三角函数性质.ppt

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1、关于三角函数性质现在学习的是第1页，共74页【知识梳理】1.三个基本三角函数的图象和性质 函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RRx|xk+ ,kZ2现在学习的是第2页，共74页函数y=sinxy=cosxy=tanx值域-1,1-1,1R函数的最值最大值1,当且仅当_ 最小值-1,当且仅当_ 最大值1,当且仅当_最小值-1,当且仅当_无最大值和最小值x2k,kZ2x2k,kZ2x=2k,kZx=2k-,kZ现在学习的是第3页，共74页函数y=sinxy=cosxy=tanx单调性增区间_减区间_ 增区间_减区间_增区间_ k 2,2k 2(kZ)2k 2,23k 2(kZ)2k

2、2-,k2(kZ)k2,k2+(kZ)(k,2k)(kZ)2现在学习的是第4页，共74页函数y=sinxy=cosxy=tanx奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2k, k0,kZ,最小正周期为_周期为2k,k 0,kZ,最小正周期为_周期为k, k0,kZ,最小正周期为_22现在学习的是第5页，共74页函数y=sinxy=cosxy=tanx对称性对称中心_ _ 对称轴_ _无对称轴零点k,kZk+ ,kZk,kZ(k,0),kZk,0 ,2()k,0kZ2()，xk,kZ2 x=k,kZ2kZ现在学习的是第6页，共74页2.周期函数(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个_,使得当

3、x取_内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,_叫做这个函数的周期.非零常数T定义域非零常数T现在学习的是第7页，共74页(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_,那么这个_就叫做f(x)的最小正周期.最小的正数最小正数现在学习的是第8页，共74页【特别提醒】1.函数的对称性和周期之间的几个关系(1)正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称轴之间距离的2倍是一个周期.(2)正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期.现在学习的是第9页，共74页(3)正弦曲线和余弦曲线相邻的一个对称轴和一个对称中心之间距离的4倍是一个周期.(4

4、)正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期.现在学习的是第10页，共74页2.正切函数的单调性 y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,应在每个区间 (kZ)内为增函数.(k,k)22现在学习的是第11页，共74页【小题快练】链接教材 练一练1.(必修4P40练习T3(2)改编)函数f(x)=4- 的最小值是,取得最小值时,x的取值集合为.12cosx3现在学习的是第12页，共74页【解析】f(x)min=4-2=2,此时, =2k(kZ),x=6k(kZ),所以x的取值集合为x|x=6k,kZ答案:2x|x=6k,kZ1x3现在学习的是第13页，共74页2.(必修4P47习题1.

5、4B组T2改编)函数y= 的单调递减区间为.3tan(2x)4现在学习的是第14页，共74页【解析】因为y=tanx的单调递增区间为(kZ),y=-tanx的单调递减区间为(kZ),所以 (kZ),解得 (kZ),所以 的单调递减区间为 (kZ).答案: (kZ)k ,k22 ()k ,k22 ()3k2xk242 k5kx8282 3ytan 2x4 ()k5k,8282()k5k,8282()现在学习的是第15页，共74页感悟考题 试一试3.(2014陕西高考)函数f(x)= 的最小正周期是()A. B. C.2 D.4【解析】选B.由题意得:T= =.cos(2x)6222现在学习的是第

6、16页，共74页4.(2016烟台模拟)函数y=sin( -x)的图象()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线x= 对称22现在学习的是第17页，共74页【解析】选B.因为y=sin( -x)=cosx,又因为cos(-x)=cosx,为偶函数,所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y轴对称.2现在学习的是第18页，共74页5.(2016菏泽模拟)函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x0,的最小值是.现在学习的是第19页，共74页【解析】设sinx-cosx=t, 因为x0,所以 所以t-1, ,sinxcosx= 所以 当t=-1时,ymin=-1.

7、答案:-1t2sin x4()，3x44 4 ，221t2，221t1ytt1122 ，现在学习的是第20页，共74页考向一三角函数的定义域及简单的三角方程或不等式【典例1】(1)(2016青岛模拟)定义在区间(0, )上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P,过点P作PP1x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图象交于点P2,则线段P1P2的长为.2现在学习的是第21页，共74页(2)满足cosx ,且x0,2的x的集合为.(3)函数f(x)= +log2(2sinx-1)的定义域是.12264x现在学习的是第22页，共74页【解题导引】(1)根据图象的意义及同角关系,

8、列出关于sinx的方程,求解.(2)根据余弦函数的图象可得不等式的解集为x ,kZ,结合函数的定义域即可得到答案.(3)根据表达式有意义,列出不等式组求解.2k ,2k 33现在学习的是第23页，共74页【规范解答】(1)由题意得线段P1P2的长即为sinx的值,且其中的x满足6cosx=5tanx,即6cosx=5 ,所以6cos2x=5sinx,即6sin2x+5sinx-6=0,解得sinx= ,或sinx=- (舍).所以线段P1P2的长为 .答案:sin xcos x23233223现在学习的是第24页，共74页(2)因为cosx ,所以 又因为x0,2,所以x的集合为 答案: 12

9、x2k ,2k ,kZ33 50,2 .3350,2 33现在学习的是第25页，共74页(3)由题意,得由得-8x8,由得sinx ,由正弦曲线得 所以不等式组的解集为 答案: 264x02sin x10 ，1252kx2k (kZ).66117513,8.666 66 ()()(117513,8666 66 ()()(现在学习的是第26页，共74页【母题变式】1.若本例题(3)中函数改为f(x)= ,求其定义域.【解析】因为函数f(x)= ,所以cosx1,所以x2k,kZ,所以函数的定义域为x|x2k,kZ. 1cos x11cos x1现在学习的是第27页，共74页2.在本例题(3)中函

10、数改为 求其定义域.【解析】由 由余弦曲线得 所以函数的定义域为 f xln32cos x( )()，332cos x0cos x,2得112kx2k,kZ,66112k2kkZ.66(，)现在学习的是第28页，共74页【规律方法】1.三角函数方程、不等式的求解策略(1)由同角关系、诱导公式转化为关于sinx或cosx的方程、不等式.(2)用换元法求出sinx或cosx的值或范围.现在学习的是第29页，共74页(3)根据正弦曲线、余弦曲线求出相对应的x的值或范围.(4)解不等式时可以先求出区间长度为一个周期上的范围,再加上周期.现在学习的是第30页，共74页2.三角函数定义域的求法求三角函数定

11、义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.现在学习的是第31页，共74页易错提醒:(1)对表达式进行化简变形时,尽量等价变形,注意不要产生增解,也不要丢掉方程的解.(2)注意sinx或cosx的值域是-1,1,换元后新变量的范围为-1,1.(3)解不等式时要注意周期,不可以忽略.现在学习的是第32页，共74页【变式训练】(2016济南模拟)设条件p: 条件q:cos 0,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5kx1211k,kZ12 ，(2x)3现在学习的是第33页，共74页【解析】选C.由 所以p是

12、q的充分必要条件.511kxk,kZ1212 32k2x2k,kZ232cos 2x03()，现在学习的是第34页，共74页【加固训练】1.(2016长春模拟)已知集合E=|cossin,02,F=|tancos2x,则x的取值范围是()31A.x|2kx2k,kZ4415B.x|2kx2k,kZ4413C.x|kxk,kZ4413D.x|kxk,kZ44 现在学习的是第37页，共74页【解析】选D.由题意可知cos2x0,所以 所以 32k2x2k,kZ,223kxk,kZ.44 现在学习的是第38页，共74页3.在ABC中, 则A的大小为. 【解析】由已知得A为锐角.两边平方,2sin2A

13、=3cosA,设t=cosA,则2t2+3t-2=0,解得t= 或t=-2(舍),所以cosA= ,A=60.答案:602sin A3cos A，1212现在学习的是第39页，共74页4.函数y= +lg cosx的定义域为. 【解析】由得所以函数的定义域为答案: 225x225x0,cos x0,5x5,2kx2k,kZ.22 33 5)(522 22 ，(， )，33 5)(522 22 ，(， )，现在学习的是第40页，共74页考向二三角函数的值域和最值【典例2】(1)函数y=-2sinx-1,x 的值域是()A.-3,1 B.-2,1 C.(-3,1 D.(-2,1713,)66现在学

14、习的是第41页，共74页(2)(2016聊城模拟)函数y=cos2x-2sinx的最大值与最小值分别为()A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2【解题导引】(1)弄清角x的取值范围,结合正弦曲线求解.(2)换元转化为求二次函数的最值.现在学习的是第42页，共74页【规范解答】(1)选D.由正弦曲线知y=sinx在 上,-1sinx0)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,则等于(),3 2 03，23A. B. C 2 D 332现在学习的是第58页，共74页(2)(2016银川模拟)函数f(x)= 的单调减区间为.sin( 2x)3现在学习的是第59页，共74页【解题导引】

15、(1)根据正弦函数的单调性解不等式求解.(2)先用诱导公式化简函数表达式,再根据正弦函数的减区间解不等式求解.现在学习的是第60页，共74页【规范解答】(1)选B.因为f(x)=sinx(0)过原点,所以当 y=sinx是增函数;当 y=sinx是减函数.由f(x)=sinx(0)在 上单调递增,在 上单调递减知, 0 x0 x22 ，即时，33xx2222 ，即时，0,3,3 2 3.232 ，所以现在学习的是第61页，共74页(2)由已知函数为 欲求函数的单调减区间,只需求 的单调增区间.由 得 故所给函数的单调减区间为 答案: ysin 2x3 ()，ysin 2x3()2k2x2kkZ

16、232，5kxkkZ.1212 ，5k,k(kZ)12125k,k(kZ)1212现在学习的是第62页，共74页【技法感悟】1.三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法:由正、余弦函数的奇偶性可判断出y=Asinx和y=Acosx分别为奇函数和偶函数.现在学习的是第63页，共74页(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(x+),y=Acos(x+)(0)的周期为 ,函数y=Atan(x+)(0)的周期为 求解.(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心.2现在学习的是第64页，共74页2.三角函数的单调性问题的解题方法(1)求三角函数单调区间的

17、两种方法代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性列不等式求解.现在学习的是第65页，共74页图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间.易错提醒:求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.现在学习的是第66页，共74页(2)已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.现在学习的是第67页，共74页反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(

18、组)求解.周期法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 周期列不等式(组)求解.14现在学习的是第68页，共74页 【题组通关】1.(2016烟台模拟)如果函数y=3cos(2x+)的图象关于点( ,0)中心对称,那么|的最小值为()43A. B. C. D.6432现在学习的是第69页，共74页【解析】选A.由题意得 所以 所以=k- ,kZ,取k=0,得|的最小值为43cos(2)323cos(2 )323cos()03 ，2kkZ32 ，6.6现在学习的是第70页，共74页2.(2016莱芜模拟)已知0,函数f(x)=sin(x+ )在( ,)上单调递减,则的取值范围是()1 51 3A. , B. ,2 42 41C.(0, D.(0 22，42现在学习的是第71页，共74页【解析】选A.由 由题意知 所以所以 xx22444 得，3,24422()，,2423,4215.24 现在学习的是第72页，共74页3.(2016聊城模拟)若函数f(x)=2cos(x+ )的最小正周期为T,T(1,3),则正整数的最大值为.6现在学习的是第73页，共74页感谢大家观看现在学习的是第74页，共74页