2022年屈婉玲高教版离散数学部分答案 .pdf

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1、第七章部分课后习题参考答案7.列出集合 A=2,3,4 上的恒等关系 I A,全域关系 EA,小于或等于关系 LA,整除关系DA. 解：IA =, EA=, LA=, DA= 13.设 A=, B=, 求 AB,AB, domA, domB, dom(AB), ranA, ranB, ran(AB ), fld(A-B).解：AB=, AB= domA=1,2,3 domB=1,2,4 dom(A B)=1,2,3,4 ranA=2,3,4 ranB=2,3,4 ran(AB)=4 A-B=, ，fld(A-B)=1,2,3 14.设 R=, 求 R R, R-1, R0,1, R1,2解：R

2、 R=, R-1,=, R 0,1=, R1,2=ran(R|1,2)=2,3 16设 A=a,b,c,d ，1R，2R为 A 上的关系，其中1R=,a aa bb d名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - 2,Ra db cb dc b求23122112,RR RR RR。解: R1R2=, R2R1= R12=R1R1=, R22=R2R2=, R23=R2R22=,36设 A=1，2，3，4 ，在 A A上定义二

3、元关系R ，,A A ， u,v R u + y = x + v. (1) 证明 R 是 A A上的等价关系 . (2) 确定由 R 引起的对 A A的划分 . （1）证明： R u+y=x-y Ru-v=x-y A A u-v=u-v R R是自反的任意的 , AA 如果R ，那么 u-v=x-y x-y=u-v R R是对称的任意的 ,AA 若R,R 则 u-v=x-y,x-y=a-b u-v=a-b R R是传递的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 21

4、 页 - - - - - - - - - R是 AA上的等价关系(2) =, , , , , , 41. 设 A=1 ，2，3，4，R 为 AA 上的二元关系 , a，b ， c，dAA , a，bRc，da + b = c + d (1) 证明 R为等价关系 . (2) 求 R 导出的划分 . (1) 证明：a，bAA a+b=a+b R R是自反的任意的 , AA 设R，则 a+b=c+d c+d=a+b R R是对称的任意的 ,AA 若R,R 则 a+b=c+d,c+d=x+y a+b=x+y R R是传递的R是 AA上的等价关系(2)=, , , , , , 43. 对于下列集合与整除

5、关系画出哈斯图: (1) 1,2,3,4,6,8,12,24 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - (2) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 解: 1234681224123456789101112 (1) (2) 45. 下图是两个偏序集 的哈斯图 . 分别写出集合A 和偏序关系 R的集合表达式 . abcdefgabcdefg (a) (b) 解: (a)A=a,b,c,d,e,f,g R=,

6、AI (b) A=a,b,c,d,e,f,g R =,AI46. 分别画出下列各偏序集 的哈斯图 , 并找出 A 的极大元 极小元 最大元和最小元 . (1)A=a,b,c,d,e R =,IA. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - (2)A=a,b,c,d,e, R=IA. 解: abcdeabcde(1) (2) 项目 (1) (2) 极大元 : e a,b,d,e 极小元 : a a,b,c,e 最大元 :

7、e 无最小元 : a 无第八章部分课后习题参考答案1设 f :NN,且f (x)=12xxx，若 为奇数若 为偶数，求 f (0), f (0), f (1), f (1), f (0,2,4,6,)，f (4,6,8), f -1(3,5,7). 解：f (0)=0, f (0)=0, f (1)=1, f (1)=1, f (0,2,4,6,)=N，f (4,6,8)=2,3,4, f -1 (3,5,7)=6,10,14. 4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的 ?哪些是双射的 ? (1) f:NN, f(x)=x2+2 不是满射，不是单射(2) f:NN,f(x)=(x)mod

8、 3,x 除以 3 的余数不是满射，不是单射(3) f:NN,f(x)=10 xx，若 为奇数，若 为偶数不是满射，不是单射(4) f:N0,1,f(x)=01xx，若 为奇数，若 为偶数是满射，不是单射名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - (5) f:N-0R,f(x)=lgx 不是满射，是单射(6) f:RR,f(x)=x2-2x-15 不是满射，不是单射5. 设 X=a,b,c,d,Y=1,2,3,f=,判断以

9、下命题的真假 : (1)f 是从 X 到 Y 的二元关系 ,但不是从 X 到 Y 的函数 ; 对(2)f 是从 X 到 Y 的函数 ,但不是满射 ,也不是单射的 ; 错(3)f 是从 X 到 Y 的满射 ,但不是单射 ; 错(4)f 是从 X 到 Y 的双射 . 错第十章部分课后习题参考答案4判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1） 整数集合 Z 和普通的减法运算。封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2） 非零整数集合普通的除法运算。不封闭（3） 全体nn实矩阵集合（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n 2。封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；

10、乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体nn实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 2。不封闭（5）正实数集合和 运算，其中运算定义为：不封闭因为R1111111（6）n关于普通的加法和乘法运算。封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是 0，无零元；乘法无单位元（1n） ，零元是 0；1n单位元是 1 （7）A = ,21naaan运算定义如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - 封

11、闭 不满足交换律，满足结合律，（8）S = 关于普通的加法和乘法运算。封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）S = 0,1,S 是关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）S = ,S关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。见上题7设 * 为 Z 上的二元运算Zyx,，X * Y = min ( x，y ), 即 x 和 y 之中较小的数 .(1) 求 4 * 6 ，7 * 3 。4, 3(2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？满足交换律，结合

12、律，和幂等律(3) 求*运算的单位元，零元及Z 中所有可逆元素的逆元。单位元无，零元 1, 所有元素无逆元8QQSQ为有理数集， *为 S上的二元运算，,S有* = （1）*运算在 S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？不可交换： *= * 可结合： (*)*=*= *(*)=*=(*)*=*(*) 不是幂等的（2）*运算是否有单位元，零元？如果有请指出，并求S中所有可逆元素名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - 的逆

13、元。设是单位元，S ，*= *= 则=，解的 =，即为单位。设是零元，S ，*= *= 则=，无解。即无零元。S，设是它的逆元 *= *= = a=1/x,b=-y/x 所以当 x0 时，xyxyx,1,110令 S=a，b ，S上有四个运算： *，分别有表 10.8 确定。(a) (b) (c) (d) (1) 这 4 个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(a) 交换律，结合律，幂等律都满足，零元为 a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元bbaa11,(c)满足交换律 ,不满足幂等律 ,不满足结合律ababbabaabba)(,)(bbabba)

14、()(没有单位元 , 没有零元(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律没有单位元 , 没有零元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - (2) 求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16设 V= N，+ ， ，其中 + ， 分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？（1）S1=是（2）S2=不是 加法不封闭（3）S3 = -1，0，1 不是，加法不封闭第十一章部分课后习

15、题参考答案8. 设 S=0，1，2，3，为模 4 乘法，即 x,y S, xy=(xy)mod 4 问S，是否构成群？为什么？解：(1) x,y S, xy=(xy)mod 4S,是 S上的代数运算。(2) x,y,z S,设 xy=4k+r 30r (xy)z =(xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=(4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理 x(yz) =(xyz)mod 4 所以， (xy)z = x(yz) ，结合律成立。(3) xS, (x1)=(1x)=x, ，所以 1 是单位元。(4),33, 1111 0 和 2 没有逆元

16、所以， S，不构成群9. 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算。如下： x,y Z,xoy= x+y-2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - 问 Z 关于 o 运算能否构成群？为什么？解：(1) x,y Z, xoy= x+y-2Z,o 是 Z 上的代数运算。(2) x,y,z Z, (xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成

17、立。(3) 设e是单位元，xZ, xoe= eox=x, 即 x+e-2= e+x-2=x, e=2 (4) xZ , 设 x 的逆元是 y, xoy= yox=e, 即 x+y-2=y+x-2=2, 所以，xyx41所以 Z，o构成群11. 设 G=1001,1001,1001,1001，证明 G关于矩阵乘法构成一个群解：(1) x,y G, 易知 xyG,乘法是 Z上的代数运算。(2) 矩阵乘法满足结合律(3) 设1001是单位元，(4) 每个矩阵的逆元都是自己。所以 G关于矩阵乘法构成一个群14. 设 G为群，且存在 aG,使得 G=akkZ证明： G是交换群。证明:x,y G ，设lk

18、ayax,，则yxaaaaaaxyklkllklk所以， G是交换群17. 设 G为群，证明 e 为 G中唯一的幂等元。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - 证明: 设Ge0也是幂等元，则020ee，即eee020，由消去律知ee018. 设 G为群，a,b,c G,证明abc=bca=cab证明：先证设ebcaeabckk)()(设,)(eabck则eabcabcabcabc)()()(，即eab c ab c

19、ab c ab c aa1)()()(左边同乘1a，右边同乘a得eeaabacbcabcabcabcak1)()()()(反过来，设,)(eback则.)(eabck由元素阶的定义知， abc=bca，同理 bca=cab19. 证明：偶数阶群 G必含 2 阶元。证明：设群 G不含 2 阶元，Ga，当ea时，a是一阶元，当ea时，a至少是 3 阶元, 因为群 G时有限阶的，所以a是有限阶的，设a是 k 阶的, 则1a也是 k 阶的，所以高于 3 阶的元成对出现的， G不含 2 阶元，G含唯一的 1 阶元e,这与群 G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含 2 阶元20. 设 G为非 Abel 群

20、，证明 G中存在非单位元 a 和 b,ab , 且 ab=ba. 证明：先证明 G含至少含 3 阶元。若 G只含 1 阶元, 则 G=e,G 为 Abel 群矛盾；若 G除了 1 阶元 e 外, 其余元a均为 2 阶元，则ea2，aa1bababaabababbbaaGba111111)(,)(,所以，与 G为 Abel 群矛盾；所以， G含至少含一个 3 阶元，设为a，则 a2a，且22aaaa。令2ab的证。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 21 页

21、- - - - - - - - - 21. 设 G是 Mn(R) 上的加法群， n2，判断下述子集是否构成子群。（1）全体对称矩阵是子群（2）全体对角矩阵是子群（3）全体行列式大于等于0 的矩阵 . 不是子群（4）全体上（下）三角矩阵。是子群22. 设 G为群， a 是 G中给定元素， a 的正规化子 N（a）表示 G中与 a 可交换的元素构成的集合，即 N（a）=xxG xa=ax 证明 N（a）构成 G的子群。证明： ea=ae,)(aNeyaayxaaxaNyx,),(,则axyyaxayxyxayaxxya)()()()()()(, 所以)(aNxy由xaax， 得111111,e a

22、 xaexxaxxaxxx， 即11axax， 所 以)(1aNx所以 N（a）构成 G的子群31. 设1是群 G1到 G2的同态，2是 G2到 G3的同态，证明12是 G1到 G3的同态。证明：有已知1是 G1到 G2的函数，2是 G2到 G3的函数，则12是 G1到 G3的函数。,1Gba)()()()(1121221baabab)()()()()(21211212baba所以:12是 G1到 G3的同态。33. 证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。证明：设 G是循环群 , 令 G=,Gyx, 令lkayax, 那么yxaaaaaaxyklkllklk,

23、G 是阿贝尔群名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - 克莱因四元群 ,cbaeGeabccaecbbbceaacbaeecbae是交换群 , 但不是循环群 , 因为 e是一阶元， a,b,c是二阶元。36. 设, 是 5 元置换，且3541254321，2154354321(1) 计算111,；(2) 将11,表成不交的轮换之积。(3) 将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。解：(1) 1

24、2354543215213454321321545432114351254321123145543211(2) )1425()14253(1)25)(143(1(3) )15)(12)(14(奇置换，)13)(15)(12)(14(1偶置换)25)(13)(14(1奇置换第十四章部分课后习题参考答案5、设无向图 G有 10条边， 3 度与 4 度顶点各 2 个，其余顶点的度数均小于3，问 G至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、)()(GG 、。解：由握手定理图G的度数之和为：201023 度与 4度顶点各 2 个，这 4 个顶点的度数之和为14 度。名师资料总结 - - -精品资

25、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - 其余顶点的度数共有6 度。其余顶点的度数均小于3，欲使 G的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以， G至少有 7 个顶点 , 出度数列为 3,3,4,4,2,2,2,2)(,4)(GG. 7、设有向图 D的度数列为 2，3，2，3，出度列为 1，2，1，1，求 D的入度列，并求)(),(DD，)(),(DD,)(),(DD. 解：D的度数列为 2，3，2，3，出度列为 1，2，1，1，D的入度列为 1,

26、1,1,2. 2)(,3)(DD,1)(,2)(DD,1)(,2)(DD8、设无向图中有6 条边，3 度与 5 度顶点各 1 个，其余顶点都是2 度点，问该图有多少个顶点？解：由握手定理图G的度数之和为：1262设 2 度点x个，则1221513x，2x，该图有 4 个顶点 . 14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。(1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化；(2) 22+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化；18

27、、设有 3 个 4 阶 4 条边的无向简单图G1、G2、G3，证明它们至少有两个是同构的。证明： 4 阶 4 条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为 8，因而度数列为 2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但 3，3，1，1 对应的图不是简单图。所以从同构的观点看，4 阶 4 条边的无向简单图只有两个：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - 所以， G1、G2、G3至少有两个是同构的。20、已知

28、n 阶无向简单图 G 有 m 条边，试求 G 的补图G的边数 m 。解：mnnm2)1(21、无向图 G 如下图(1)求 G 的全部点割集与边割集，指出其中的割点和桥；(2) 求 G 的点连通度)(Gk与边连通度)(G。abcdee1e2e3e4e5解：点割集 : a,b,(d) 边割集 e2,e3,e3,e4,e1,e2,e1,e4e1,e3,e2,e4,e5 )(Gk=)(G=1 23、求 G 的点连通度)(Gk、边连通度)(G与最小度数)(G。解：2)(Gk、3)(G、4)(G28、设 n 阶无向简单图为 3-正则图，且边数 m 与 n 满足 2n-3=m 问这样的无向图有几种非同构的情

29、况？解：mnmn3223得 n=6,m=9. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - 31、设图 G 和它的部图G的边数分别为m和m，试确定 G 的阶数。解：2)1(nnmm得2)( 811mmn45、有向图 D 如图(1)求2v到5v长度为 1，2，3，4 的通路数；(2)求5v到5v长度为 1，2，3，4 的回路数；(3)求 D 中长度为 4 的通路数；(4)求 D 中长度小于或等于4 的回路数；(5)写出 D

30、的可达矩阵。v1v2v3v4v5解：有向图 D 的邻接矩阵为：0101000101100000010110000A，00202200000101020000010102A40000020200020202020002023A04040004044000000404400004A4525222524512122252551210432AAAA(1)2v到5v长度为 1，2，3，4 的通路数为 0,2,0,0；(2)5v到5v长度为 1，2，3，4 的回路数为 0,0,4,0；(3)D 中长度为 4 的通路数为 32；(4)D 中长度小于或等于4 的回路数 10；名师资料总结 - - -精品资料欢

31、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - (4)出 D 的可达矩阵1111111111111111111111111P第十六章部分课后习题参考答案1、画出所有5 阶和 7 阶非同构的无向树. 2、一棵无向树T 有 5 片树叶， 3 个 2 度分支点，其余的分支点都是3 度顶点，问T 有几个顶点 ? 解：设 3 度分支点x个，则)135(232315xx，解得3xT有 11 个顶点3、无向树 T 有 8 个树叶， 2 个 3 度分支点，其余的分支点都是4

32、 度顶点， 问 T有几个 4度分支点？根据T的度数列，请至少画出4 棵非同构的无向树。解：设 4 度分支点x个，则)128(243218xx，解得2x度数列 111111113344 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - 4、棵无向树T 有in(i=2，3， k ) 个 i 度分支点，其余顶点都是树叶，问T应该有几片树叶 ? 解：设树叶x片，则)1(21xnxinii，解得2)2(inix评论： 2，3， 4 题都

33、是用了两个结论,一是握手定理，二是1nm5、 n(n 3) 阶无向树 T 的最大度至少为几？最多为几？解： 2，n-1 6、若 n(n3) 阶无向树 T 的最大度 =2 ，问 T 中最长的路径长度为几？解： n-1 7、证明： n(n2) 阶无向树不是欧拉图. 证明：无向树没有回路，因而不是欧拉图。8、证明： n(n2) 阶无向树不是哈密顿图. 证明：无向树没有回路，因而不是哈密顿图。9、证明：任何无向树T都是二部图 . 证明：无向树没有回路，因而不存在技术长度的圈，是二部图。10、什么样的无向树T 既是欧拉图，又是哈密顿图?解：一阶无向树14、设 e为无向连通图 G 中的一条边，e 在 G

34、的任何生成树中，问e应有什么性质? 解：e是桥15、设 e为无向连通图 G 中的一条边，e不在 G 的任何生成树中，问 e 应有什么性质? 解：e是环名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - 23、已知 n 阶 m 条的无向图G 是 k(k2)棵树组成的森林，证明：m = n-k.；证明：数学归纳法。k=1 时, m = n-1，结论成立；设 k=t-1(t-11)时，结论成立，当k=t 时, 无向图G 是 t 棵树组

35、成的森林,任取两棵树，每棵树任取一个顶点，这两个顶点连线。则所得新图有t-1 棵树，所以m = n-（k-1）. 所以原图中m = n-k 得证。24、在图 16.6 所示 2 图中，实边所示的生成子图T 是该图的生成树. (1)指出 T 的弦，及每条弦对应的基本回路和对应T 的基本回路系统. (2) 指出 T 的所有树枝，及每条树枝对应的基本割集和对应T 的基本割集系统. (a) (b) 图 16.16 解： (a)T 的弦： c,d,g,h T 的基本回路系统: S=a,c,b,a,b,f,d,e,a,b,h,e,a,b,f,g T 的所有树枝 : e,a,b,f T 的基本割集系统: S

36、=e,g,h,a,c,d,g,h,b,c,d,g,h,f,d,g (b)有关问题仿照给出25、求图 16.17 所示带权图中的最小生成树. (a) (b) 图 16.17 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - 解：注：答案不唯一。37、画一棵权为3， 4，5，6，7， 8，9 的最优 2 叉树，并计算出它的权. 38.下面给出的各符号串集合哪些是前缀码? A1=0 ，10， 110，1111 是前缀码A2=1 ，0

37、1， 001， 000 是前缀码A3=1 ，11， 101，001，0011 不是前缀码A4=b ，c，aa，ac，aba，abb，abc 是前缀码A5= b ，c，a，aa，ac，abc，abb，aba 不是前缀码41.设 7 个字母在通信中出现的频率如下: a: 35% b: 20% c: 15% d: 10% e: 10% f: 5% g: 5% 用 Huffman 算法求传输它们的前缀码.要求画出最优树，指出每个字母对应的编码.并指出传输 10n(n2)个按上述频率出现的字母，需要多少个二进制数字. 解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

38、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - a:01 b:10 c:000 d:110 e:001 f:1111 g:1110 W(T)=5*4+5*4+10*3+10*3+15*3+20*2+35*2=255 传输 10n(n2)个按上述频率出现的字母，需要255*10n-2个二进制数字 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - -