B全等三角形的对应角相等OA=OB OC=ODAD=BC等式性质在DADE与DBCE中DADEDBCE角角边AE=BE全等三角形对应边相等同学们自己动手试一试，可不行通过证明ADE=BCE来证明DADEDBCE 呢？例4：如图，ADBC，AE, BE分别平分DAB与CBA，DC过点E。求证：AB=AD+BC分析：从要证明的结论AB=AD+BC上看，明显是两条线段的与与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB边上截一段等于AD或BC，利用角平分线的条件证全等。证明一：在AB上截AF=AD，

6、连结EF在DADE与DAFE中DADEDAFED=AFE全等三角形对应角相等ADBCD+C=180两直线平行，同旁内角互补又D=AFE已证BFE=C等角的补角相等在DBFE与DBCE中DBFEDBCE角角边BF=BCAB=AD+BC证明二：延长AE, BC交于点F。AE, BE分别是DAB与CBA的平分线。 又ADBC1+2+3+4=180两直线同等，同旁内角互补2+3=90AEB=90BEF=90在DABE与DFBE中DABEDFBE 角边角AB=BF AE=EF在DAED与DFEC中DAEDDFEC AD=FCAB=AD+BC等量代换例5：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD, CEA

7、B于E，且B+D=180。求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段与等于另一条线段，可以考虑“截长补短的添加协助线，此题是否仍可考虑这样“截长补短的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADCDAFC，问题就可以得到解决。证明一：在AE上截取AF=AD，连结FC。在DAFC与DADC中DAFCDADC边角边AFC=D全等三角形对应角相等B+D=180B=EFC等角的补角相等在DCEB与DCEF中DCEBDCEF 角角边BE=EFAE=AF+EFAE=AD+BE等量代换证明二：在线段EA上截EF=BE，连结FC如右图。同样也可以证

8、明，同学们自己试一试，证明过程是怎样的，看一看，当推导过程不通时，想一想，还有哪些条件没有充分考虑到，或是还有哪些定理，性质用的不熟，自己找一找思维障碍是什么？小结：在几何证明过程中，假如现成的三角形不行以证明，那么须要我们选出所须要的三角形，这就须要我们恰到好处的添加协助线。如例：DABC中，AD是BC边上的中线。求证：分析：求证，即可变形为，其构造恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之与，假如添加协助线，造出一个三角形，使其两边恰与AB, AC相等，而另一边正好为AD的2倍，问题就迎刃而解了。证明：延长AD至E，使DE=AD，连结BE。在DADC与DEDB中DADCDEDB边角边AC=BE全等三角形对应边相等在DABE中，三角形中，两边之与大于第三边第 5 页