屈婉玲高教版离散数学部分答案2.doc

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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流屈婉玲高教版离散数学部分答案2【精品文档】第 17 页第七章部分课后习题参考答案7.列出集合A=2,3,4上的恒等关系I A,全域关系EA,小于或等于关系LA,整除关系DA.解：IA =, EA=,LA=,DA=13.设A=, B=,求AB,AB, domA, domB, dom(AB), ranA, ranB, ran(AB ), fld(A-B).解：AB=, AB=domA=1,2,3 domB=1,2,4 dom(AB)=1,2,3,4ranA=2,3,4 ranB=2,3,4ran(AB)=4A-B=,，fld(A-B)=1,2,314.设R=

2、,求RR, R-1, R0,1, R1,2解：RR=, R-1,=,R0,1=,R1,2=ran(R|1,2)=2,316设A=a,b,c,d，为A上的关系，其中求。解: R1R2=, R2R1=R12=R1R1=,R22=R2R2=,R23=R2R22=,36设A=1，2，3，4，在AA上定义二元关系R， ,AA ，u,v R u + y = x + v.(1) 证明R 是AA上的等价关系.(2)确定由R 引起的对AA的划分.（1）证明：R u+y=x-yRu-v=x-yAAu-v=u-vRR是自反的任意的,AA如果R ，那么u-v=x-yx-y=u-v R R是对称的任意的,AA若R,R则

3、u-v=x-y,x-y=a-bu-v=a-b RR是传递的R是AA上的等价关系(2) =, , , , , 41.设A=1，2，3，4，R为AA上的二元关系, a，b，c，d AA , a，bRc，da + b = c + d(1) 证明R为等价关系.(2) 求R导出的划分.(1)证明：a，b AA a+b=a+bR R是自反的任意的,AA设R，则a+b=c+dc+d=a+b RR是对称的任意的,AA若R,R则a+b=c+d,c+d=x+ya+b=x+y RR是传递的R是 AA上的等价关系(2)=, , , , , , 43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:(1) 1,2,3,4,6,8,

4、12,24(2) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12解: (1) (2)45.下图是两个偏序集的哈斯图.分别写出集合A和偏序关系R的集合表达式. (a) (b)解: (a)A=a,b,c,d,e,f,g R=, (b) A=a,b,c,d,e,f,gR=,46.分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A的极大元极小元最大元和最小元.(1)A=a,b,c,d,eR=,IA.(2)A=a,b,c,d,e, R=IA.解: (1) (2)项目 (1) (2)极大元: e a,b,d,e 极小元: a a,b,c,e最大元: e 无最小元: a 无第八章部分课后习题参考答案1 设f :N

5、N,且 f (x)=求f (0), f (0), f (1), f (1), f (0,2,4,6,)，f (4,6,8), f -1(3,5,7).解：f (0)=0, f (0)=0, f (1)=1, f (1)=1, f (0,2,4,6,)=N，f (4,6,8)=2,3,4, f -1 (3,5,7)=6,10,14.4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的? (1) f:NN, f(x)=x2+2 不是满射，不是单射 (2) f:NN,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余数 不是满射，不是单射 (3) f:NN,f(x)= 不是满射，不是单射 (4) f:

6、N0,1,f(x)= 是满射，不是单射 (5) f:N-0R,f(x)=lgx 不是满射，是单射 (6) f:RR,f(x)=x2-2x-15 不是满射，不是单射5. 设X=a,b,c,d,Y=1,2,3,f=,判断以下命题的真假: (1)f是从X到Y的二元关系,但不是从X到Y的函数; 对 (2)f是从X到Y的函数,但不是满射,也不是单射的; 错 (3)f是从X到Y的满射,但不是单射; 错 (4)f是从X到Y的双射. 错第十章部分课后习题参考答案4判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1） 整数集合Z和普通的减法运算。封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2） 非零整数集合普通的除法运

7、算。不封闭（3） 全体实矩阵集合（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。不封闭（5）正实数集合和运算，其中运算定义为： 不封闭 因为 （6）关于普通的加法和乘法运算。封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是0，无零元；乘法无单位元（），零元是0；单位元是1（7）A = n运算定义如下： 封闭 不满足交换律，满足结合律，（8）S = 关于普通的加法和乘法运算。封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（

8、9）S = 0,1,S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）S = ,S关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题7设 * 为上的二元运算，X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.(1) 求4 * 6，7 * 3。 4, 3(2)* 在上是否适合交换律，结合律，和幂等律？满足交换律，结合律，和幂等律(3)求*运算的单位元，零元及中所有可逆元素的逆元。单位元无，零元1, 所有元素无逆元8 为有理数集，*为S上的二元运算，,S有 * =

9、 （1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？不可交换：*= *可结合：(*)*=*=*(*)=*=(*)*=*(*)不是幂等的（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。 设是单位元，S ，*= *= 则=，解的=，即为单位。设是零元，S ，*= *= 则=，无解。即无零元。S，设是它的逆元*= *=a=1/x,b=-y/x所以当x0时，10令S=a，b，S上有四个运算：*，分别有表10.8确定。 (a) (b) (c) (d)(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元；(b)满足

10、交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元 (c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 没有单位元, 没有零元(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元(2) 求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16设V= N，+ ，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？（1）S1= 是（2）S2= 不是 加法不封闭（3）S3 = -1，0，1 不是，加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案8.设S=0，1，2，3，为模4乘法，即 x,yS, xy=(xy)mod 4 问S，是否构成群？为什么？解：(1) x,y

11、S, xy=(xy)mod 4,是S上的代数运算。(2) x,y,zS,设xy=4k+r (xy)z =(xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4=(4kz+rz)mod 4=(4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4同理x(yz) =(xyz)mod 4所以，(xy)z = x(yz)，结合律成立。(3) xS, (x1)=(1x)=x,，所以1是单位元。(4) 0和2没有逆元所以，S，不构成群9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下： x,yZ,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群？为什么？解：(1) x,yZ, xoy= x+y-2,o是Z上的代数运算。(2)

12、 x,y,zZ, (xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。(3)设是单位元，xZ, xo= ox=x,即x+-2= +x-2=x, e=2(4) xZ , 设x的逆元是y, xoy= yox=, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，所以Z，o构成群11.设G=，证明G关于矩阵乘法构成一个群解：(1) x,yG, 易知xyG,乘法是Z上的代数运算。(2) 矩阵乘法满足结合律(3)设是单位元，(4)每个矩阵的逆元都是自己。所以G关于矩阵乘法构成一个群14.设G为群，且存在aG,使得 G=akkZ证明：G是交换

13、群。证明:x,yG，设，则所以，G是交换群17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。证明:设也是幂等元，则，即，由消去律知18.设G为群，a,b,cG,证明 abc=bca=cab证明：先证设设则，即左边同乘，右边同乘得反过来，设则由元素阶的定义知，abc=bca，同理bca=cab19.证明：偶数阶群G必含2阶元。证明：设群G不含2阶元，当时，是一阶元，当时，至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以是有限阶的，设是k阶的,则也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元,这与群G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含2阶元20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和

14、b,ab,且ab=ba.证明：先证明G含至少含3阶元。若G只含1阶元,则G=e,G为Abel群矛盾；若G除了1阶元e外,其余元均为2阶元，则，与G为Abel群矛盾；所以，G含至少含一个3阶元，设为，则，且。令的证。21.设G是Mn(R)上的加法群，n2，判断下述子集是否构成子群。（1）全体对称矩阵 是子群（2）全体对角矩阵 是子群（3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群（4）全体上（下）三角矩阵。 是子群22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即 N（a）=xxGxa=ax证明N（a）构成G的子群。证明：ea=ae, ,所以由，得，即，所以

15、所以N（a）构成G的子群31.设1是群G1到G2的同态，2是G2到G3的同态，证明12是G1到G3的同态。证明：有已知1是G1到G2的函数，2是G2到G3的函数，则12是G1到G3的函数。所以:12是G1到G3的同态。33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。 证明：设G是循环群,令G=,令,那么,G是阿贝尔群 克莱因四元群,是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。36.设是5元置换，且(1)计算；(2)将表成不交的轮换之积。(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。解：(1) (2) (3) 奇置换， 偶置

16、换 奇置换第十四章部分课后习题参考答案5、设无向图G有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、。解：由握手定理图G的度数之和为：3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。其余顶点的度数共有6度。其余顶点的度数均小于3，欲使G的顶点最少，其余顶点的度数应都取2,所以，G至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,.7、设有向图D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D的入度列，并求，解：D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D的入度列为1,1,1,2.8、设无向图中有6条边，3

17、度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？解：由握手定理图G的度数之和为：设2度点个，则，该图有4个顶点.14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。(1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化；(2) 22+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化；18、设有3个4阶4条边的无向简单图G1、G2、G3，证明它们至少有两个是同构的。证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列为2，

18、2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1对应的图不是简单图。所以从同构的观点看，4阶4条边的无向简单图只有两个：所以，G1、G2、G3至少有两个是同构的。20、已知n阶无向简单图G有m条边，试求G的补图的边数。解：21、无向图G如下图(1)求G的全部点割集与边割集，指出其中的割点和桥；(2) 求G的点连通度与边连通度。解：点割集: a,b,(d)边割集e2,e3,e3,e4,e1,e2,e1,e4e1,e3,e2,e4,e5=123、求G的点连通度、边连通度与最小度数。解：、 、28、设n阶无向简单图为3-正则图，且边数m与n满足2n-3=m问这样的无向图有几种非同构的情况

19、？解： 得n=6,m=9.31、设图G和它的部图的边数分别为和，试确定G的阶数。解： 得45、有向图D如图 (1)求到长度为1，2，3，4的通路数；(2)求到长度为1，2，3，4的回路数；(3)求D中长度为4的通路数；(4)求D中长度小于或等于4的回路数；(5)写出D的可达矩阵。解：有向图D的邻接矩阵为：(1)到长度为1，2，3，4的通路数为0,2,0,0；(2)到长度为1，2，3，4的回路数为0,0,4,0；(3)D中长度为4的通路数为32；(4)D中长度小于或等于4的回路数10；(4)出D的可达矩阵第十六章部分课后习题参考答案1、画出所有5阶和7阶非同构的无向树.2、一棵无向树T有5片树叶

20、，3个2度分支点，其余的分支点都是3度顶点，问T有几个顶点?解：设3度分支点个，则 ，解得T有11个顶点3、无向树T有8个树叶，2个3度分支点，其余的分支点都是4度顶点，问T有几个4度分支点？根据T的度数列，请至少画出4棵非同构的无向树。解：设4度分支点个，则 ，解得度数列1111111133444、棵无向树T有 (i=2，3，k)个i度分支点，其余顶点都是树叶，问T应该有几片树叶?解：设树叶片，则 ，解得评论：2，3，4题都是用了两个结论,一是握手定理，二是5、n(n3)阶无向树T的最大度至少为几？最多为几？解：2，n-16、若n(n3)阶无向树T的最大度 =2，问T中最长的路径长度为几？解

21、：n-17、证明：n(n2) 阶无向树不是欧拉图.证明：无向树没有回路，因而不是欧拉图。8、证明：n(n2) 阶无向树不是哈密顿图.证明：无向树没有回路，因而不是哈密顿图。9、证明：任何无向树T都是二部图.证明：无向树没有回路，因而不存在技术长度的圈，是二部图。10、什么样的无向树T既是欧拉图，又是哈密顿图?解：一阶无向树14、设e为无向连通图G中的一条边， e在G的任何生成树中，问e应有什么性质?解：e是桥15、设e为无向连通图G中的一条边， e不在G的任何生成树中， 问e应有什么性质?解：e是环 23、已知n阶m条的无向图 G是k(k2)棵树组成的森林，证明：m = n-k.；证明：数学归

22、纳法。k=1时, m = n-1，结论成立；设k=t-1(t-1)时，结论成立，当k=t时, 无向图 G是t棵树组成的森林,任取两棵树，每棵树任取一个顶点，这两个顶点连线。则所得新图有t-1棵树，所以m = n-（k-1）.所以原图中m = n-k得证。24、在图16.6所示2图中，实边所示的生成子图T是该图的生成树. (1)指出T的弦，及每条弦对应的基本回路和对应T的基本回路系统.(2) 指出T的所有树枝， 及每条树枝对应的基本割集和对应T的基本割集系统. (a) (b) 图16.16 解：(a)T的弦：c,d,g,hT的基本回路系统: S=a,c,b,a,b,f,d,e,a,b,h,e,a

23、,b,f,gT的所有树枝: e,a,b,fT的基本割集系统: S=e,g,h,a,c,d,g,h,b,c,d,g,h,f,d,g(b)有关问题仿照给出25、求图16.17所示带权图中的最小生成树.(a) (b)图16.17解：注：答案不唯一。37、画一棵权为3，4，5，6，7，8，9的最优2叉树，并计算出它的权.38.下面给出的各符号串集合哪些是前缀码? A1=0，10，110，1111 是前缀码 A2=1，01，001，000 是前缀码 A3=1，11，101，001，0011 不是前缀码 A4=b，c，aa，ac，aba，abb，abc 是前缀码 A5= b，c，a，aa，ac，abc，abb，aba 不是前缀码41.设7个字母在通信中出现的频率如下: a: 35% b: 20% c: 15% d: 10% e: 10% f: 5% g: 5%用Huffman算法求传输它们的前缀码.要求画出最优树，指出每个字母对应的编码.并指出传输10n(n2)个按上述频率出现的字母，需要多少个二进制数字.解：a:01 b:10 c:000 d:110 e:001 f:1111 g:1110W(T)=5*4+5*4+10*3+10*3+15*3+20*2+35*2=255传输10n(n2)个按上述频率出现的字母，需要255*10n-2个二进制数字.