2022年随机事件的概率借鉴 .pdf

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1、1 第十一章概率网络体系总览随机事件的概率 互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发生的概率概率 考点目标定位1.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率. 2.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率. 3.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 . 复习方略指南概率是新课程中新增加部分的主要内容之一.这一内容是在学习排列、组合等计数知识之后学习的 ,主要内容为等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率.这一内容从20

2、00 年被列入新课程高考的考试说明. 在 2000,2001,2002,2003,2004 这五年高考中 ,新课程试卷每年都有一道概率解答题,并且这五年的命题趋势是：从分值上看,从 10 分提高到17 分,从题目的位置看,2000 年为第（ 17）题,2001 年为第（ 18）题 ,2002 年为第（ 19）题 ,2003 年为第（ 20）题即题目的位置后移,2004年两题分值增加到17 分.从概率在试卷中的分数比与课时比看,在试卷中的分数比（12150=112.5）是在数学中课时比（约为11330=130）的 2.4 倍.概率试题体现了考试中心提出的 “突出应用能力考查”以及“突出新增加内容

3、的教学价值和应用功能”的指导思想 ,在命题时 ,提高了分值 ,提高了难度 ,并设置了灵活的题目情境,如普法考试、 串联并联系统、 计算机上网、产品合格率等,所以在概率复习中要注意全面复习,加强基础 ,注重应用 . 11.1 随机事件的概率知识梳理1.随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 2.必然事件：在一定条件下必然要发生的事件. 3.不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件. 4.事件 A 的概率： 在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率nm总接近于某个常数,在它附近摆动 ,这时就把这个常数叫做事件A 的概率 ,记作 P（A）.由定义可知0P（A）1,显然必然事件的概率

4、是1,不可能事件的概率是0. 5.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n1.如果某个事件A 包含的结果有m 个 ,那么事件A 的概率 P（A）=nm. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 6.使用公式P（A

5、）=nm计算时 ,确定 m、n 的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式 ,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏 . 点击双基1.（ 2004 年全国 ,文 11）从 1，2， , ， 9 这九个数中，随机抽取3 个不同的数，则这3 个数的和为偶数的概率是A.95B.94C.2111D.2110解析：基本事件总数为C39，设抽取3 个数 ,和为偶数为事件A,则 A 事件数包括两类：抽取 3 个数全为偶数 ,或抽取 3 数中 2 个奇数 1 个偶数 ,前者 C34,后者 C14C25. A 中基本事件数为C34+C14C25. 符合要求的概率为3

6、9251434CCCC= 2111. 答案： C 2.（ 2004 年重庆 ,理 11）某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10 位同学参加 ,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其他班有5 位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的 3 位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2 位同学没有被排在一起的概率为A.101B.201C.401D.1201解析： 10 位同学总参赛次序A1010.一班 3 位同学恰好排在一起,而二班的2 位同学没有排在一起的方法数为先将一班3 人捆在一起A33,与另外 5 人全排列 A66,二班 2 位同学不排在一起,采用插空法A27,即 A33A66

7、A27. 所求概率为1010276633AAAA= 201. 答案： B 3. （2004 年江苏 ,9）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6 的正方体玩具）先后抛掷3 次，至少出现一次6 点向上的概率是A.2165B.21625C.21631D.21691解析：质地均匀的骰子先后抛掷3 次,共有 666 种结果 .3 次均不出现6 点向上的掷法有 5 55 种结果 .由于抛掷的每一种结果都是等可能出现的,所以不出现6 点向上的概率为666555=216125,由对立事件概率公式,知 3 次至少出现一次6 点向上的概率是1216125= 21691. 名师资料

8、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3 答案： D 4.一盒中装有20 个大小相同的弹子球，其中红球10 个，白球 6 个，黄球 4 个，一小孩随手拿出4 个，求至少有3 个红球的概率为_. 解析：恰有3 个红球的概率P1=420110310CCC=32380. 有 4 个红球的概率P2=420410CC=32314. 至少有 3 个红球的概率P=P1+P2=32394. 答案：323945.在两个袋中各装有分别写着0，1，

9、2，3，4，5 的 6 张卡片 .今从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和恰为7 的概率为 _. 解析： P=1616CC4=91. 答案：91典例剖析【例 1】用数字1，2，3，4， 5 组成五位数，求其中恰有4 个相同数字的概率. 解：五位数共有55个等可能的结果.现在求五位数中恰有4 个相同数字的结果数：4 个相同数字的取法有C15种， 另一个不同数字的取法有C14种.而这取出的五个数字共可排出C15个不同的五位数，故恰有4 个相同数字的五位数的结果有C15C14C15个，所求概率P=51514155CCC=1254. 答：其中恰恰有4 个相同数字的概率是1254. 【例 2

10、】 从男女生共36 人的班中， 选出 2 名代表， 每人当选的机会均等.如果选得同性代表的概率是21，求该班中男女生相差几名？解：设男生有x 名，则女生有（36 x）人，选出的2 名代表是同性的概率为P=2362-362CCCxx=21, 即3536) 1(xx+3536)35)(36(xx=21, 解得 x=15 或 21. 所以男女生相差6 人. 【例 3】把 4 个不同的球任意投入4 个不同的盒子内（每盒装球数不限），计算：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页

11、，共 9 页 - - - - - - - - - 4 （1）无空盒的概率；（2）恰有一个空盒的概率. 解： 4 个球任意投入4 个不同的盒子内有44种等可能的结果. （1）其中无空盒的结果有A44种，所求概率P=4444A=323. 答：无空盒的概率是323. （2） 先求恰有一空盒的结果数：选定一个空盒有C14种，选两个球放入一盒有C24A13种，其余两球放入两盒有A22种.故恰有一个空盒的结果数为C14C24A13A22,所求概率P（A）=4221324144AACC=169. 答：恰有一个空盒的概率是169. 深化拓展把 n+1 个不同的球投入n 个不同的盒子（nN*）.求：（1）无空盒

12、的概率； （2）恰有一空盒的概率. 解： （1）121ACnnnnn. （2）111222121311A)ACCC(Cnnnnnnnn. 【例 4】某人有 5把钥匙， 一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把.于是，他逐把不重复地试开，问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（2）三次内打开的概率是多少？（3）如果 5 把内有 2 把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？解： 5 把钥匙，逐把试开有A55种等可能的结果. （1）第三次打开房门的结果有A44种，因此第三次打开房门的概率P（A）=5544AA=51. （2）三次内打开房门的结果有3A44种，因此，所求概率P（A）=5544AA

13、3=53. （3）方法一：因5 把内有 2 把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A33A22种，从而三名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 次内打开的结果有A55A33A22种，所求概率P（A）=55223355AAAA=109. 方法二： 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有C12A13A12A33种；三次内恰有 2 次打开的结果有A23A33种 .因此，三次内打开的结果有C12A13A12A33+A2

14、3A33种，所求概率P（A）=55332333121312AAAAAAC=109. 特别提示1.在上例（ 1） 中,读者如何解释下列两种解法的意义.P （A） =3524AA=51或 P （A） =544331= 51. 2.仿照 1 中,你能解例题中的（2）吗 ? 闯关训练夯实基础1.从分别写有A、B、C、D、E 的 5 张卡片中，任取2 张，这 2 张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为A. 51B.52C.103D.107解析： P=25C4=52. 答案： B 2.（2004 年湖北模拟题） 甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有 12 个不同的题目,其中选择题 8 个,判断题 4 个.甲、乙

15、二人各依次抽一题,则甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是A.256B.2521C.338D.3325解析：甲、乙二人依次抽一题有C112C111种方法 , 而甲抽到判断题,乙抽到选择题的方法有C14C18种. P=1111121814CCCC=338. 答案： C 3.（ 2004 年全国 ,理 11）从数字1、2、3、4、5 中，随机抽取3 个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9 的概率为A.12513B.12516C.12518D.12519名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

16、- - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6 解析：从数字1、2、3、4、5 中，允许重复地随机抽取3 个数字，这三个数字和为9的情况为5、2、 2；5、3、1； 4、3、2；4、4、1；3、3、3. 概率为32333332351CAAC=12519. 答案： D 4.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇.若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是_.（结果用分数表示）解析：总的排法有A88种. 最先和最后排试点学校的排法有A25A66种. 概率为886625AAA=145. 答案：1455.甲、乙二人

17、参加普法知识竞答，共有10 个不同的题目，其中选择题6 个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题. （1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？分析： （1）是等可能性事件，求基本事件总数和A 包含的基本事件数即可.（2）分类或间接法，先求出对立事件的概率. 解：（1） 基本事件总数甲、 乙依次抽一题有C110C19种， 事件 A 包含的基本事件数为C16C14，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为191101416CCCC=154. （2）A 包含的基本事件总数分三类：甲抽到选择题,乙抽到判断题有C16C14；甲抽到选择题,乙也抽到选择题有

18、C16C15; 甲抽到判断题,乙抽到选择题有C14C16. 共 C16C14+C16C15+C14C16. 基本事件总数C110C19，甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为19110161415161416CCCCCCCC=1513或 P（ A ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7 =191101314CCCC=152，P（A）=1P（ A ）=1513. 6.把编号为1 到 6 的六个小球，平均分到三个不同

19、的盒子内，求：（1）每盒各有一个奇数号球的概率；（2）有一盒全是偶数号球的概率. 解： 6 个球平均分入三盒有C26C24C22种等可能的结果. （1）每盒各有一个奇数号球的结果有A33A33种，所求概率P（A）=2224463333CCCAA=52. （2）有一盒全是偶数号球的结果有（C23C13） C24C22，所求概率 P（A）=22242622241323CCCCC)C(C=53. 培养能力7.（2004 年全国 ,18）已知 8 支球队中有3 支弱队，以抽签方式将这8 支球队分为A、B 两组，每组4 支.求：（1）A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（2）A 组中至少有两支弱队的

20、概率. （1）解法一：三支弱队在同一组的概率为4815CC+4815CC=71，故有一组恰有两支弱队的概率为171=76. 解法二：有一组恰有两支弱队的概率为482523CCC+482523CCC=76. （2）解法一： A 组中至少有两支弱队的概率为482523CCC+481533CCC=21. 解法二： A、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和 B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为21. 8.从 1， 2,10 这 10 个数字中有放回地抽取3 次，每次抽取一个数字，试求3 次抽取中最小数为3 的概率 . 解：有放回地抽取3 次共有

21、 103个结果，因最小数为3 又可分为：恰有一个3，恰有两个 3，恰有三个3.故最小数为3 的结果有C13 72+C237+C33, 所求概率 P（A）=3332321310C7C7C=0.169. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8 答：最小数为3 的概率为 0.169. 探究创新9.有点难度哟！将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a、b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数. （1）若点 P（a,b）落在不等式组

22、4,0,0yxyx表示的平面区域的事件记为A,求事件 A 的概率 ; （2）若点 P（a,b）落在直线x+y=m（ m 为常数）上 ,且使此事件的概率最大,求 m 的值 . 解： （1）基本事件总数为66=36. yxO44332211当 a=1 时,b=1,2,3; 当 a=2 时,b=1,2; 当 a=3 时,b=1. 共有（ 1,1） ,（1,2） ,（1,3） ,（2,1） ,（2,2）,（3,1）6 个点落在条件区域内, P（ A）=366=61. （2）当 m=7 时,（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共有 6 种,此时 P=366= 61最大

23、. 思悟小结求解等可能性事件A 的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A. （2）再确定所研究的事件A 是什么 ,事件 A 包括结果有多少,即求出 m. （3）应用等可能性事件概率公式P=nm计算 . 教师下载中心教学点睛1.一个随机事件的发生既有随机性（对单次试验） ,又存在着统计规律 （对大量重复试验） ,这是偶然性和必然性的对立统一. 2.随机事件 A 的概率 P（A）满足 0P（A）1. （3）P（A）=nm既是等可能性事件的概率的定义,又是计算这种概率的基本方法. 拓展题例【例 1】 某油漆公司发出10 桶油漆， 其中白漆 5 桶，

24、黑漆 3 桶，红漆 2桶.在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，问一个定货3 桶白漆、 2 桶黑漆和 1 桶红漆的顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 解： P（A）=610122335CCCC=72. 答：顾客按所定的颜色得到定货的概率是72. 【例 2】 一个口袋里共有2 个红球和8 个黄球，从中随机地接连取3 个球，每次取一个.设恰有一个红球 = A，第三个球是红球= B.求在下列条件下事件A、B 的概率 . （1）不返回抽样；（2）返回抽样 . 解： （1）不返回抽样, P（A）=310281312AACC=157,P（B）=3102912AAC= 51. （2）返回抽样 , P（A）=C13102（108）2=12548,P（B）=32121010C= 51. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -