2022年数列求和方法教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧 . 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：) 1(11)1 () 1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、) 12)(1(6112

2、nnnkSnkn5、213)1(21nnkSnkn例1 已知3log1log23x，求nxxxx32的前 n 项和 . 解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32（利用常用公式）xxxn1)1 (211)211(21n1n21例2 设 Sn 1+2+3+n，nN*,求1)32()(nnSnSnf的最大值 . 解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，)2)(1(21nnSn（利用常用公式）1)32()(nnSnSnf64342nnnnn6434150)8(12nn501精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

3、 - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载 当88n，即 n8 时，501)(maxnf例3 求2222222212345699100解：原式22222222(21 )(43 )(65 )(10099 )3711199由等差数列求和公式，得原式50(3199)50502二、错位相减法求和类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用错位相减法. 若nnnabc，其中nb是等差数列，nc是公比为 q 等比数列，令112211nnnnnSb cb cbcb c则nqS12231nnnnb cb cb

4、cb c两式相减并整理即得例4 求和：132)12(7531nnxnxxxS解：由题可知，1)12(nxn 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列1nx的通项之积设nnxnxxxxxS) 12(7531432.（设制错位）得nnnxnxxxxxSx) 12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx) 12(1121)1 (121)1 ()1 () 12()12(xxxnxnSnnn小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列nb的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n 项和公式求和 . 例5 求数列,22,26,24,2232nn前

5、n 项的和 . 解：由题可知，nn22的通项是等差数列2n 的通项与等比数列n21的通项之积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载设nnnS222624223214322226242221nnnS（设制错位）得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn1224nnnS例7 （2008 年全国第 19 题第（ 2）小题，满分 6 分）已知12nnan，求数列 an的前 n 项和 Sn. 解：01211 22 2(1) 22nnnSnn12121 22 2(1) 2

6、2nnnSnn得01121 222221nnnnnSnn小结：错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列nc的公比 q；将两个等式相减；利用等比数列的前n 项和的公式求和 . 三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1naa. 例8 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210证明：设nnnnnnCnCCCS)12(53210. 把式右边倒转过来得0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS（反序）又由mnnmnCC可得nnnnnnnCCCnCnS1103)12()12(

7、. . +得nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2)(22(2110（反序相加）nnnS2)1(例9 求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S. 将式右边反序得1s i n2s i n3s i n88sin89sin22222S. （反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx+得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin222222

8、2S89 S44.5 例10 求222222222222123101102938101的和分析：由于数列的第k项与倒数第k项的和为常数1，故采用倒序相加法求和解：设222222222222123101102938101S则222222222222109811012938101S两式相加，得21111 05SS，小结 ：对某些具有对称性的数列，可运用此法. 例11 已知函数222xxfx（1）证明：11fxfx；（2）求128910101010ffff的值. 解： （1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（ 1）小题已经证明的结论可知，19285511010101010

9、10ffffff128910101010Sffff令982110101010Sffff则两式相加得：192991010Sff所以92S. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和. 四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分

10、别求和，再将其合并即可 . 例12 求和：12323 543 563 523 5nnSn解：12323 543 563 523 5nnSn12324623 5555nn例13 求数列的前n 项和：231,71,41, 1112naaan， 解：设)231()71()41() 11 (12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741 ()1111 (12naaaSnn（分组）当 a1 时，2)13(nnnSn2) 13(nn（分组求和）当1a时，2) 13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan例14 求数列 n(n+1)(2n+1) 的前 n 项和 . 解：设kkkkkkak

11、2332)12)(1(nknkkkS1)12)(1()32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得Snkkknknknk1213132（分组）)21()21 (3)21(2222333nnn2) 1(2)12)(1(2) 1(22nnnnnnn（分组求和）2)2()1(2nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载例15 求数列11111246248162nn， ， ，的前n项和nS分析：此数列的通项公式是1122nnan，而数列2 n是一个等差数列，数列112n是一个等比数列，故采用分组求和法求解

12、解：23411111111(2462 )(1)222222nnnSnn n小结： 在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和. 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（ 1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（ 3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（ 5）)2)(1(1)1(1

13、21)2)(1(1nnnnnnnan(6) nnnnnnnnSnnnnnnnnna2) 1(11,2)1(12121)1() 1(221) 1(21则把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似1nnca a（其中na是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1）1111n nkknnk，特别地当1k时，11111n nnn（2）11nknknkn，特别地当1k时111nnnn例15、数列na的通项公式

14、为1(1)nan n，求它的前 n 项和nS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载解：1231nnnSaaaaa1111112233411nnnn=11111111112233411nnnn1111nnn小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同. 针对训练 5、求数列1111,1223321nn的前 n 项和nS. 例16求数列,11,321,211nn的前 n 项和 . 解：设nnnnan111（裂项）则

15、11321211nnSn（裂项求和）)1()23()12(nn11n例17 在数列 an中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列 bn 的前 n 项的和 . 解：211211nnnnnan)111(82122nnnnbn（裂项）数列 bn的前 n 项和)111()4131()3121()211(8nnSn（裂项求和）)111 (8n18nn例18 求证：1s i n1c o s89cos88cos12cos1cos11cos0cos12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载解：设89cos

16、88cos12cos1cos11cos0cos1Snnnntan)1tan()1cos(cos1sin（裂项）89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S（裂项求和）88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1)0tan89(tan1sin11cot1sin11sin1cos2原等式成立例19已知222112(1)(21)6nn nn，求22222222235721()11212312nnnN的和分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相互抵消了，从而可求出原数列的前n 项和 . 解：22

17、221216112(1)(1)(21)6nnnann nn nn，11161223(1)1111161223116 11ln.1nSn nnnnn小结： 如果数列na的通项公式很容易表示成另一个数列nb的相邻两项的差，即1nnnabb，则有11nnSbb.这种方法就称为裂项相消求和法. 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例20 求 cos1+ cos2+ cos3+ + cos178 + cos179的值 . 解：设 Sn cos1+ cos2 + cos3+ + cos178+ cos17

18、9精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载)180cos(cosnn（找特殊性质项） Sn （cos1+ cos179） +（ cos2+ cos178） + （ cos3+ cos177） + +（cos89+ cos91） + cos90（合并求和） 0 例21 数列 an：nnnaaaaaa12321,2,3,1，求 S2002. 解：设 S20022002321aaaa由nnnaaaaaa12321,2,3, 1可得,2, 3, 1654aaa,2,3, 1,2, 3, 1121110987aaa

19、aaa2,3, 1,2,3,1665646362616kkkkkkaaaaaa0665646362616kkkkkkaaaaaa（找特殊性质项）S20022002321aaaa（合并求和）)()()(66261612876321kkkaaaaaaaaaa2002200120001999199819941993)(aaaaaaa2002200120001999aaaa46362616kkkkaaaa5 例22 在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog, 9aaaaa求的值 . 解：设1032313logloglogaaaSn由等比数列的性质qpnmaaaaqpnm（找特

20、殊性质项）和对数的运算性质NMNMaaalogloglog得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn（合并求和）)(log)(log)(log6539231013aaaaaa9log9log9log333 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 例23 求11111111111个n之和 . 解：由于)1

21、10(91999991111111kkk个个（找通项及特征）11111111111个n)110(91)110(91)110(91)110(91321n（分组求和）)1111 (91)10101010(911321个nn9110)110(1091nn)91010(8111nn例16 已知数列 an ：11)(1(,)3)(1(8nnnnaannna求的值 . 解：)4)(2(1)3)(1(1)1(8)(1(1nnnnnaannn（找通项及特征）)4)(3(1)4)(2(18nnnn（设制分组）)4131(8)4121(4nnnn（裂项）1111)4131(8)4121(4)(1(nnnnnnnnnaan（分组、裂项求和）418)4131(4313说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页