【福建】高考数学复习方略：第9章《算法初步、统计》第4节《用样本估计总体》.ppt

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1、第四节 用样本估计总体,1.统计图表的含义 (1)频率分布表 含义：把反映_的表格称为频率分布表. 频率分布表的画法步骤： 第一步：求_，决定组数和组距，组距= ； 第二步：_，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间， 最后一组取闭区间；,总体频率分布,全距,分组,第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表. (2)频率分布直方图：能够反映样本的频率分布规律的直方图. (3)频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的 _中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图. (4)总体密度曲线：如果将样本容量取地足够大，分组的组距 足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，即总体分 布的密度曲线.,

2、上底边的,(5)茎叶图的画法步骤 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分； 第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.,【即时应用】 判断下列关于频率分布直方图和茎叶图的说法是否正确.(请在括号中填写“”或“”) 从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势. ( ) 从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了. ( ),茎叶图一般左侧的叶从大到小写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次. ( ) 用茎叶图表示数据有两个优点：一是统计图上没有原

3、始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示. ( ) 茎叶图只能表示两位有效数字的数据. ( ),【解析】根据频率分布直方图的含义可知都正确；茎叶图要求不能丢失数据，所以不正确；正确；不正确，茎叶图能够记录三个或三个以上的有效数字的数据，只不过此时茎和叶的选择要灵活. 答案: ,2.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中_的那个数据，叫做这组 数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于_位置的 一个数据叫做这组数据的中位数. (3)平均数：把 称为a1,a2,an这n个数的平均 数.,出现次数最多,最中间,(4)

4、标准差与方差:设一组数据x1,x2,x3，xn的平均数为 ， 则这组数据的标准差和方差分别是,【即时应用】 (1)思考：在频率分布直方图中，如何确定中位数？ 提示:在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的.,(2)某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示， 则甲、乙两名运动员的中位数分别为_.,【解析】根据中位数的含义及茎叶图可知，甲的中位数是19，乙的中位数是13. 答案:19、13,(3)已知一个样本为：1，3，4，a,7.它的平均数是4，则这个 样本的标准差是_. 【解析】由平均数是4，得 a=5，代入标准差的计算公式

5、得s=2. 答案:2,热点考向 1 统计图表的应用 【方法点睛】 常用统计图表的作用及不同 频率分布表、频率分布直方图、茎叶图都是用来描述样本数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息.,【提醒】在画频率分布表或频率分布直方图分组时，取值区间两端点可根据数据分别向外延伸半个组距.,【例1】(2012福州模拟)某学校高三年级进行了一次模拟考试，为对数学成绩进行质量分析，从90分以上(含90分)的学生中抽取了一个容量为200的样本，分组统计后画出了频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小矩形的面积之比为10234

6、685315.,(1)求出图中最高小矩形的高度h； (2)求出由左向右数第三个小组的频数； (3)若130分(含130分)以上的成绩为优秀，根据所给频率分布直方图，以频率为概率，随机抽取一名学生的成绩，求成绩为优秀的概率.,【解题指南】(1)频率分布直方图中小矩形的面积就是频率，根据各矩形的面积之和为1，求出最高矩形的面积后再求h;(2)根据“频率样本容量”来求频数； (3)优秀率为130140与140150两部分的频率之和.,【规范解答】(1)因为小矩形的面积就是频率，所以各小组频率 之比为f1f2f3f4f5f6=10234685315，故可 设f1=10k,f2=23k,f3=46k,f

7、4=85k,f5=31k,f6=5k. 又因为10k+23k+46k+85k+31k+5k=1,则k= ,所以 (2)由左向右数第三个小组的频数是 (3)成绩优秀的概率是,【反思感悟】1.画频率分布直方图时要注意纵、横坐标轴的 意义，频率分布直方图中小矩形的面积是该组数据的频率. 2.频率分布直方图反映了样本的频率分布. (1)在频率分布直方图中纵坐标表示 频率=组距 (2)频率分布表中频率的和为1，故频率分布直方图中各长方形 的面积和为1. (3)用样本的频率分布可以估计相应总体的概率分布.,【变式训练】从两个班中各随机地抽取10名学生，他们的数学成绩如下： 画出茎叶图并分析两个班学生的数学

8、学习情况.,【解析】 由茎叶图可知甲班成绩较分散,80分以上的很少，主要集中在7080分这一分数段，乙班成绩较集中，主要集中在7080分、8090分两个分数段，所以乙班总体成绩优于甲班.,【变式备选】将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8 个小组，如表： 第3组的频率为( ) (A)0.14 (B) (C)0.03 (D) 【解析】选A.第3组的频率为,热点考向 2 数字特征的应用 【方法点睛】 1.众数、中位数与平均数 众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，其中平均数与每一个样本数据都有关，任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，故平均数是最重要的.,2.标准差与方差 标

9、准差与方差描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差与方差越大，说明这组数据的波动性越大. 用样本的数字特征估计总体的数字特征时，样本容量越大，估计就越精确.,【例2】(1)(2012陕西高考)从甲、乙两个城市分别随机抽 取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图 表示(如图所示).设甲、乙两组数据的平均数分别为 ， ， 中位数分别为m甲，m乙，则( ),(A) ,m甲m乙 (B) ,m甲m乙 (C) ,m甲m乙 (D) ,m甲m乙,(2)某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80

10、分却记成了50分，乙实得70分却记成了100分，则更正后平均分和方差分别是( ) (A)70,50 (B)70,75 (C)70,1.04 (D)65,25,(3)对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下： 问：甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课发展较平衡？,【规范解答】(1)选B.观察茎叶图可知 ，甲组数据中 的中位数是 (18+22)=20，乙组数据中的中位数是 (27+ 31)=29，m甲m乙，故选B.,(2)选A.甲少记了30分，乙多记了30分，故更正后平均分仍为70 分； 设更正前48名学生成绩为x1，x2，x46，50,100，则由条件知 (x170)2(x

11、270)2(x4670)2(5070)2(10070)2 7548. 更正后方差 s2 (x170)2(x270)2(x4670)2(8070)2 (7070)2 (7548202302102)50.,(3) 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡.,【互动探究】本例(2)中若另一个平行班级的平均分也是70分，方差是20 ，则这两个班级的学生的学习水平如何？ 【解析】两个班级平均分相同，说明总体水平一样，但平行班级的方差小，说明平行班级的学生成绩差距不大，没有特别高分的，也没有特别低分的.,【反思感悟】牢记样本数据的数字特征是正确求解的关键，各个数字特征只是反映了总体的某一方面的信息，应用时

12、要综合考虑，尤其是平均数与方差(标准差)的作用在比较、决策时应用更广泛.,【变式备选】数据a1，a2，a3，an的方差为2，则数据 2a11,2a21，2an1的方差为( ) (A) (B) 221 (C)42 (D)421 【解析】选C.数据a1，a2，a3，an的方差为2，平均数为 则数据2a11,2a21,2a31，2an1的平均数为 方差,热点考向 3 统计与概率的综合应用 【方法点睛】 统计与概率的综合 高考中，对统计知识的考查，往往与概率相结合，考查学生分析、使用统计图表的能力，抽样方法的操作，概率(尤其是古典概型)的求解，并进一步解决实际问题.在此类问题中，从统计图表中准确获取相

13、关信息是解题关键.,【例3】某市从4月1日4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (1)作出频率分布表； (2)作出频率分布直方图； (3)根据国家标准，污染指数在050之间时，空气质量为优；在51100之间时，为良；在101150之间时，为轻微污染；在151200之间时，为轻度污染.,请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价. 【解题指南】首先根据题目中的数据

14、完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数.,【规范解答】 (1)频率分布表：,(2)频率分布直方图：,(3)答对下述两条中的一条即可： 该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数 的 ，有26天处于良的水平，占当月天数的 ，处于优或良 的天数共有28天，占当月天数的 .说明该市空气质量基本良 好. 轻微污染有2天，占当月天数的 .污染指数在80以上的接近 轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17 天，占当月天数的 ，超过50%，说明该市空气质量有待进一 步改善.,【反思感悟】1.在频率分布表中，频数的和等于样本

15、容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量； 2.在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率.,【变式训练】某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段40,50),50,60) 90,100后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：,(1)求分数在70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； (3)用分层抽样的方法在分数段为60,80)的学生中抽取一个容量为6的样

16、本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段70,80)的概率.,【解析】(1)分数在70,80)内的频率为： 1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)10 =1-0.700=0.300，故 如图所示：,(2)平均分为： =450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.05 =71. (3)由题意，60,70)分数段的人数为：0.1560=9人； 70,80)分数段的人数为：0.360=18人； 在60，80)的学生中抽取一个容量为6的样本， 60,70)分数段抽取2人，分别记为m，n；70,80)分数段抽取4 人，分别记为

17、a,b,c,d；,设从样本中任取2人，至多有1人在分数段70,80)为事件A，则基 本事件空间包含的基本事件有： (m,n)、(m,a)、(m,b)、(m,c)、(m,d)、(c，d)共15种， 则事件A包含的基本事件有： (m,n)、(m,a)、(m,b)、(m,c)、(m,d)、(n,a)、(n,b)、(n,c)、 (n,d)共9种， ,1.(2012江西高考)样本(x1,x2，,xn)的平均数为 ，样本 (y1,y2，ym)的平均数为 ( ),若样本(x1,x2,xn,y1, y2,ym)的平均数 = +(1-) ，其中0 ，则n,m 的大小关系为( ) (A)nm (B)nm (C)n

18、=m (D)不能确定,【解析】选A.由已知得x1+x2+xn=n , y1+y2+ym=m , = , 整理得( - )m+(-1)n=0, ,m+(-1)n=0, 即 ,又(0, ), 0 1, 1,nm.,2.(2012湖北高考)容量为20的样本数据,分组后的频数如下表: 则样本数据落在区间10,40)的频率为( ) (A)0.35 (B)0.45 (C)0.55 (D)0.65,【解析】选B.数据落在区间10,40)内的频数为9,样本容量为 20,所求频率P= =0.45.,3.(2012安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( ),(A)甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 (B)甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 (C)甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 (D)甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差,【解析】选C.甲的平均数为 (4+5+6+7+8)=6,乙的平均数为 (53+6+9)=6,甲的成绩的方差为 (222+122)=2， 乙的成绩的方差为 (123+321)=2.4.所以甲的成绩的方 差小于乙的成绩的方差.,