2022年弹性力学简明教程_第四章_课后作业题答案 .pdf

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1、1第四章平面问题的极坐标解答【4-8】 实心圆盘在的周界上受有均布压力q 的作用，试导出其解答。r【解答】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中的式（4-11） ，即(a)22(12 l n)2(32l n)20ABCABC首先，在圆盘的周界（）上，有边界条件，由此得r=rq(b)-q2(12 l n)2ABC其次，在圆盘的圆心，当时，式（ a）中，的第一、第二项均0趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。 ） ，当时，必须有。=00AB把上述条件代入式（ b）中，得。/ 2Cq所以，得应力的解答为。-q 0【4-9】半平面体表面受

2、有均布水平力q，试用应力函数求解应力分量（图4-2(si n 2) BC15） 。【解答】 （1）相容条件：将应力函数代入相容方程，40显然满足。（2）由求应力分量表达式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2（3）考察边界条件：注意本题有两个面，即，分别为面。在面2上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有得；2()0,0C得。-q2(),2qB将各系数代入应力分量表达式，得si n 2si n 2cos 2qq

3、q【4-14】设有内半径为r 而外半径为R 的圆筒受内压力q，试求内半径和外半径的改变量，并求圆筒厚度的改变量。【解答】本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q 的情况下，取应力分量表达式，教材中式（4-11） ，注意到B=0。内外的应力边界条件要求rr()0,()0 ;(),()0RRq由表达式可见，前两个关于的条件是满足的，而后两个条件要求r222,20ACqACR。由上式解得(a)222,C()2()2222qr RqrAR- rR- r。把 A，B， C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分离，教材中式（4-12） 。(b) 222211cossi n,( Rr )

4、qrRuIKE(c)si ncos0uHIK。式（ c）中的，取任何值等式都成立，所以各自由项的系数为零0HIK=-2si n 222si n 222cos 2BCBCBC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3所以，轴对称问题的径向位移式（b）为，222211( Rr )qrRuE而圆筒是属于平面应变问题，故上式中，代替，则有21EE1，22222111111RuqERr此时内径改变为r222222222211111

5、,111RrqrRruqERrErRr外径改变为2222222211111211RRRqrrRuqERrERRrg。圆环厚度的改变为211RrqrRruuERr。【4-16】在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为，如该0 xyyxq处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。【解答】（1）求出两个主应力，即2122=22。xyxyxyq原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q 而在上下两边受均布压力q，如下图所示。根据教材中的式（4-18）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

6、 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4(4-18)r2222442222cos 2 (1) (13) ,cos 2 (13) ,si n 2 (1) (13)rqrqrrq。沿着孔边，环向正应力是。r4 cos2q最大环向正应力为。max4q【4-17】同习题【 4-16】 ，但。xyxyq【解答】（1）求出两个主应力，即21222=022，。xyxyxyq（2）原来的问题变为矩形薄板只在左右两边受均布拉力2q，如下图所示。可以将荷载分解为两部分：第一部分是四边的均布拉力，第二部分121222qqq是左右两边的均布拉力和上下两边的均布压力。对于第121222qqq122q

7、qq一部分荷载，可应用教材中的式（4-17） ，对于第二部分荷载，可应用教材中的式（4-18） ，将两部分解答叠加，即得原荷载作用下的应力解答（基尔斯解答）。22222224242222(1)cos 2 (1) (13) ,(1)cos 2 (13) ,si n 2 (1) (13)rrrqqrrqqrrq。沿着孔边，环向正应力是r2 - 4 cos2qq2q2qxyO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5最大环向正应力为。max6q名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -