2022年2022年集合知识点总结及习题 .pdf

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1、1 集合123412nxAxBABABAnA（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（ ）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（ ）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（ ）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即 是 的子集。、若集合 中有 个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合00(2 -1)23, ,.4/nAAA B CABBCACABABxBxAABABABABABx xAxBAAAAABBAAB真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）

2、子集。真子集：若且（即至少存在但），则 是 的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，运算,/()( )( )-()/()()()()()()UUUUUUUUA ABBABABAABx xAxBAAAAAABBAABAABBABABBCard ABCard ACard BCard ABC Ax xUxAAC AAC AAUCC AACABC AC B，定义：或并集性质：，定义：且补集 性质：，()()()UUUCABC AC B一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y

3、(3) 元素的无序性 : 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3元素与集合的关系（不）属于关系（1）集合用大写的拉丁字母A、B、C表示元素用小写的拉丁字母a、b、c表示（2）若 a是集合 A的元素，就说 a 属于集合 A,记作 aA; 若不是集合 A的元素，就说 a 不属于集合 A,记作 aA; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2 4. 集合的表示方法：列举法与描述法。（1）列举法：将集合中的元素一一列举

4、出来，写在大括号内表示集合的方法格式： a,b,c,d 适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。格式： x |x 满足的条件 例如： xR| x-32 或x| x-32 适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N=0,1,2,3 ， 正整数集 N* 或 N+ = 1,2,3， 整数集 Z ，-3 ，-2，-1，0,1,2,3 ， 有理数集 Q 实数集 R 有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示例如：语言描述法： 不是直角三角形的三角形 Venn图:

5、4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：x R|x2=5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集定义：若对任意的xA，都有 xB，则称集合 A是集合 B的子集，记为BA（或 BA）注意：BA有两种可能（ 1）A是 B的一部分，；（2）A与 B是同一集合。符号与的区别反之: 集合 A不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,记作 AB或 BA 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 1

6、3 页 - - - - - - - - - 3 2“相等”关系： A=B 定义：如果 A B 同时 BA 那么 A=B 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”3. 真子集 : 如果 A B,且存在元素 xB,但 xA,那么就说集合 A是集合 B的真子集，记作 AB(或 BA) 4. 性质 任何一个集合是它本身的子集。A A 如果 AB, BC , 那么 AC 如果 A B 同时 BA 那么 A=B 5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n个子集， 2n-1个真子集三、集合的运算

7、运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于 B的元素所组成的集合, 叫做A,B的交集 记作AB（读作 A 交 B），即AB=x|xA，且 xB由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集记作： AB（读作A 并 B），即AB =x|xA，或 xB) 设 S是一个集合， A是 S的一个子集，由 S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做 S中子集 A的补集 （或余集）记作ACS，即CSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2性质AA=A A=AB=BA ABA ABB A B AB=A AA=A A=A AB=BA ABABB A B AB=B (CuA) (C

8、uB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= 第一章：集合与函数的概念第一课时：集合1.1 集合的含义与表示1.1.1 集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大S A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 4 写字母 A、B、C 等表示集合，用小写字母a、b、 c 等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属

9、于。元素 a 属于集合A，记做 aA，反之，元素a 不属于集合A，记做 aA。1.1.2集合中的元素的特征：确定性：如世界上最高的山；互异性：由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y ；无序性：如集合a、b、c 和集合 b 、a、c 是同一个集合。1.1.3集合的表示方法：列举法；描述法；Venn图；用数轴表示集合。常用数集及记法有非负整数集（即自然数集）正整数集整数集有理数集实数集N N+或 N* Z Q R 1.1.4集合的分类：根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。本节精讲：一. 如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象

10、能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。例： 看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。（1）大于等于1，且小于等于100 的所有整数；（2）方程 x2=4 的实数根；（3）平面内所有的直角三角形；（4）正方形的全体；（5）的近似值的全体；（6）平面集合中所有的难证明的题；（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系中x 轴上方的所有点。解：练习：考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：（1）平面直角坐标系内x 轴上方的

11、一些点；（2）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1 为半径的园内的所有的点；（3）一元二次方程x2+bx-1=0 的根；（4）平面内两边之和小于第三边的三角形（5）x2,x2+1,x2+2；（6）y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a 0) ；（7）2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0 ；（8）新华书店中意思的小说全体。二有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。例： 集合 A=y|y=x2+1, 集合 B=(x,y)| y=x2+1,(A 、B 中 xR,y R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（

12、）A、2A，且 2B B、（ 1,2 ） A，且（ 1,2 ） B C、2A，且（ 3,10 ） B D、（ 3,10 ） A，且 2B 解： C 练习：3.1415 Q； Q； 0 R+； 1 （ x,y ）|y=2x-3； -8 Z；三有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质: 分别是确定性互异性无序性例： 集合 A是由元素 n2-n，n-1 和 1 组成的，其中n Z，求 n 的取值范围。解： n 是不等于1 且不等于 2 的整数。练习 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

13、 - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 5 1.已知集合M=a,a+d,a+2d,N=a,aq,aq2,a 0, 且 M与 N中的元素完全相同，求d 和 q 的值。2.已知集合A=x，xy,1,B=x2,x+y,0，若 A=B，则 x2009+y2010的值为，A=B= . 3.(1) 若-3 a-3,2a-1,a2-4 求实数 a 的值； (2)若mm11m, 求实数 m的值。4. 已知集合M=2，a,b,N=2a,2,b2 ，且 M=N,求 a,b 的值。5. 已知集合A=x|ax2+2x+1=0,a R，(1) 若 A中只有一个元素，求a 的值；

14、(2)若 A中至多有一个元素，求a 的取值范围。四集合的表示法：三种表示方法练习；1.用列举法表示下列集合。（1）方程 x2+y2=2d 的解集为； x-y=0 （2）集合 A=y|y=x2-1,|x| 2,x Z 用列举法表示为；（3）集合 B=x18Z|x N用列举法表示为；（4）集合 C=x|=aa |+bb |，a，b 是非零实数 用列举法表示为；2. 用描述法表示下列集合。（1）大于 2 的整数 a 的集合；（2）使函数y=111xxx有意义的实数x 的集合；（3） 1 、22、32、42、 3. 用 Venn图法表示下列集合及他们之间的关系：（1） A=四边形 ，B=梯形 ，C=平

15、行四边形 ，D=菱形 ，E=矩形 ,F= 正方形 ；（2）某班共30 人，其中15 人喜欢篮球， 10 人喜欢兵乓球，8 人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为，用 Venn图表示为：。五有关集合的分类：六集合概念的综合问题：练习1.若ttt13，则 t 的值为_；2.设集合 A=y|y=x2+ax+1，xR,B=(x,y)|y= x2+ax+1, x R ,试求当参数a=2 时的集合 A 和 B；3.已知集合A=x|ax2-3x+2=0, aR , 求（ 1）若集合A 为空集，则a 的取值范围；（2）若集合 A 中只有一个元素，求a的值，并写出集合A；（ 3）若集合 A 中

16、至少有一个元素，则a 的取值范围。1.1 课后作业：1. 判断下列各组对象能否组成集合：（1）不等式320 x的整数解的全体；（2）我班中身高较高的同学；（3）直线21yx上所有的点；（4）不大于10 且不小于 1的奇数。2. 用符号或填空：（1） 2_N（2）2_Q（3）0_0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 6 （4）b_, ,a b c（5）0_*N（6）2 3 _11x x（7）2*3_1,x xnnN（

17、8）21,1 _y yx（9）21,1 _,x yyx3. 写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是素数又是偶数的整数组成的集合（2）大于 10 而小于 20 的合数组成的集合4. 用适当的方法表示：（1） (x 1)20 的解集；（2）方程组01yxyx的解集；（3）方程 3x2y10 的解集；（4）不等式2x 10 的解集；（5）奇数集；（6）被 5 除余 1 的自然数组成的集合。5. 集合 1 ，a2 中 a 的取值范围。1.2 集合间的基本关系1.2.1子集：一般地，两个集合A和 B，如果集合 A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合

18、 B的子集，记做AB（或 BA）, 读作“ A包含于 B”（或“ B 包含 A”）。如右图示。比如说，集合A=1、2、3 ，集合 B=1、2、3、 4、5，那么，集合A中的元素1、2、3 都属于集合B ，所以，集合A为集合 B的子集，记做AB（或 BA）。1.2.2集合相等：如果集合AB且 BA时，集合 A中的元素与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合 B相等，记做A=B。或 AB。1.2.3真子集：如果集合BA，但存在元素Bx，且Ax，我们称集合A是集合 B的真子集。 记作：AB（或 BA） 也可 记作：BA（或AB）1.2.4空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做，并规定：空集

19、是任何非空集合的子集（当然是真子集）本节精讲：一 集合间的包含与相等的问题: 对于集合相等，我们要从以下三个方面入手：若集合 AB且 BA时，则 A=B ；反之，如果A=B，则集合AB且 BA。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲要证明A=B ，只需要证明AB和 BA都成立就行了。两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。例： 若集合 |Ax xa ，| 250Bxx，且满足 AB ，求实数 a的取值范围 . 解：练习

20、：1. 已知2|0Ax xpxq，2 |320Bx xx且 AB ，求实数p、q所满足的条件 . 2. 若21,2|0 x xbxc，则（）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 7 A. 3,2bc B. 3,2bc C. 2,3bc D. 2,3bc3.已知集合P x|x2x6 0与集合 Q x|ax10，满足 QP，求 a的取值组成的集合A。二有关子集以及子集个数的问题：例 1：判定以下关系是否正确(1)aa

21、(2)1 ，2，3 3，2，1 (3)0(4)00 （5）=0 （6）0解根据子集、真子集以及集合相等的概念知是正确的，后两个都是错误的说明：含元素0 的集合非空例 2：列举集合 1 ，2，3 的所有子集分析： 子集中分别含1，2，3 三个元素中的0、1、2 或者 3个解： 含有 0 个元素的子集有：含有 1个元素的子集有1 ，2 ，3 ；含有 2个元素的子集有1 ，2，1，3 ，2 ，3；含有 3个元素的子集有1 ，2，3 共有子集8个例 3：已知 a、bAa、b、c、 d,则满足条件集合A 的个数为 _分析： A 中必含有元素a，b，又 A 是a，b，c，d 子集，所以满足条件的A 有：

22、a，b ，a，b，c ，a，b，d ，a、b、c、d 。解： 共 3 个例 4：设集合Ax|x 54aa2，aR ，B y|y 4b24b2，bR ，则下列关系式中正确的是。AAB BABCAB DAB解： A 例 5：已知集合A 2，4，6，8，9，B1 ，2，3，5，8 ，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2 后，则变为B 的一个子集，求集合C分析 :逆向操作： A 中元素减 2 得 0，2，4，6，7，则 C 中元素必在其中；B 中元素加 2 得 3，4，5，7，10，则 C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4 或 7答 :C4 或7

23、 或4 ，7练习：10012001在以下五个写法中：， ， ，2120 01x|x12， ， ，写法正确的个数有A 1 个B.2 个C.3 个D.4 个2A = (xy)|yx= 1B = (xy)|y = x集合，与，的关系是AA = BB ABCABDAB301M01234满足条件， ， ，的不同集合的个数M是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 8 A 8 个B.7 个C.6 个D.5 个4设 I=0 ，1，2

24、， 3，4，5，A=0 ，1，3，5 ，B=0, 则:0_A 0_B CIA_CIB1C B C A ABII5已知 A=x|x=(2n 1)， nZ ，B=y|y=(4k 1)，kZ ，那么 A 与 B 的关系为6.已知集合A=1,3 ，a,B=1,a2-a+1, 且 AB，求 a 的值。7已知集合A=x R|x23x3=0 ，B=y B|y25y6=0 ，APBP，求满足条件的集合8已知集合A=x|x=a21，aN ，B=x|x=b24b5，bN ，求证： A=B 。课后作业：A组1. 写出集合 1 ，2，3的所有子集，并指出哪些是它的真子集。2. 下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两

25、个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则A。其中正确的有（）A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个3. 设123),(,23),(,xyyxBxyyxARyx，则 A，B的关系是 _ 4. 已知52xxA，121axaxB，AB，求实数a的取值范围。5. 已知集合12, 3, 1mA, 集合2,3 mB，若AB，则实数m的值。6.设集合31xxA，0axxB，若 A是 B的真子集，求实数a的取值范围。7.用适当的符号填空：cbaa,_0_02xx_012xRxN_1 ,0 xxx2_0023_1 ,22xxx8.判断下列两个集合之间的关系：4,21，A,xxB是 8 的约数 _Nkkx

26、xA,3，NzzxxB,6 _NmmxxA,20,xxB是 4 与 10 的公倍数 _9.设集合042xxxA，RxaxaxxB, 01)1(222，若AB，求实数a的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 9 10.下列选项中的M 与 P 表示同一集合的是（）A、001.02xRxM，02xxPB、RxxyyxM,2),(2，RyyxyxP,2),(2C、RxxyyM, 12，RyyxxP, 1)1(2D、Zkk

27、yyM,2，ZkkxxP, 2411.试写出满足条件M210，的所有集合M 12.写出满足条件M0210，的所有集合M 13.已知x, 16,1 ,122xx，求x14.已知集合babaaA2,2,acacaB，若 A=B ，求c的值。15.已知集合21axxA,11xxB，求满足AB的实数a的取值范围。16.设集合aA,8 ,2,43, 22aaB,且 BA，求a的值。B 组1.下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则A其中正确的是（）A、 0 个B、1 个C、2 个D、3 个2.已知集合4,3 ,2, 1A，且 A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A

28、 有（）A、13 个B、12 个C、 11 个D、10 个3.设集合ZkkxxM,42，ZkkxxN,24，则（）A、M=N B、MN C、NMD、 NM 4. 已 知 集 合23xxA,1212kxkxB， 且BA ， 则 实 数k的 取 值 范 围 是_。5.已知集合RaaxaxxA, 022,若集合 A 有且仅有 2 个子集，则a的取值是（）A、1 B、1C、0，1 D、1，0，1 6.设Rba,，集合bababa,0, 1，则ab（）A、1 B、1C、 2 D、2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

29、理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 10 7.已知4,3 ,2, 1U,3, 1A,则ACU_ 8.已知3, 1U,3, 1A,则ACU_ 9.已知集合21，A,022baxxxB，若B且 BA，求实数ba,的值。10.如果数集2, 1 ,0 x中有 3 个元素，那么x不能取哪些值？11.不等式组063012xx的解集为A，RU，试求A及ACU12.已知集合52xxA,121mxmxB（1）、若AB，求实数m的取值范围。（2）、若Zx，求 A 的非空真子集的个数。1.3 集合的基本运算1.3.1 并集：一般地,由所有属于集合A 或属于集

30、合B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集 ,记作 AB,(读作 “A 并 B”). 即 AB=x|x A,或 xB 。如图 1-3-1 所示。例如，设 A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求 AB. 解: AB=4,5,6,8 3,5,7,8=3,4,5,6,7,8 再比如说，设集合A= x|-1x 2, 集合 B= x|1x3 ，求 AB. 解: AB= x|-1x 2 x|1x3 = x|-1x2 ，则 AB 等于 () Ax|2x3 B x|x1 Cx|2x2 5设集合 A x|1x2 ，Bx|xa，若 AB?，则 a 的取值范围是 () Aa 2 Ba 2 Ca 1

31、 D 1a2 6(08 山东文 )满足 M? a1，a2，a3，a4，且 M a1，a2，a3 a1，a2的集合 M 的个数是 () A1 B2 C3 D4 7(09 全国理 )设集合 Ax|x3 ，B xx1x40 ，Bx|x 是不大于 8的自然数 ，Cx|x a，a 为常数 ，Dx|xa，a 为常数 (1)求 AB；(2)若 AC?，求 a 的取值集合；(3)若 ACx|73x3 ，求 a 的取值集合；(4)若 AD x|x 2，求 a 的取值集合；(5)若 BC?，求 a 的取值集合；(6) 若BD中含有元素2，求a的取值集合二有关全集、补集、空集的问题例 1 判定以下关系是否正确(1)

32、aa；(2)1 ，2，3 3 ，2，1 ；(3)0；(4)00 例 2 列举集合 1 ，2，3 的所有子集例已知， ， ，则满足条件集合的个数为3 abAabcdA_例设为全集，集合、，且，则4 UMNUNM 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 13 例 5 设集合 Ax|x 54a a2，aR ，B y|y 4b2 4b2，bR ，则下列关系式中正确的是 AAB BABCAB DABM 与 P的关系是 A MU

33、PB MP CMP DMP例 7 下列命题中正确的是 AU(UA)A BABBABCA122A若 ，则若， ，则DA123Bx|xAAB若，则例 8已知集合A 2，4， 6，8，9，B1，2，3，5，8 ，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2 后，则变为B 的一个子集，求集合C例 9设 S1 ，2，3，4，且 M x S|x25xp0，若SM1 ，4 ，则 p_例 10已知集合S2 ，3，a22a3 ，A|a1|，2 ，SAa3，求 a 的值例年北京高考题集合， ， 11 (1993)Mx|xkZNk24,24xx则 A MN BMNCMND M 与 N 没有相同元素名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -