2008年考研数学一真题及答案.docx

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1、2008年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1) 设函数fx=0x2ln(2+t)dt,则f(x)的零点个数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】B。【解析】fx=2x ln(2+x2)且ln(2+x2)0，则x=0是f(x)唯一的零点综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一元函数积分学积分上限的函数及其导数(2) 函数fx,y=arctanxy在点(0,1)处的梯度等于(A)i (B)-i(C)j (D)-j【答案】A。【解析】gradfx,y=f(x,y)xi+f(x,y)yj f(x,y)x

2、=1y1+(xy)2=yx2+y2 , f(x,y)y=-xy21+(xy)2=-xx2+y2 所以gradfx,y(0,1)=fx0,1i+fy0,1j=1i+0j=i综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学多元函数微分学方向导数与梯度(3) 在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是(A)y+y-4y-4y=0 (B) y+y+4y+4y=0(C)y-y-4y+4y=0 (D)y-y+4y-4y=0【答案】D。【解析】由通解表达式y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x可知其特征根为 1=1,2,3=2i可见其对应特征方

3、程为-12+4=3-2+4-4=0故对应微分方程为y-y+4y-4y=0综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学常微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(4) 设函数f(x)在(-,+)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是(A) 若xn收敛，则f(xn)收敛(B) 若xn单调，则f(xn)收敛(C) 若f(xn)收敛，则xn收敛(D) 若f(xn)单调，则xn收敛【答案】B。【解析】【方法一】由于xn单调，f(x)单调有界，则数列f(xn)单调有界，根据单调有界准则知数列f(xn)收敛。【方法二】排除法：若取fx=1,x0-1,x0, xn=(-1)nn,则显然f(x)单调，xn

4、收敛，但fxn=1，n为偶数-1,n为奇数，显然f(xn)不收敛，排除A。若取fx=arctanx,xn=n,显然f(xn)收敛且单调，但xn不收敛，排除C与D。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学函数、极限、连续函数的有界性、单调性、周期性与奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则与夹逼准则(5) 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0,则(A) E-A不可逆，E+A不可逆(B) E-A不可逆，E+A可逆(C) E-A可逆，E+A可逆(D) E-A可逆，E+A不可逆【答案】C。【解析】因为E-AE+A+A2=E-A3=E E+AE-A+A2=E+A3=E所以可知E-A可逆，

5、E+A可逆综上所述，本题正确答案是C。【考点】线性代数矩阵矩阵的概念与性质，矩阵可逆的充分必要条件(6) 设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程x,y,zAxyz=1在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则A的正特征值的个数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】B。【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为x2a2-y2b2-z2c2=1二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是A的特征值，可知A的正特征值的个数为1综上所述，本题正确答案是B。【考点】线性代数二次型次型的标准形与规范形(7) 设随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F(x),则Z=minX,Y的分布函数为(A)

6、F2(x) (B)F(x)F(y)(C)1-1-F(x)2 (D)1-F(x)1-F(y)【答案】A。【解析】FZx=PZx=PmaxX,Yx=PXx,Yx =PXxPYx=FxFx=F2(x)综上所述，本题正确答案是A。【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布随机变量的独立性与不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布(8) 设随机变量XN0,1,YN(1,4),且相关系数XY=1,则(A)PY=-2X-1=1 (B)PY=2X-1=1(C)PY=-2X+1=1 (D)PY=2X+1=1【答案】D。【解析】由相关系数的性质可知：如果|XY|=1,则必有PY=aX+b=1可得EY=aE

7、X+b已知XN0,1,YN(1,4),所以1=0+b,得b=1又1=XY=Cov(X,Y)DXDY而CovX,Y=CovX,aX+b=aCovX,X=a所以1=a14,a=2即PY=2X+1=1综上所述，本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）(9) 微分方程xy+y=0满足条件y1=1的解是y= 。【答案】1x。【解析】分离变量 得dyy=-1xdx,l两边积分有lny=-lnx+Clnxy=Cxy=eC=C1利用条件，y1=1，解得 y=1x综上所述，本题正确答案是1x。

8、【考点】高等数学常微分方程变量可分离的微分方程(10) 曲线sinxy+lny-x=x在点0,1处的切线方程是 。【答案】y=x+1【解析】先求曲线在点0,1处的斜率等式sinxy=lny-x=x两端对x求导得cosxy(y+xy)+y-1y-x=1在上式中，将x=0,y=1,代入可得y0=1所以曲线在该点处的切线方程为 y-1=x,即y=x+1综上所述，本题正确答案是y=x+1。【考点】高等数学一元函数微分学导数的几何意义与物理意义(11) 已知幂级数n=0an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数n=0an(x-3)n的收敛域为 。【答案】(1,5。【解析】由题设可知，幂级

9、数n=0an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散,即-4x0,x+22时，幂级数收敛。对于幂级数n=0an(x-3)n，则收敛区间为x-321x5又幂级数n=0an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，所以对于幂级数n=0an(x-3)n收敛域为(1,5。综上所述，本题正确答案是(1,5。【考点】高等数学无穷级数幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)与收敛域(12) 设曲面是z=4-x2-y2的上侧，则 xydydz+xdzdx+x2dxdy= 。【答案】4。【解析】补曲面1:x2+y24z=0,取下侧，记D=(x,y)|x2+y24则 xydydz+xdzdx+x2dxdy

10、 =+1 xydydz+xdzdx+x2dxdy-1 xydydz+xdzdx+x2dxdy = Px+Qy+Rzdxdydz+D x2dxdy = ydxdydz+02d02r2cos2rdr =0+02cos2d02r3dr=4 综上所述，本题正确答案是4。【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算与应用，两类曲面积分的概念、性质及计算(13) 设A为2阶矩阵，1,2为线性无关的2维列向量，A1=0，A2=21+2，则A的非零特征值为 。【答案】1。【解析】【方法一】定义法：由A1=0=01，A21+2=2A1+A2= A2=21+2可得矩阵A的特征值为1,0，因此

11、A的非零特征值为1。【方法二】矩阵相似：A1,2=0,21+2=1,20201可知A0201，0201的特征值易得为1,0，所以可得矩阵A的特征值为1,0，因此A的非零特征值为1。综上所述，本题正确答案是1。【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质(14) 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX=E(X2)= 。【答案】12e【解析】由已知，有EX=DX=1,所以EX2=DX+(EX)2=2所以PX=EX2=PX=2=12e综上所述，本题正确答案是12e。【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征一维随机变量及函数的数字特征三

12、、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15) （本题满分9分）求极限limx0sinx-sin(sinx)sinxx4【解析】【方法一】limx0sinx-sin(sinx)sinxx4=limx0sinx-sin(sinx)xx4 （等价无穷小代换） =limx0cosx-cos(sinx)cosx3x2 （洛必达法则） =13limx01-cos(sinx)x2 （limx0cosx=1） =13limx012sin2xx2 (等价无穷小代换) =16【方法二】limx0sinx-sin(sinx)sinxx4 =limx0sinx-sin(sinx)

13、sinxsin4x （等价无穷小代换）=limt0t-sintt3 （变量代换sinx=t）=limt01-cost3t2 （洛必达法则）=limt012t23t2=16 （等价无穷小代换）【方法三】limx0sinx-sin(sinx)sinxx4=limx0sinx-sin(sinx)xx4=limx0sinx-sin(sinx)x3 由泰勒公式sinx=x-x33!+o(x3),可得sinsinx= sinx-sin3x3!+o(sin3x) 则，上式=limx0sinx-sin(sinx)x3=limx0sinx-sinx-sin3x3!+o(sin3x)x3 =limx0sin3x3

14、!+o(x3)x3=16【方法四】limx0sinx-sin(sinx)sinxx4=limx0sinx-sin(sinx)xx4=limx0sinx-sin(sinx)x3 =limx0cos(x-sinx)x3 （拉格朗日中值定理） =limx0x-sinxx3=limx01-cosx3x2=16【方法五】由于当x0时,x-sinx16x3,则sinx-sinsinx16sin3x所以limx0sinx-sin(sinx)sinxx4=limx016sin3xsinxx4=16 【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学一元函数微分学微分中值定理

15、，洛必达(LHospital)法则(16) （本题满分9分）计算曲线积分L sin2xdx+2(x2-1)ydy,其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点(,0)的一段。【解析】【方法一】L sin2xdx+2(x2-1)ydy =0sin2x+2(x2-1)sinxcosxdx =0x2sin2xdx=-x22cos2x0+0xcos2xdx =-22+x2sin2x0-120sin2xdx=-22【方法二】添加x轴上从点(,0)到点(0,0)的直线段L1，D为L与L1围成的封闭区域，则L sin2xdx+2(x2-1)ydy =L+L1 sin2xdx+2(x2-1)ydy-L1 si

16、n2xdx+2(x2-1)ydy =-D Qx-Pydxdy+0sin2xdx =-D 4xydxdy+0=-0dx0sinx4xydy =-02xsin2xdx=-0x(1-cos2x)dx=-22【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算与应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，格林(Green)公式(17) （本题满分11分）已知曲线C:x2+y2-2z2=0x+y+3z=5,求曲线C距xOy面最远与最近的点。【解析】设P(x,y,z)为曲线C上任意一点，则点P到xOy面的距离为|z|，即原题化为求z2在条件x2+y2-2z2=0, x+y+3z=5下的最值点，构造

17、拉格朗日函数Fx,y,z,=x2+y2+x2+y2-2z2+( x+y+3z-5)解方程组Fx=2x+2x+=0Fy=2y+2y+=0Fz=-4z+3=0F=x2+y2-2z2=0F= x+y+3z-5=0得x=y，从而 2x2-2z2=02x+3z=5得可能极值点：x=1y=1 x=-5y=-5有z(1,1)=x2+y2=1,z(-5,-5)=x2+y2=5根据几何意义，曲线C上存在距xOy面最远与最近的点，故所求点依次为-5,-5,5,(1,1,1)。【考点】高等数学多元函数微分学多元函数的极值与条件极值(18) （本题满分10分）设函数f(x)连续，(I) 利用定义证明函数Fx=0xf(

18、t)dt可导，且Fx=f(x)；(II) 当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数Gx=20xf(t)dt-x02f(t)dt也是以2为周期的周期函数。【解析】(I) 对于任意的x,由于函数f(x)连续，所以limx0Fx+x-F(x)x=limx00x+xf(t)dt-0xf(t)dtx=limx0xx+xf(t)dtx =limx0f()xx （积分中值定理） =limx0f()其中介于x与x+x之间。又limx0f()=f(x),可知Fx=0xf(t)dt可导，且Fx=f(x)(II) 【方法一】对于任意的x，有Gx+2=20x+2ftdt-x+202ftdt =2fx+2-02ft

19、dt =2f(x0-02ftdtGx=20xftdt-x02ftdt=2fx-02ftdt 所以，Gx+2-Gx=0从而有Gx+2-Gx=C（常数）又G0+2-G0=G2-G0=0则C=0，Gx+2-Gx=0，即Gx也是以2为周期的周期函数。【方法二】对于任意的x，有Gx+2=20x+2ftdt-x+202ftdt =202ftdt+22x+2ftdt-x02ftdt-202ftdt =22x+2ftdt-x02ftdt2x+2ftdt=0xf+2d (t=+2) =0xfd=0xftdt则Gx+2=20xftdt-x02ftdt=G(x)故Gx也是以2为周期的周期函数。【方法三】对于任意的x

20、，有Gx+2=20x+2ftdt-x+202ftdt =20xftdt+2xx+2ftdt-x02ftdt-202ftdt由于f(x)以2为周期，则xx+2ftdt=02ftdt所以Gx+2=20xftdt- x02ftdt=G(x) 故Gx也是以2为周期的周期函数。【方法四】对于任意的x，有Gx+2=20x+2ftdt-x+202ftdt 0x+2ftdt=-2xf+2d =t-2 =-20fd+0xfd则Gx+2=2-20fd+20xfd-x02ftdt-202ftdt =Gx+2-20fd-202ftdt= Gx故Gx也是以2为周期的周期函数。【考点】高等数学函数、极限、连续函数的有界性

21、、单调性、周期性与奇偶性高等数学一元函数积分学积分上限的函数及其导数(19) （本题满分11分）将函数fx=1-x2(0x)展开成余弦级数，并求n=1(-1)n-1n2的与。【解析】因为fx是偶函数，于是bn=0(n=1,2,),对n=1,2,有an=20f(x)cosnxdx=20cosnxdx-0x2cosnxdx =20-1n0x2dsinnx=-2nx2sinnx0-02xsinnxdx =-4n20xdcosnx=-4n2xcosnx0-0cosnxdx =-4n2-1n=4-1n+1n2a0=20(1-x2)dx=2(1-23) 所以fx=a02+n=1ancosnx=1-23+n

22、=14-1n+1n2cosnx令x=0,f0=1-23+n=14-1n+1n2=1故n=1(-1)n-1n2=212【考点】高等数学无穷级数函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数，函数在0,l上的正弦级数与余弦级数(20) （本题满分10分）设,为3维列向量，矩阵A=T+T,其中T,T分别是,的转置。证明：(I) 秩r(A)2；(II) 若,线性相关，则秩rA2。【解析】(I) 因为,为3维列向量，所以T,T都是3阶矩阵，且秩r(T)1,r(T)1那么rA=rT+TrT+ r(T)2(II) ,线性相关，则设=k于是，rA=rT+T=r(1+k2)T)r()12【考点】线性代数矩阵矩阵

23、的秩(21) （本题满分12分）设n元线性方程组Ax=b，其中A=2a1 a22a1 a22a1 a22a1 a22a, x=x1x2xn,b=100 (I) 证明行列式A=(n+1)an；(II) 当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；(III) 当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。【解析】(I) 数学归纳法：记n阶行列式A的值为Dn=(n+1)an当n=1时D1=2a,命题Dn=(n+1)an正确；当n=2时，D2=2a1a22a=3a2,命题正确设nk时，命题Dn=(n+1)an正确当n=k时，按第一列展开，则有Dk=2a2a1 a22a1 a22a 1 a22ak-1+a2

24、(-1)2+110 a22a1 a22a 1 a22ak-1=2aDk-1-a2Dk-2=2akak-1-a2k-1ak-2=(k+1)ak命题正确，所以A=(n+1)an。(II) 由克拉默法则，A0方程组有唯一解，故a0时方程组有唯一解，且用克拉默法则，有x1=11 02a1 0a22a1 0 a22a1Dn=nan-1(n+1)an=n(n+1)a(III) 当a=0时，方程组为01 01 1 0x1x2xn=100由rA=rA=n-1,方程组有无穷多解，其通解为(0,1,0,0)T+k(1,0,0,0)T,其中k为任意常数。(22) （本题满分11分）设二维随机变量X,Y相互独立，X的

25、概率密度为PX=i=13(i=-1,0,1)，Y的概率为fY y=1, 0y10, 其他记Z=X+Y。()求PZ12|X=0；()求Z概率密度fz(z)。【解析】()PZ12X=0=PX=0,Z12PX=0=PX=0,Y12PX=0 =PY12=12 () Fzz=PZz=PX+Yz=PX+Yz,X=-1+PX+Yz,X=0+PX+Yz,X=1=PYz+1,X=-1+PYz,X=0+PYz-1,X=1=PYz+1PX=-1+PYzPX=0+PYz-1PX=1=13PYz+1+PYz+PYz-1=13FYz+1+FYz+FYz-1 所以fzz=Fzz=13fYz+1+fYz+fYz-1 =13,

26、-1z20, 其他 【考点】概率论与数理统计多维随机变量的分布二维随机变量函数的分布(23) （本题满分11分）设X1,X2,Xn为来自N(,2)的简单随机样本，记X=1ni=1nXi,S2=1n-1i=1n(Xi-X)2,T=X2-1nS2（）证明T是2的无偏估计量；（）当=0, =1时，求DT。【解析】()因为ET=EX2-1nS2=EX2-E(1nS2)=E(X)2+DX-1nES2=2-2n+2n=2所以T是2的无偏估计量。（）当=0, =1时，nXN(0,1)，(nX)22(1)，n-1S22(n-1)，从而D(nX)2=2，Dn-1S2=2(n-1)所以DT=DX2-1nS2=DX2+1n2DS2=1n2D(nX)2+1n21(n-1)2Dn-1S2=1n22+1n21(n-1)22n-1=2n(n-1)【考点】概率论与数理统计数理统计的基本概念统计量的数字特征第 20 页