微分中值定理及其应用习题课 .pdf

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1、1 微分中值定理及其应用习题课一 基本定理1） 罗尔中值定理若函数f满足如下条件：（）f在闭区间ba,上连续；（）f在开区间, a b内可导；（）)()(bfaf, 则在),(ba内至少存在一点, 使得0)(f注 罗尔中值定理主要用于说明0fx有根，关键是要找两点使这两点函数值相等注介值定理主要用于说明0fx有根，关键是要找两点使这两点函数值异号（1）证0fx有根1 00,fxfxgxg xg xfxgxg x法用介值定理（若此时易找两点使函数值异号）.法2 将转化为对用罗尔定理若很容易求出，使，且对很容易找两点使函数值相等.（2）证0fx有根1 .法费马定理（易找极值点或内部最值点）,法2

2、罗尔定理易找两点使函数值相等（3）证根唯一的方法1 法单调性 ,法2 反证法 +罗尔定理 .（4）证0nfx有根，经常对1nfx用罗尔定理（5）证至少存在一点，使含的代数式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 37 页2 , , ,0nG a b f af bfffL成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗尔定理2） 拉格朗日中值定理若函数f满足如下条件：（）f在闭区间,ba上连续；（）f在开区间, a b内可导，则在（ba,）内至少存在一点，使得( )( )( )f bf afba注 看到函数增量， 或隐含增量 （含

3、条件0fa） ，经常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界，经常要考虑拉格朗日中值定理3） 柯西中值定理设函数f和g满足（i ）在,ba上都连续；(ii)在),(ba上都可导；(iii)()(xgxf和不同时为零；(iv)()(bgag则存在),(ba，使得( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a注 看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，经常要用柯西中值定理4） 泰勒中值定理若函数f在点0 x存在直至n阶导数，则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 37 页3 ( )200000000()()( )(

4、)()()()()()2!nnnfxfxf xf xfxxxxxxxoxxnL若函数f在,ba上存在直至n阶的连续导函数， 在),(ba内存在)1(n阶导函数，则对任意给定的,0baxx，至少存在一点),(ba，使得200000)(! 2)()( )()(xxxfxxxfxfxf10)1(00)()()!1()()(!)(nnnnxxnfxxnxf注 看到有二阶以上导数，经常要考虑泰勒中值定理注 对中值定理为了帮助读者记忆，给出以下口诀一阶有界用拉格，二阶以上想泰勒；中值等式罗拉柯，辅助函数逃不脱；函数增量想拉柯，易积结论用阿罗；多个中值多次用，把握特征心自得二 疑难解答 1 极值与最值有什么

5、区别与联系？答 1）极值是一个局部概念,因为0()f x是函数( )f x的极值 ,是与0 x的某邻域0Ux上的函数值( )fx比较而言的；而最值是对整个区间而言的, 是一个整体概念2）闭区间,a b上的连续函数必有最值, 且最大值和最小值各有一个, 最大值大于最小值（常函数除外）, 但可能无极值（因为极值点0 x必在区间的内部，不能是区间的端点， 而最值有可能在端点取）即使有极值 , 也可能不止一个, 极小值也可能大于极大值因此若fa( 是函数的最值, 则fa不可能是极值; 若0()f x（0( , )xa b）是函数的最值, 则一定是极值即（最值不一定是极值，反之, 极值也不一定是最值,

6、极值一般可能很多个, 但若极值只有一个, 即为最值）3）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点，且最大值点是极大值点，最精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 37 页4 小值点是极小值点 2极值点与稳定点的关系，极值点可能是哪些点？答： 1）由费马定理可知, 可导的极值点是稳定点2）稳定点未必是极值点例如3( )f xx，0 x为它的稳定点（因为(0)0f） ，但由3( )f xx的图像和极值点的定义易知0 x不是3( )fxx的极值点3）导数不存在的点也可能是函数的极值点例如由( )f xx的图像和极值的定义易知( )f x

7、x在0 x取得极小值，但在0 x不可导，即极值点未必是稳定点极值点有可能是稳定点和不可导的点3导函数的介值定理有什么作用？答：据此定理可以了解什么样的函数可能成为其它函数的导函数，那么不具有介值性的函数一定不能做为其它函数的导函数，如具有第一类间断点的函数4. 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理是否成立？如果不成立，能否说这三个条件是罗尔定理的必要条件？答 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理就可能不成立例如函数,01,( )0,1,xxf xx在0,1上不满足罗尔中值定理的条件(1) ，因为( )f x在点1x处不连续由于( )1,(0,1)fxx，所以在开区间(0,1)内

8、找不到使得等式( )0f成立的点，如图，无水平切线( 图 1) ；函数( ), 1,1g xx x，( )g x在 1,1上不满足罗尔中值定理的条件(2) ，因为()g x在点0 x处不可导由于1,01,( )1,10,xg xx所以在开区间( 1,1)内找不到使得等式( )0g成立的点，如图，无水平切线( 图 2) 函数( ),0,1h xx x( )h x在0,1上不满足罗尔中值定理的条件(3) ，因为( )h x在区间端点的函数值不相等，即(0)(1)hh由于( )1,(0,1)h xx，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4

9、 页，共 37 页5 在开区间(0,1)内找不到使得等式( )0h成立的点，如图，无水平切线( 图 3) 尽管如此，但是不能说这三个条件是罗尔定理的必要条件例如，函数0,0,1)( ),1,2xf xxx在0,2不连续，在0,2不可导，02ff， 但0,0,1( )1,1,2xfxx，0,1上点都满足( )0fx5. 为什么不将罗尔条件(i)(ii)合并为( )f x在ba,上可导？答可以，但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数例如函数( ) (3 ),f xxx0,3x，xxxf2)1( 3)(，显然0 x时，函数不可导（xxxf)3()(是初等函数，xxxf2)1(3)(在0 x处

10、没有定义，则原函数在0 x不可导），即不符合加强条件；但它满足定理的三个条件，有水平切线( 图) 6. 罗尔定理结论中的值唯一吗？答 不一定唯一 , 可能有一个 , 几个，甚至无限多个例如y y=f (x)03x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 37 页6 .0,0; 0,1sin)(24xxxxxf在1,1上满足罗尔定理的三个条件显然 , .0, 00,1cos1sin21sin4)(223xxxxxxxxf在 (-1,1)内存在无限多个), 2, 1(21nncn使得0)(ncf7拉格朗日公式有哪些等价表示形式？答

11、( )( )( )(),f bf afbaab；注001aabababa， 令aba， 则 有01，()aba，于是有( )( )()(),01f bf afababa；令hba，则有.10,)()()(hhafafhaf注 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于ba，还是ba都成立，而则是介于a与b之间的某一定数8 试问应用导数极限定理时，应当注意哪些问题？答： （1）在应用导数极限定理时，如果只注意)(lim0 xfxx存在的条件，而忽视了f在点0 x的某邻域)(0 xU内连续，则会导致错误的结论，例如,0( )1,0 x xf xx)(xf在)0(0u中可导，且1)(xf，于是有0lim(

12、)xfx，若认为)0(f存在，且1)0(f，这就导致错误结论，事实上，因为)(xf在点 0 处不连续，当然不可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 37 页7 导（2）下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似1） 设f在 点0 x的 右 邻 域0( )U x内 连 续 ， 在0()Uxo内 可 导 ， 且 极 限00lim ( )0 x xf xf x存在，则f在点0 x右可导，且000lim( )0 xxfxfxfx2） 设f在 点0 x的 左 邻 域0( )U x内 连 续 ， 在0()Uxo内 可 导 ， 且

13、极 限00lim ( )0 x xf xf x存在，则f在点0 x左可导，且000lim( )0 xxfxfxfx（ 3）若函数f在点0 x的某邻域)(0 xU内连续，在)(0 xU内可导，极限)(lim0 xfxx不存在，一般不能得到0fx不存在的结论例设函数21sin,0, 0,0.xxfxxx则fx在0U中连续，且在0Uo内可导，112 sincos,0.fxxxxx显然0limxfx不存在，但00f此例说明：导数极限定理中的0limxxfx存在是充分条件不是必要条件9. 若函数f在区间I上可导，则在区间I上的每一点，)(xf有第一类间断点吗？答若函数f在区间I上可导，则在区间I上的每一

14、点，要么是)(xf的连续点, 要么是)(xf的第二类间断点, 即导函数不可能有第一类间断点0 xI，由f在区间I上可导，则f在点0 x处的左右导数存在，并且相等，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 37 页8 000fxfxfx，由此（1）若)(xf在点0 x处的左右极限存在，则根据导数极限定理，)(xf在点0 x处的左右极限相等，即00000fxfxfx， 从而)(xf在点0 x处连续； （2） 若)(xf在点0 x处的左右极限至少有一个不存在，则0 x是)(xf的第二类间断点10 1）fx在,a b上有定义 , 在,a

15、 b内严格递增 （减）, 那么fx在,a b上是否一定严格递增（减）呢？2）若f在, a b上（严格）递增（减） ，且在点a右连续，则f在ba,）上亦为（严格）递增（减） ，对右端点b可类似讨论答： 1）不一定例函数,011,0 xxfxx在0,1有定义，在0,1内严格递增，但在0,1上不是严格递增的2 ） 只 需 证 明xa，fxf a， 这 时 存 在12,x xa b， 满 足12axxx，由f在,a b中的（严格）递增性有12fxfxfx，令1xa，由f在点a的右连续性，112limxafafxfxfx，于是fafx注（1）证f在,a b上严格递增的方法是证0,( , )fxxa b，

16、或0fx，( , )xa b，而0fx的点只有有限个（2）证f在,a b上严格递增，只要证f在,a b上连续，在,a b上严格递增11函数在区间I上可微，若0 xf与f在I上严格递增有什么关系？答 函数在区间I上可微，若0 xff在I上严格递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 37 页9 反例：3fxx在R上严格递增，但23xxf，00f，导数可为0注 若函数f在,a b内可导， 则f在,a b内严格递增 （递减） 的充要条件是：（）对一切),(bax，有0 xf（0 xf） ；（）在,a b内的任何子区间上0 xf12下

17、面是利用拉格朗日中值定理推导柯西中值定理的方法，正确吗？由函数f和g在,ba上连续，在),(ba上可导，满足拉格朗日中值定理的条件，对f和g分别用拉格朗日中值定理得()( )( )( )( )()fbaff bf ag bg agbag答：不正确，错在对f和g分别用拉格朗日中值定理时得到的中值点不一定相同，即应该是1122()( )( )( )( )()fbaff bf ag bg agbag而柯西中值定理的( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a中两个是一样的13 试问罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间有何联系？在应用时各有什么特点？答（1）罗辑推理关系

18、： 罗尔中值定理是借助费马定理经推导而得到的，在此基础上，又推得另两个中植定理，即：拉格朗日中值定理罗尔中值定理费马定理柯西中值定理（2）由证明方法看： 由罗尔中值定理推导拉格朗日中值定理是利用了辅助函数);()()()()()(axabafbfafxfxf由罗尔中值定理推导柯西中值定理是应用了辅助函数)()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 37 页10 反之，在柯西中值定理设xxg)(，就得到拉格朗日中值定理；进一步更设)()(bfaf，又得到罗尔中值定理

19、，所以，若能首先证明柯西中值定理，则另外两个中值定理都是它的特殊情形（3）从应用方面看：（）罗尔中值定理除了在推导另外两个中值定理时所起的关键作用外，在讨论方程0)(xf的根的分布情况也有重要作用（）拉格朗日中值定理在利用导函数的性质讨论函数的单调性方面具有特殊的作用函数的单调性是函数在区间上的整体性质，中值定理中的)(f只是)(xf在某点的局部性质，但因中值点的不明确性，故只能假设在整个区间,a b内)(xf0，并用以推得( )f x在,a b上的递增性质 这里存在着整体局部整体的辩证关系，也就是应用拉格朗日中值定理的实质所在（）柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，后者是利用导数讨论函数f

20、的增量与自变量增量比的性质，而前者是利用导数的比来讨论两个函数f与g的增量比的性质柯西定理的典型应用是讨论00型不定式极限在补充了f与g在点0 x处的函数值0)()(00 xgxf之后，利用)()()()()()()()(00gfxgxgxfxfxgxf（介于0 x与x之间）使函数值之比可以用导数之比来表示，而不定式极限的基本思想就是利用导数之比的极限来替代函数值之比的极限1400fx能说明f在0 x的邻域上递增吗？答 不能，例函数,0, 0,0,1sin2)(2xxxxxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 37 页1

21、1 20001sin001112limlimlimsin00022xxxxxfxfxxxxx所以)(xf在0 x点可导，且(0)0f当0 x时，xxxxf1cos1sin221)(，因此)(xf在0 x的任何邻域内可导，但因为, 023, 021cos211为奇数为偶数nnnnf且n时01n，所以)(xf在0 x的任何邻域内总要变号，故在0 x的任何邻域内)(xf都不单调15设函数f在,ba上可导证明存在( , )a b，使得222( )( )( )f bf abaf证 因为要证明的结果出现两个函数的增量( )( )f bf a，22ba，因此考虑柯西中值定理设2g xx，利用柯西中值定理知存

22、在),(ba，使得22( )( )( )2f bf afba，即存在( , )a b，使得222( )( )( )f bf abaf上述证法正确吗？答： 不对，因为不满足柯西中值定理的条件，2gxx可能为 016应用洛比达法则须注意哪些问题？1) 验证计算的极限是不是不定式极限不是不定式极限不能使用洛比达法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 37 页12 2) 除 计 算00型 与型 两 种 不 定 式 极 限 外 , 计 算 其 他 五 种 不 定 式 型000,1 ,0,，都先要转化为不定型00型或型, 然后再利用洛

23、比达法则3) 洛比达法则的条件为充分条件, 若条件不满足 ( 比如)()(lim0 xgxfxx不存在（非型） )并不能说明)()(lim0 xgxfxx不存在 , 此时计算极限, 就只能用以前所学的有关计算方法4) 应用洛比达法则, 可能会出现)()(lim0 xgxfxx仍是不定式极限, 这时只要定理的条件满足 ,仍可继续用洛比达法则，注意每使用完一次洛必达法则，先要将式子整理化简5) 一般来说 , 应用洛比达法则计算不定式极限都比较简单, 但对少数的不定式极限应用洛比达法则, 并不简单 , 甚至很繁6）为简化运算在每次使用洛必达法则之前进行四化1 看到无穷小因子，等价化； 2看到无理因子

24、，有理化； 3看到幂指函数因子v xu x，对数恒等式化lnv xv xu xu xe； 4看到非零极限因子（极限不为0 的因子），代入化7）当0 x时，极限式中含有11sin,cosxx；当x时，极限式中含有sin,cosxx，不可用洛必达法则 8 ）不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量Nn是无法求导数的17.试问下面的运算正确吗？如有错误，请指出错误，并且给出正确解法（1）xxxxxxcos11limsinlim分析上式等号是错误的,因为x时xcos1的极限不存在（振荡）不能使用洛必达法则当x时，极限式中含有sin ,cosxx，不可用洛必达法则精选学习资料 - - - -

25、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 37 页13 解1011sin11limsinlimxxxxxxx（2）122lim11limlim2222xxxxxxxxxxxeeeeeeee分析第一个等号是正确的，第二个等号是错误的因为本题应考虑x及x两种不同的极限过程，分两种情况考虑221limlim11xxxxxxxxeeeeee,111limlim22xxxxxxxxeeeeee所以当x时极限不存在（3）设2)0(, 0)0()0(ggg，12)0(2)(lim2)(lim)(lim0020gxgxxgxxgxxx分析上式第一个等号是正确的因为当0 x时

26、，0,0)(2xxg，所以2)(xxg是00型未定式又因为2)0(g，在x=0 的某邻域内)(xg存在，可 以 用 洛 必 达 法 则 第 二 个 等 号 是 错 误 的 虽 然0 x时 ，xxgxgx2)(,0)(,02是00未定式，但2)0(g， 仅代表g( )x在点x=0处二阶导数存在而)(xg在x=0 的邻域内是否存在没有说明，不满足洛必达法则中的条件2，故不能用洛必达法则,应该按导数定义计算解1)0(210)0()(lim212)(lim)(lim0020gxgxgxxgxxgxxx（4）01lim)()(lnlimlnlimnnnnnnnn分析上述运算是错误的因为n为自然数，数列的

27、定义域是离散点集，对自变量n而言数列不存在导数，不能直接用洛必达法则计算时，可先将n扩充为连续变量x，写出相应的函数xxln当x时，xxln是型未定式，可以使用洛必达法则求函数的极限，再用归结原则显然，如果函数的极限存在，数列的极限也存在且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 37 页14 等于函数的极限但也需注意，如果函数的极限不存在，数列的极限可能还存在解因01limlnlimxxxxx，所以，当x为正整数时0lnlimnnn（5）求xexxx10)1(lim解1)1(1)1ln(1)1(lim)1 (lim2/1010

28、 xxxxxxexxxxx=)1()1ln()1()1(lim210 xxxxxxxx=)1ln()1(lim)1(lim20110 xxxxxxxx=2211lim0exex分析上述解法是正确的这是00型未定式，可应用洛必达法则；而且为了简化运算，在第二个等号的右端将函数进行了有理运算，在第三个等号右端将其中含有已知极限的因式提出来单独求极限，避免使用洛必达法则时的复杂求导运算，而仅对未定式部分使用法则，这样计算大大简化 18 试问泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有什么不同的特点? 答：从定理的条件看, 泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是函数f在点0 x存在直至n阶导数；而拉格朗日型

29、余项成立则要求函数f在,ba上存在直至n阶的连续导函数，在),(ba内存在)1(n阶导函数；后者所需条件比前者强从余项形式看, 佩亚诺型余项)(0nxxo是以高阶无穷小量的形式给出的, 是一种定性的描述；而拉格朗日型余项是用)1(n阶导数形式给出的, 利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误差可以给出定量的估计从证明方法看,佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的；而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明的从应用方面看,佩亚诺型余项在求极限时用得较多；而拉格朗日型余项在近似计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 37 页15 算估计

30、误差时用得较多在适当加强的条件下, 可由拉格朗日型余项推得佩亚诺型余项的结论, 即: 若函数f在点0 x的某个邻域上存在)1(n阶连续导函数 , 则由泰勒公式的拉格朗日型余项可推导出佩亚诺型余项公式 19. 若函数)(xf在点0 x取极大值 , 是否可断定0 x的充分小邻域中, 函数在点0 x的左侧上升；右侧下降? 答： 不能，, 0,2, 0,1sin22)(2xxxxxf它有极大值.2)0(f由于,0,0,0,1cos1sin22)(xxxxxxf当| x充分小且0 x时，)(xf的符号决定于x1cos的符号，而x1cos在00 x的充分小的领域内，无限次改变正、 负号， 因此)(xf不满

31、足定理610 的条件 由此可见， 若)(xf在点0 x取极大值，则在点0 x的充分小的领域内，)(xf不一定在点0 x左侧上升，右侧下降说明极值的第一充分条件为判定极值的充分条件而非必要条件注 极值的第二充分条件为判定极值的充分条件而非必要条件例如,0,0,0,1sin)(24xxxxxf显然，它有极小值.0)0(f由于02sin1sin4lim)0(,01sinlim)0(2230240 xxxxxfxxxfxx因 此)(xf不满足极值的第二充分条件定理的条件20. 设)(xf为区间I上的连续函数, 且在I上仅有唯一的极值点. 当0()f x为极大（小）值时, 为什么0()f x必为f的最大

32、（小）值? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 37 页16 答用反证法来说明. 设)(xf为区间I上的连续函数, 只有唯一极小值点0 x,而无极大值点. 倘若0()f x不是f的最小值 , 则必定Ix1, 使10()()f xf x, 不妨设10 xx. 因为)(xf是01,xx上的连续函数, 利用连续函数的最大、最小值定理, 存在01*, xxx为f在01,xx上的最大值点. 现证*10 xxx, 这是因为（）10()()fxf x, 故1*xx；( ) 若0*xx, 由于0 x又是f在I上的极小值点, 而点0 x又是

33、f在01, xx上的最大值点 , 因此存在领域0()Ux, 在此邻域内)(xf只能为常数 , 这与0 x为I上仅有的极小值点相矛盾. 于是),(01*xxx, 从而成为f的极大值点, 这与f在I上不存在极大值点的假设又相矛盾. 这样点0 x必为最小值点 . 同理可证点0 x为极大值点而无极小值点的情形. 注I为开、闭区间或无穷区间, 结论同样成立. 上述结论在最大( 小) 值问题中很有用处 . 21. 设f为开区间I内的凸函数，f在I上可导吗？答：不一定可导,如fxx在0 x处不可导，但它是凸函数. 注: f为开区间I内的凸（凹）函数，则f在I内任一点0 x都存在左、 右导数，且f为I内的连续

34、函数22)(,(00 xfx为曲线)(xfy的拐点与0)(0 xf有什么关系？答：1）若f在0 x二阶可导， 则)(,(00 xfx为曲线)(xfy的拐点的必要条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 37 页17 是0)(0 xf2)若0)(0 xf， 则)(,(00 xfx不 一 定 是 曲 线)(xfy的 拐 点 例 如4fxx，212fxx， 有00f 但因为0fx， 所以函数4fxx在点0,0的两侧皆为凸，从而0,0不是4fxx的拐点3）)(,(00 xfx为曲线)(xfy的拐点，)(xfy在0 x的导数不一定存在

35、，例如3xy在0 x的情况三 重点例题1. 已知10021ncccnL, 证明：2012( )0nnp xcc xc xc xL在0,1上至少有一根 . 分析： 证0fx首先我们选择用介值定理，但是在很难找两点使函数值异号0,1，此方法行不通，但此题很容易将0fx转化为0fxgx，22310120121110231nnnncc xc xc xc xc xc xc xnLL且对2310121110231nng xc xc xc xc xnL很容易找两点0,1使1001021nccggcnL，于是对g x用罗尔定理，即可得证. 证令2310121110231nng xc xc xc xc xnL，

36、 则g x在0,1连续，g x在0,1可导，1001021nccggcnL，由罗尔定理知0,1使0g，即0gx在0,1上有根，即2012( )0nnp xcc xc xc xL在0,1上有根.2 设函数)(xf在闭区间0,1上的每个x都有0( )1f x，且( )1fx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 37 页18 证明在0,1内有且仅有一个x，使( )f xx分析将要证的结论写成( )0f xx，利用介值定理可证方程在0,1内至少有一个实根，是否存在第二个实根可用反证法+罗尔定理或单调性证先 证 存 在 性 ， 设)

37、(,)()(xFxxfxF在0,1上 的 连 续 ， 由 于0( )1f x，则,01)1 ()1 (, 0)0()0(fFfF由连续函数的介值定理可知，至少存在一点)1 ,0(1x，使得0)(1xF，即11fxx再证唯一性，用反证法：假设在0,1内除了点1x使11)(xxf之外，还有一点2x也使22fxx不妨设12xx则12F xF x，即F x在12,x x上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使0F，则1f，与( )1fx矛盾， 因此在0,1内有且仅有一个x，使( )f xx小结证明方程只有一个实根或函数在某一区间上只有一个零点，一般需分别证存在性与唯一性存在性的证明往往利用连续函数的介

38、值定理或罗尔定理，而唯一性经常用反证法 +罗尔定理或单调性3.证明：若fx在有限开区间,a b内可导，且limlimxaxbfxfx，则至少存在一点,a b，使0f分析： 证0f我们要联系罗尔定理，但是罗尔定理要求fx在闭区间,a b内连续， 而本题是开区间,a b，怎样把开区间转化为闭区间，必须要端点延拓，即构造辅助函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 37 页19 lim( ),( ),lim( ).xaxbf xxaF xfxxa bfxxb注：以后看到fx在有限开区间,a b内连续，且limlimxaxbfxfx

39、，就可以端点延拓，即构造辅助函数lim( ),( ),lim( ).xaxbf xxaF xfxxa bf xxb证：令lim( ),( ),lim( ).xaxbf xxaF xfxxa bf xxb，则F x在,a b内连续，在,a b内可导，且limlimxaxbF afxfxF b，于是由罗尔定理，至少存在一点,a b，使0F，而在,a b内有F xfx，Fxfx，从而存在一点, a b，使0f4. 设( )f x在( ,)a + ?可导，lim( )lim( )xxaf xf xA+?=， 证明：存在ca，使得( )0fc=分析 ：证0f我们要联系罗尔定理，但是罗尔定理要求fx在闭区

40、间,a b内连续，且罗尔定理关键是寻找两个点1x和2x，使得12()()f xf x=，很显然，必须借助某一个共同的值，使得对应的两点的函数值与其相等，我们知道，使数值和函数值相等的方法途径有连续函数的介值定理，因此，这个数值必须选择恰当，处在两个函数值之间，因此，必须选定一个函数值，再借助所给的极限条件来完成，证明过程就是将上述思想具体化证：设( )f x不为常数， 则存在0 x，使得0()f xA1不妨设0()f xA （注、选定了一个函数值）任取0:()Afxmm， （选定介值）注意到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，

41、共 37 页20 lim( )lim( )xxaf xf xA+?=利用极限的保序性，存在1020( ,),(,)a xxxx挝+ ?，使得0()(),1,2iffx ixm0 时，)()(xgxf因此， 当x0时，)()(xgxf,曲线)(xfy及)(xgy不会相交 ;当x0 时，方程无实根,故方程以 0 为其最大实根（ 2）)4sin(2cossin)(xxxxg为周期T=2的周期函数,它在直线2y及2y间来 回振 动 而xexf2)(，当x时 ，0)(xf， 即曲 线)(xfy以x轴为渐近线，故两曲线)(xfy及)(xgy在)0,(内无限多次相交，所以原方程有无限多个根21若110px及

42、，求证：1)1 (211pppxx分析因中间部分是x的函数，两端是常数且式中出现等号，故可联想到闭区间上的连续函数，在该区间上一定能取得最值，且其函数值介于最小值与最大值之间，若能证明函数ppxx)1 (在区间 0，1上的最小值为121p，最大值为1，那么此不等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 37 页37 式便可得到证明证设ppxxxf)1 ()(，则11)1()(ppxppxxf令0)(xf得驻点21x, 闭区间上的连续函数，其最值只可能在可疑点或端点处取得，将121)21(pf与)0(f=1,)1(f=1 比较， 得121p为函数)(xf在 0，1上的最小值， 1 为函数)(xf在0,1 上的最大值，因此，当110px及时1)1(211pppxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 37 页