习题课函数与极限.pptx

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1、)(xfy yxoD一、一、 函数函数1. 函数的概念定义定义:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定义域 值域图形图形:DxxfyyxC, )(),( 一般为曲线 )设,RD函数为特殊的映射:其中第1页/共28页2. 函数的特函数的特性性有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函数)(:DfDf设函数为单射, 反函数为其逆映射DDff)(:14. 复合函数给定函数链)(:11DfDf1)(:DDgDg则复合函数为 )(:DgfDgf5. 初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.第2页/共28页例例1. 设函设函数数,1,1,13)

2、(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求.)(xff解解:,13 x第3页/共28页xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx设其中).(xf求令即即令即画线三式联立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例2.第4页/共28页1 下列各种关系式表示的下列各种关系式表示的 y 是否为是否为

3、x 的函数的函数? 为为什么什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cos x24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y思考与练习思考与练习第5页/共28页2. 设设,0)(,1)(,)(2xxxfexfx且求)(x及其定义域 .3. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f4. 设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2xex1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x2. 解解:e)(x2第6页/共28页 f3. 已知已知8,)5(8,3)

4、(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f) (f310)10(f)7(f f)12(f) (f312)9(f64. 设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sin)(sin2sin1sin12xxfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf第7页/共28页二、二、 连续与间连续与间断断1. 函数连续的等价形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0时当 xx有)()(0 xfxf2. 函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点第8页/共

5、28页有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .3. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质例例3. 设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e第9页/共28页) 1)()(xaxbexfx有无穷间断点0 x及可去间断点, 1x解解:为无穷间断点,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去间断点 ,1x)

6、1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例4. 设函数设函数试确定常数 a 及 b .第10页/共28页例例5. 设设 f (x) 定义在定义在区间区间),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在连续,0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf且对任意实数证明 f (x) 对一切 x 都连续 .第11页/共28页三、三、 极限及其计算极限及其计算1. 极限定义的等价形式 (以 为例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 为无穷小)Axf)(, )(0

7、xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(002. 极限存在准则及极限运算法则第12页/共28页3. 无穷小无穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;ln ax1)1 (x;x5. 求极限的基本方法 第13页/共28页例例6. 求下列极限：求下列极限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21c

8、os21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界第14页/共28页令令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12第15页/共28页0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e则有)()(1lim0 xvxxxu复习复习: 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1第16页/共28页310)1sin1tan1(1li

9、mxxxx 原式原式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式练习练习.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求第17页/共28页例例7. 确定常数确定常数 a , b , 使使0)1(lim33bxaxx解解: 原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0公式3322()()abab a

10、abb第18页/共28页2420ln()limln()xxxxexe 22242420003111111111222ln()limlimlimln()xxxxxxxxxexxexexIexexexx 例例8. 8. 求极限：求极限： 解解： 2lim arccos()xxxx 解解: : 由复合函数的极限法则由复合函数的极限法则22123arccoslim()arccos( lim)arccosxxxIxxxxxx 例例9. 9. 求极限：求极限： 第19页/共28页例9. 求极限函数： 2ln()( )limnnnexf xn 22()nnxx 解 注意到2xe ，应以为分界点221ln()

11、ln( )limlimnnnenf xnn 2xe 当 时；22111ln()ln()( )limlimnnnnnxxeneef xnn2xe 当 时；当 时2xe 2221ln()( )limlnnnnexxf xxn 第20页/共28页例例10. 当当0 x时,32xx 是x的几阶无穷小?解解: 设其为x的k阶无穷小,则kxxxx320lim0C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故61k第21页/共28页证证明明奇奇次次多多项项式式： 1221120)( nnnaxaxaxP)0(0 a至至少少存存 在在一一个个实实根根 . . 例11证

12、明改改写写为为连连续续。将将在在已已知知多多项项式式)()(xPRxP)()(12121012 nnnxaxaaxxP )(lim)(lim00 xPxPaxx与与，有有不不妨妨设设. 0)(0)(, 0 rPrPr与与使使于于是是，由零点定理，使使内内至至少少存存在在一一点点在在0)(),( Prr即奇次多项式P(x)至少存在一个实根。第22页/共28页例例1212).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使得使得证明必有一点证明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证明证明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上连续上连续在在则则xF),0(

13、)21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论:, 0)0( F若若, 0 则则);0()210(ff , 0)21( F若若,21 则则);21()2121(ff 第23页/共28页则则若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由零点定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 综上,1 , 021, 0 必有一点必有一点.)()21(成立成立使使 ff 第24页/共28页阅读与练习阅读与练习1. 求的间断点, 并判别其类型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (l

14、im1xxxxxx1sin21 x = 1 为第一类可去间断点)(lim1xfx x = 1 为第二类无穷间断点, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 为第一类跳跃间断点第25页/共28页 2. 求求.sin12lim410 xxeexxx解:xxeexxxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12lim4101原式 = 1 (2000考研)第26页/共28页 作业作业 P74 3 (1) , (4) ; 4 ; 7 ; 8 (2) , (3) , (5)， (6) ; 9; 10 ; 11 ; 123. 求.)321 (lim1xxxx解解: 令xxxxf1)321 ()(xxx11)()(33231则)(xf3x133利用夹逼准则可知.3)(limxfx第27页/共28页感谢您的观看！第28页/共28页