高一数学必修 知识点总结.docx

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1、高高中中数学必修数学必修 3 3 学问点总结学问点总结第一章第一章 算法初步算法初步学问梳理算法初步算法与程序框图算法语句算法案例算法概念框图的逻辑构造输入语句赋值语句循环语句条件语句输出语句依次构造循环构造条件构造一、理解算法的含义一、理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：播送操图解是播送操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调运用的算法(algorithm)1. 描绘算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言.2. 算法的特征：有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进展下去确定性：算法的每一步操作内容和依次必需含

2、义准确，而且必需有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。可行性：算法的每一步都必需是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在肯定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度3.算法含有两大要素：操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等限制构造:依次构造，选择构造，循环构造二、流程图二、流程图： （flow chart）:是用一些规定的图形、连线及简洁的文字说明表示算法及程序构造的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。留意：留意：1. 画流程图的时候肯定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开场和完毕的好习惯2. 拿不准的时候可以先根据构造特点画出大致的流程，反过来再检

3、查，比方：遇到推断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。3. 在输出结果时，假如有多个输出，肯定要用流程线把全部的输出总结到一起，一起终结到完毕框。三、算法构造：三、算法构造：依次构造，选择构造，循环构造直到型循环当型循环. .依次构造（依次构造（sequencesequencestructurestructure ） ：是一种最简洁最根本的构造它不存在条件推断、限制转移和重复执行的操作，一个依次构造的各局部是根据语句出现的先后依次执行的。.选择构造（选择构造（selectio

4、nselection structurestructure ） ：或者称为分支构造。其中的推断框，书写时主要是留意临界条件确实定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的 A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是说明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。.循环构造循环构造（cyclecycle structurestructure） ：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种构造(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。四、根本算法语句：四

5、、根本算法语句：本书中指的是伪代码伪代码（pseudocode） ，且是运用 BASIC 语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简洁而好用的好方法。. .赋值语句（赋值语句（assignmentassignment statementstatement） ：x=y，表示将 y 的值赋给 x，其中 x 是一个变量，y 是一个与 x 同类型同类型的变量或者表达式.一般格式一般格式： “表达式变量” ，但此时的“ = ”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。注注： 1.1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。 “ = ”具有计算功

6、能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的，而 a = 3*5 1 , a = 2*a + 3都是正确的。2.2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如：a = b = c = 2, a , b ,c =2 都是错误的，而 a = 3 是正确的.例题：例题：将 x 和 y 的值交换pyyxxp,同样的假如交换三个变量 x,y,z 的值 :pzzyyxxp.输入语句（输入语句（inputinput statementstatement）: :INPUTINPUT a a ,b,b 表示输入的数一次送给表示输入的数一次送给 a a ,b,b输出语句（输出语句（outoutstate

7、mentstatement） ：PRINTPRINT x x ,y,y表示一次输出表示一次输出 运算结果运算结果 x x ,y,yABYNABpNYApYNpA注：注：1.1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号逗号隔开！2.2.INPUT 语句输入的只能是变量而不是表达式3.3.PRINT 语句不能起赋值语句，意旨不能在 PRINT 语句中用 “ = ”4.4.PRINT 语句可以输出常量和表达式的值.例题：例题：当 x 等于 5 时，PRINT “x = ”; x在屏幕上输出的结果是x = 5. .条件语句（条件语句（conditionalconditional statementstat

8、ement） ：IfIfA AThenThenB B注：注：不要遗忘完毕语句EndIF ，当有 IF 语句嵌套运用时，有几个 IF，就必需要有几个 EndIF . ELSEIF 是对上一个条件的否认， 即已经不属于上面的条件， 另外 ELSEIf 后面也要有 ENDIF 留意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：例题例题:用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.注：注：1.同样的你可以写出求三个数中最小的数。2.也可以类似的求出四个数中最小、大的数. .循环语句（循环语句（ cyclecycle statementsta

9、tement）: :While 循环Do循环有两种表达形式说明说明：1.1.DO 循环是后测试型的，即满意什么条件才跨出循环.2.2.WHILE 循环是前测试型的，即满意什么条件才进入循环3.3.WHILE 循环和 Do 循环可以互相转化4.4.留意临界条件的断定.例题：例题：. 99.531 的一个算法并写出程序设计计算提示：提示：1. 肯定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出程序，而有的题目则是既写出算法画出程序框图还要写出程序。2. 在详细做题时，可能好多的同学感觉先画程序框图较为简洁，但也有的算法程序比拟好写，你也可以在草稿纸上根据你自己的思路先做出来，然后根

10、据题目要求作答。一般是先写算法，后画程序框图，最终写程序。3. 书写程序时肯定要标准化，运用统一的符号，最好与教材一样，由于是新教材的缘由，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会遇到我们没有见过的语言，盼望大家能以课本为根据，不要被遮天蔽日的资料所沉没！IfAThenBElseCEndIfIfAThenBElseIFCThenDEndIfEndIfWHILE条件循环体WEND当型 WHILE 循环DO循环体LOOPUNTIL 条件 直到型 Do 循环IfAThenBEndIf第二章第二章 统计统计 根本定义根本定义：(1)总体：在统计中,全部考察对象的全体叫做

11、全体.(2) 个体：在全部考察对象中的每一个考察对象都叫做个体.(3) 样本：从总体中抽取的一局部个体叫做总体的样本.(4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量.抽样方法：抽样方法：（1）简洁随机抽样简洁随机抽样（simple random sampling） ：设一个总体的个数为 N.假如通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简洁的随机抽样,简洁随机抽样常用的方法有抽签法抽签法和随机数表法随机数表法. （关于制签和随机数表的制作，请参照课本第 41 页）(2)系统抽样系统抽样(systematic sampling):将总体平均分成几个

12、局部， 然后根据肯定的规则， 从每一局部抽取一个个体作为样本。先用随机的方法将总体进展编号，假如整除不能被nN就从中用随机数表法剔除几个个体，使得能整除，然后分组，一般是样本容量是多少，就分几组，间隔nNk ，然后从第一组中用简洁实际抽样的方法抽取一个个体， 假设编号为l， 然后就可以将编号为knlklkll1.2,的个体抽出作为样本，实际就是从每一组抽取与第一组一样编号的个体。(3)分层抽样分层抽样（stratifed sampling） ：当已知总体是由有差异明显的几局部组成时，常将总体分成几局部，然后按各局部所占的比例进展抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各局部叫做层.样本容量越大

13、，估计越准确！样本容量越大，估计越准确！提示提示：1.把每一种抽样的详细步骤看清晰，要求会写过程2. 个体数 N 的总体中抽取一个样本容量为 n 的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，且等于Nn.其实三种抽样的每一个个体都是等几率的被抽到的3.三种抽样都是不放回的抽样4.在详细问题中对于样本，总体，个体应当时代单位的,如考察一个班级的学生的视力状况，从中抽取 20 个同学，则个体应当是 20 名同学的视力，而不是 20 名同学，样本容量则为 20，同样的总体也是全班级同学的视力.两种抽样方法的区分与联络：两种抽样方法的区分与联络：典型例题剖析：典型例题剖析：例 1、一个总体含

14、有 6 个个体，从中抽取一个样本容量为 2 的样本，说明为什么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.类别共同点各自特点互相联络适用范围简洁随机抽样抽 取 过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取总体中个体数较少分层抽样将总体分成几层进展抽取各层抽样可采纳简洁随机抽样或系统抽样总体有差异明显的几局部组成系统抽样将总体平均分成几局部，按事先确定的规则分别在各局部抽取在起始局部抽样时采纳简洁随机抽样总体中的个体较多例 2、 （1）在 120 个零件中，一级品 24 个，二级品 36 个，三级品 60 个，从中抽取一个容量为 20的一个样本，求 每个个体被抽到的概率，若有简洁随机抽样方法抽取

15、时，其中个体第 15 次被抽到的的概率，若用分层抽抽样样方法抽取时其中一级品中的每个个体被抽到的概率.例 3、某地区有 3000 人参与今年的高考，现从中抽取一个样本对他们进展分析，每个考生被抽到的概率为101，求这个样本容量.例 4、下列抽取样本的方式是否属于简洁随机抽样说明理由.(1) 从无限多个个体中抽取 50 个个体作样本.(2) 盒子里共有 100 个零件,从中选出 5 个零件进展质量检验.在抽样操作时,从中随意拿出一个零件进展质量检验后再把它放回盒子里.例 5、 某校有学生 1200 人,为了调查午休对学习成果的影响状况,安排抽取一个样本容量为 60 的样本,问此样本若采纳简洁随机

16、抽样将如何进展例 6、某工厂中共有职工 3000 人,其中,中、青、老职工的比例为 532，从全部职工中抽取一个样本容量为 400 的样本，应实行哪种抽样方法较合理？且中、青、老年职工应分别抽取多少人？总体分布的估计总体分布的估计. .频率分布表：频率分布表：1.1. 留意全距，组距确实定。一般是先查出最大值，最小值，其差值取适当的量作为全距，正常状况下分为十组左右，组数全距组距 ，也就是合理分组2.2. 分组的时候一般取左闭右开区间，最终一个区间取闭区间，然后填写分组、频数、频率、合计3.3. 假如全距不利于分组（如不能被组数整除）就可适当的增大全距，即在左右两端增加一样的量4.分组过少，总

17、体的特征不明显；分组过多，总体特征不利于比拟. .频率分布直方图：频率分布直方图：1.1.横轴表示数据的内容，每一线段表示一个组的组距，留意横轴要有单位2.2.纵轴表示的是：组距频率3.3.每个小矩形的面积都是该组所对应的频率. .频率分布折线图：频率分布折线图： 1.1. 由频率分布直方图干脆得到，取值区间的两端点分别向外延长半个组距并取此组距上再 x 轴上的点，然后顺次连接直方图中每一个小矩形上底边的中点，形成折线图2.2.当样本容量足够大，分组的组距获得足够小时，折线图取与一条平滑的曲线，称这条曲线为总体分布总体分布的密度曲线，的密度曲线，而且曲线与横轴围成的面积为 13.3.在总体密度

18、曲线中，总体在区间（a,b）内取值的可能性就是直线 x=a , x=b , y=0 和总体密度曲线围成的面积4. 累计频率分布曲线累计频率分布曲线上随意一点baP,的纵坐标标 b 表示的连续型总体，取小于等于 a 的值的可能性. .三者的特点三者的特点频率分布表：频率分布表：数据翔实、详细、清晰明了，便于查阅频率分布直方图：频率分布直方图：形象直观，比照效果剧烈频率分布折线图：频率分布折线图：可以反映变更趋势. .茎叶图的特点茎叶图的特点：优点优点简洁易行， 杂乱的数据在用茎叶图表示后能直观地反映出数据的程度状况、稳定程度；全部的数据都可以在茎叶图中找到.缺点缺点分析只是粗略的，对差异不大的两

19、组数据不易分析，另外，对位数较多的数据不易操作，数据较多时效果不是很好.留意点：留意点： 1.1. 对重复出现的数据要重复记录，不能遗漏 2.2. 茎要从小到大自上而下的排列，中间用一条竖线隔开3 3. 叶也要根据从小到大的依次排列，对于两组数据的可以用两条竖线把茎和叶隔开，左边的叶最好根据从大到小的依次排列，右边的叶根据从小到大的依次排列 4.4.茎叶图一般在衡量一位或者两位运发动在竞赛时的得分状况总体特征数的估计总体特征数的估计反映总体某种特征的量较总体特征数，比方平均数、中位数、方差、众数等反映总体某种特征的量较总体特征数，比方平均数、中位数、方差、众数等. .平均数（平均数（avera

20、geaverage） 或均值（或均值（meanmean） ：niinannaaaa1211.其原理：最小二乘法最小二乘法设与试验数据近似的值为x则它与这 n 个试验数据的离差为 ., , , , 321naxaxaxax由于上面的离差有正有负，故不易干脆相加，就考虑离差的平方和 22221. naxaxaxxfnnaaaxaaanx.22221212所以当niinannaaax1211.时，离差的平方和的函数获得最小，误差也就最小，故而用naaan.21作为这组数据的志向近似值. .平均数的求法平均数的求法: :题目类型有离散型离散型和连续型连续型两种状况niinxnnxxxx1211.加权平

21、均数加权平均数:niiinnpxpxpxpxx12211.（其中i21p , . , p , p为i21 x, . , x, x对应的频率） ， 这里也是为我们今后将要学习的数学期望作铺垫注：注：特殊地，对于连续型的随机变量在分好组后，其i21 x, . , x, x应当取每一组的组中值近似的表示. .样本方差（样本方差（variancevariance）: :2121niixxns=22221231()()()() nxxxxxxxxn样本标准差样本标准差(standard(standard deviation)deviation)：niixxns121说明：说明：1.1.平均数、中位数、众

22、数是描绘数据集中趋势的统计量2.2.方差、标准差是反映一组数据波动大小或稳定程度或各个数据与平均数的离散程度的统计量，记住它们的表达形式，在选择题中常出现关于它们的推断3.3.一个重要结论：一个重要结论：21221xxnsnii4.4.方差与越大，稳定性越差5.5.关于它们的运算，分连续型和离散型两种状况， 对于离散型的随机变量也要留意选择组中值例题：例题：从两块玉米地里各抽取 10 株玉米苗，分别测得它们的株高如下（单位：cm ）:甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40根据以上数据答复下面的问题：（1）哪种

23、玉米苗长得高？（2）哪种玉米苗长得齐？. .几个重要的结论：几个重要的结论：对于一组数据n21 x, . , x, x的平均数为x方差为2s标准差为s1若n , . , 2 1,i, ix都增加a,则平均数为ax 方差为2s标准差为s也可以这样说明：同时增加a，也就是相当数据平移了，不会变更数据的波动程度，所以方差和标准差都不会变.若n , . , 2 1,i, ix都递增a%，则平均数为xa%1方差为22%1sa标准差为sa%1若n , . , 2 1,i, ix都变为原来的a倍，则平均数为xa方差为22sa标准差为as例题例题: : 已知已知n21 x, . , x, x的方差为 2，则3

24、2x , . , 32x , 32n21x的标准差为 ？解法解法 1 1： （公式推导法）xnxxxn.21 3232.323221xnxxxn824461432326122121sxxxxniinii方差22标准差解法解法 2 2： （推理法）（推理法）因为数据的每一项都是先 2 倍后加上 3，而加上 3 对方差没有影响，2 倍后则方差变为原来的 4 倍，即方差标为 8 ，则标准差为22.线性回来方程线性回来方程. .变量之间的关系： 确定的函数关系 相关关系（有肯定的关系，但不能用函数表达出来）. . 对于一组数据讨论它们满意的关系，可以先画出散点图，看它们的大致趋势，然后选择一种函数进展

25、数据拟合，电脑和计算器一般给出 6 种拟合函数，也就是说对于一组数据可以用各种函数模型来拟合，只不过拟合度不同而已，当拟合度2R越接近于 1 则拟合得越好，本教材之讨论线性拟合，也就是求线性回来方程. . 线性回来分析：理论根据最小二乘法最小二乘法见课本72P. .设线性回来方程为abxy，关键在于求ba,niiniiiniiniiininiiininiiniiiixxyyxxxnxxnyxxxnyxyxnb12112211212111 y xbya. . 相关系数：相关系数：niiniiniiiynyxnxxnyxr1221221 y 称为的样本相关系数与xy线性相关程度越高越接近于并且负相

26、关时当正相关时当1 r , 1 ; ,0 ; ,0r rr线性相关程度越低越接近于0 r . .说明：说明：1.1. 由于公式的困难，数据有的也较多，所以在详细做题目时可以列出表格来，对应填进去，然后用公式计算，这样就不会产生慌乱的感觉2.2.做题目时要细心，不要乱，在我们高一阶段一般只给出 56 组数据，算起来已经不是很难了3.3. 当然这种拟合（我们主要学习线性拟合就是求线性回来方程）在电脑里都可作出来图像来，而且求出相应的拟合度，有爱好的同学可以在 Excel 软件里试一试3.概率概率事务：随机事务（事务：随机事务（ random event ） ，确定性事务，确定性事务:必定事务( c

27、ertainevent)和不行能事务( impossibleevent )随机事务的概率随机事务的概率(统计定义统计定义)：一般的，假如随机事务A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们称事务 A 发生的概率为 nmAP说明说明： 一个随机事务发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进展大量的重复事务时某个事务是否发生， 具有频率的稳定性 ， 而频率的稳定性又是必定的， 因此偶尔性和必定性对立统一 不行能事务和确定事务可以看成随机事务的极端状况 随机事务的频率是指事务发生的次数和总的试验次数的比值，它具有肯定的稳定性，总在某个常数旁边摇摆，且随着试验次数的不断增多，这个摇摆的幅度越

28、来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事务发生的概率 概率是有宏大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是详细的统计的结果 概率是频率的稳概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值定值，频率是概率的近似值概率必需满意三个根本要求：概率必需满意三个根本要求： 对随意的一个随机事务A，有 10AP 0, 1,PP则有可能事件分别表示必然事件和不和用假如事务 BPAPBAPBA:,则有互斥和古典概率古典概率 （Classical probability model） ： 全部根本领件有限个每个根本领件发生的可能性都相等满意这两个条件的概率模型成为古典概型假如一次试验的等可能的根本领

29、件的个数为个n，则每一个根本领件发生的概率都是n1，假如某个 事 务A包 含 了 其 中 的m个 等 可 能 的 根 本 领 件 ， 则 事 务A发 生 的 概 率 为 nmAP几何概型几何概型（geomegtric probability model） ：一般地，一个几何区域D中随机地取一点，记事务“改点落在其内部的一个区域d内”为事务A，则事务A发生的概率为 的侧度的侧度DdAP（ 这里要求D的侧度不为 0，其中侧度的意义由D确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）几何概型的根本特点：几何概型的根本特点： 根本领件等可性 根本领件无

30、限多说明说明：为了便于讨论互斥事务，我们所讨论的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D内随机地取点， 指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的， 落在任何局部的可能性大小只与该局部的侧度成正比，而与其形态无关。互斥事务互斥事务(exclusive events)：不能同时发生的两个事务称为互斥事务对立事务对立事务（complementary events） ：两个互斥事务中必有一个发生,则称两个事务为对立事务，事务A的对立事务 记为：A独立事务的概率：独立事务的概率： BPAPAABP , B , 则为相互独立的事件事件若，若 n21n2121A.AA.AAAP , , . , , PPP

31、AAAn则为两两独立的事件说明：说明：若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件AA可能都不发生，但不行能同时发生 ，从集合的关来看两个事务互斥，即指两个事务的集合的交集是空集 对立事务是指的两个事务，而且必需有一个发生，而互斥事务可能指的许多事务，但最多只有一个发生，可能都不发生 对立事务肯定是互斥事务 从集合论来看：表示互斥事务和对立事务的集合的交集都是空集，但两个对立事务的并集是全集 ，而两个互斥事务的并集不肯定是全集 两个对立事务的概率之和肯定是 1 ，而两个互斥事务的概率之和小于或者等于 1 若事务BA,是互斥事务，则有 BPAPBAP一 般 地 ， 假 如nAAA,.,

32、21两 两 互 斥 ， 则 有nnAPAPAPAAAP.2121 APAP1 在本教材中nAAA.21指的是nAAA,.,21中至少发生一个 在详细做题中，盼望大家肯定要留意书写过程，设处事务来，利用哪种概型解题，就根据那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事务来 ，详细的格式请参照我们课本上的例题例题选讲：例题选讲：例例 1. 在大小一样的 6 个球中，4 个是红球，若从中随意选 2 个，求所选的 2 个球至少有一个是红球的概率？变式训练变式训练 1、 在大小一样的 6 个球中，2 个是红球，4 个是白球，若从中随意选取 3 个，求至少有 1 个是红球的概率？2、盒中有 6 只灯泡，其中

33、 2 只次品，4 只正品，有放回的从中任抽 2 次，每次抽取 1 只，试求下列事务的概率：（1）第 1 次抽到的是次品（2）抽到的 2 次中，正品、次品各一次3、甲乙两人参与一次考试共有 3 道选择题，3 道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少 1 人抽到选择题的概率？4、一只口袋里装有 5 个大小形态一样的球，其中 3 个红球，2 个黄球，从中不放回摸出 2 个球，球两个球颜色不同的概率？5、设盒子中有 6 个球，其中 4 个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到 1个红球 1 个白球的概率是多少？例例 2. 急救飞机向一个边长为 1 千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为 80米和 50 米的水池，当急救物品落在水池及间隔 水池 10 米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的随意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的） ，求发放急救物品无效的概率？变式训练变式训练1、在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的 2 倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？2、如图，已知矩形在距形内，中 , 7AC , 5AB ABCD任取一点 P，90 APB求的概率？