2022年2022年量子力学课后答案-第一二章 .pdf

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1、1 量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度 T成反比，即m T=b（常量） ；并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式dvechvdkThvvv11833，（1）以及c，（2）|ddv，（3）有,118)(|)(|52kThcvvehccdcdddv这里的的物理意义是黑体内波长介于与+d之间的辐射能量密度。本题关注的是取何值时，取得极大值，因此，就得要求对的一阶导数为零，由此可求得相应的的值， 记作m。但要注意的是，还需要验证对的二阶导数在m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就

2、是要求的，具体如下：01151186kThckThcekThcehcdd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 2 0115kThcekThckThcekThc)1(5如果令 x=kThc，则上述方程为xex)1(5这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhcTm把 x 以及三个物理

3、常量代入到上式便知KmTm3109.2这便是维恩位移定律。 据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动， 这样便会根据热物体 （如遥远星体） 的发光颜色来判定温度的高低。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 3 1.2 在 0K 附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知hP。所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eVcmEek621051.0）

4、 ，满足ekmpE22，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式，有nmmmEcmhcEmhphee71.01071.031051.021024.1229662在这里，利用了meVhc61024.1，eVcme621051.0。最后，对Emhe2作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强， 由于宏观世界的物体质量普遍很大， 因而波动性极弱， 显现出来的都是粒子性， 这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。自然单位制：在粒

5、子物理学中，利用三个普适常数（光速c，约化普朗克常数h,玻耳兹曼常数 k）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV） 。例： 1nm=5.07/keV，1fm=5.07/GeV，电子质量 m=0.51MeV. 核子（氢原子）质量 M=938MeV ，温度518.6 10KeV. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 4 1.3 氦原子的动能是kTE23（k 为玻耳兹曼常数）

6、，求 T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。解：根据eVKk5106.81，知本题的氦原子的动能为,1029.123234eVKkkTE显然远远小于2c核这样，便有EcmhcHe22nmmm3.1103.11029.1107 .321024.19496这里，利用了eVeVcmHe962107.3109384。最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相应的德布罗意波长就为mkThmEh22据此可知， 当体系的温度越低， 相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显， 特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长

7、时，粒子间的相干性就尤为明显， 因此这时就不能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - 5 1.4 利用玻尔索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量；解：玻尔索末菲的量子化条件为：nhpdq其中 q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈， n 是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常

8、数为k，谐振子质量为m，于是有22212kxmpE这样，便有)21(22kxEmp这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据谐振子在最大位移x处 p=0，221kxE可解出kEx2。这样，根据玻尔索末菲的量子化条件，有xxxxnhdxkxEmdxkxEm)21(2)()21(222nhdxkxEmdxkxEmxxxx)21(2)21(2222)21(22nhdxkxEmxx为了积分上述方程的左边，作以下变量代换：sin2kEx这样，便有2sin2cos2222nhkEdmE2cos2222nhdkmE2212cos222nhdkm

9、E222nhkmE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 6 2nhkmEmknE。能量间隔mkE最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 7 1.5

10、 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解：关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题， 严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒， 动量守恒等， 我们不需要用那么高深的知识去计算，具体到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正负电子对所需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有2cmhvEe此外，还有hcpcE于是，有2cmhce612361.24 102.4 102.4 100.51 10mmnm尽管这是光子转化为电

11、子的最大波长，但从数值上看， 也是相当小的， 我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子， 那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变， 产生，转化等问题， 一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - -

12、- - - - - - 8 第二章波函数和薛定谔方程2.1 证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令( , )( )iEtr tr ehrr，得*()2( )( )( )( )2( )( )( )( )2iiiiEtEtEtEtiJmir er er er emirrrrmhhhhrhhrrrrhrrrr（）（）可见tJ与无关。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 9 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度

13、：ikrikrerer1)2(1)1(21说明1表示向外传播的球面波，2表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。解：在球坐标中11sinreeerrrrrv所以，12rJJerrv和只有方向分量 。*111112223(1) ()21111()()2111111()()2ikrikrikrikrrrriJmieeeeem rrrrrriikikem rrrrrrkkermrmrrhhvhvhhrvrJ1与同向，表示向外传播的球面波。*22222223(2) ()21111()()2111111()()2ikrikrikrikrrrriJmieeeeem rrrrrriikikem rrrrrr

14、kkermrmrrhhvhvhhrvrJ 与2反向，表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 10 2.3 一粒子在一维势场axaxxxU，000)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。补充：设已知t=0 时刻波函数为112sinsin,0( ,0)0,0,xxxaxaaaaxxa，求( , )x t。解：txU与)(无关，是定态问题。其定态S方程)()()()(2222xExxU

15、xdxdm在各区域的具体形式为：)()()()(20111222xExxUxdxdmx：)()(2022222xExdxdmax：)()()()(2333222xExxUxdxdmax由于(1)、(3)方程中，由于)(xU，要等式成立，必须0)(1x3( )0 x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为0)(2)(22222xmEdxxd令222mEk，得0)()(22222xkdxxd其解为kxBkxAxcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得)0()0(12)()(32aa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

16、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 11 0B0sinkaA), 3, 2, 1(0sin0nnkakaAxanAxsin)(2由归一化条件1)(2dxx得1sin022axdxanA由三角函数正交性0sinsin2amnmnaxxdxaaxanaxaAsin2)(22222mEk),3 ,2 ,1(22222nnmaEn可见 E 是量子化的。对应于nE的归一化的定态波函数为axaxaxxeanatxtEinn,00,sin2),(补充：粒子的一般含时波函数为( , )( , )nnnx

17、tcx t，在 t=0 时刻2112sin,0sinsin,0( ,0)0,0,0,0,nnncxxaxxxaxaaaaaaxxaxxa所以121/2,0nccc其余，综上得任意时刻粒子波函数为1212112( , )( , )sinsin,0( ,t)20,0,iiE tE tx tx txexexaxaaaaxxahh名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 12 2.4. 证明（ 2.6-14）式中的归一化常数是

18、aA1证：axaxaxanAn, 0),(sin2.6-14）由归一化，得aAaxannaAaAdxaxanAxAdxaxanAdxaxanAdxaaaaaaaaaan222222222)(sin2)(cos22)(cos121)(sin1归一化常数aA1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 13 2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：一维谐振子第一激发态的波函数222122)(xxex，/mh。

19、得几率密度为22222322211224)()(xxexexxx对其微分得22222)(3231xexxdxxd由极值条件，令0)(1dxxd，可得xxx10由)(1x的表达式可知，xx0，时，0)(1x。显然不是最大几率的位置。而2222)251(4)22(2)62(2)(44223322223212xxexxexxxxdxxd而即23121( )2410 xdxdxe可见1xmh是所求几率密度最大的位置。# 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页

20、- - - - - - - - - 14 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为)()()()(2222xExxUxdxd将式中的)( xx以代换，得)()()()(2222xExxUxdxd利用)()(xUxU，得)()()()(2222xExxUxdxd比较、式可知，)()(xx 和满足同样的 S-方程，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。如果体系不存在简并，它们描写的是同一个状态，因此)()(xx 和之间只能相差一个常数c。方程、可相互进行空间反演)(xx而得其对方，由经xx

21、反演，可得，)()(xcx由再经xx反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。)()(xcx乘 ，得)x()x(c)x()x(2可见，12c，即1c当1c时，)x()x(，)(x具有偶宇称，当1c时，)()(xx，)(x具有奇宇称。如果体系存在简并，对)()(xx 和做线性组合：( )()( )()( ),( )22xxxxxx根据叠加原理，( ),( )xx也满足 S-方程，且满足名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - -

22、 - - - 15 ()( )xx，( )x具有偶宇称，()( )xx，( )x具有奇宇称。S-方程的定态波函数可以表达为( )x（偶宇称）和( )x（奇宇称）的叠加形式。综上，当势场满足)()(xUxU时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。# 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 16 2.7 一粒子在一维势阱中运动，axaxUxU,0,0)(0求束缚态 (00UE)的能级所满足的方程。补充：取电子质量，势阱深20

23、eV，a=0.5nm，给出基态（和第一激发态）能级的数值结果并作波出函数和概率密度的图。解法一：粒子所满足的定态S-方程为)()()()(2222xExxUxdxd按势能)(xU的形式分区域的具体形式为：)x(E)x(U)x(dxd21101222ax：)()(222222xExdxdaxa：)x(E)x(U)x(dxd23303222xa整理后，得：0)(21201EU：. 0E2222：0)(23203EU令22220212)(2EkEUk则：01211k：. 02222k：01213k各方程的解为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

24、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 17 xkxk3222xkxk11111FeEexkcosDxksinCBeAe由波函数的有限性，有0)(0)(31EA有限有限因此xk3xk111FeBe由波函数的连续性，有11112221212222232223222()(),sincos (10)()(),cossin (11)( )( ),sincos (12)( )( ),cosk ak ak aaaBeCk aDk aaak Bek Ck ak Dk aaaCk aDk aFeaak Ck ak D121

25、sin (13)k ak ak Fe整理(10) 、(11) 、(12) 、(13) 式，并合并成方程组，得111122122222222221sincos00 cossin D000sincosF00cossinF0k ak ak akaeBk aCk aDk eBkk aCkk ak aCk aDekk aCkk aDk e解此（四元一次）方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式。注意，系数依赖于未定常数E， 即该方程为数学上的本征方程。要方程组有非零解，必须系数矩阵的行列式为零111122122222222221sincos0cossin000sincos0cossink a

26、k ak ak aek ak ak ekk akk ak ak aekk akk ak Be名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 18 1111111111222222221222222122221221222222122cossin0sincos00sincossincoscossincossincossincossink akak ak ak ak ak akak ak akk akk ak ak aek ak

27、 aek ek ak aekk akk ak ekk akk ak eek k ek ak ek ak ak k ek a11111111222221122222122222221222212222212122sincossincoscossincossin 2cos2sin 2sin 2()sin 22cos2k ak akakak ak ak ak ak ek ak ak ek ek ak ak ek ak ek ak ak ek aek kk akk akk aekkk ak kk a012ake02cos22sin)(22122122akkkakkk即022)(2122122kkakt

28、gkk为所求束缚态能级 (E) 所满足的方程。注意12,k k都依赖于 E，做出函数2221212()()22f Ekktg k ak k的图，其中束缚态要求 0EU0 ，其零点即给出本征能量E的解。能级的特点： U0较小（ 1/a）且无论多小时，存在且只存在1 个束缚态，随 U0的增大，束缚态数增加。由于本征方程的解不定， 可以差一个常系数， 取 B为自由量，将其余系数矩阵（部分）化为（消元法）111111122122222222221222222222122222222sincos0cossin00sincos0cossinsinsinsincos0coscossincos00sincos

29、k ak akak ak ak akek ak ak ekk akk ak ak aekk akk ak Bekk aekk akk ak ak ek akk akk ak ak ak ae1111122221221221222222222210cossin(sincos)00cossin00sincos0cossinak ak ak ak ak akk akk ak Bekk akk a ekk ekk akk ak ak aekk akk ak Be所以由 B及前三个方程可得（注第四个方程和前三个是自洽的）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

30、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 19 11112122222122222122CB(sin/cos)sin/ (cos)B(cos/sin)(sincos)eB(cos 2/sin 2)Bk ak ak ak aek akkk aDBeCk ak aek akkk aFCk aDk ak akkk a即粒子的波函数为1112223sincosk xk xBexaCk xDk xaxaFexaB可由波函数的归一化得出。# 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -