2022年高考数学一轮复习知识点归纳与总结：变量间的相关关系与统计案例 .pdf

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1、第三节变量间的相关关系与统计案例备考方向要明了 考 什 么怎 么 考1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程3.了解独立性检验(只要求 22 列联表 )的基本思想、方法及其简单应用4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 高考对本节内容的考查主要是线性回归分析和独立性检验的统计分析方法，三种题型都有可能出现，难度中档，如20XX 年湖南T4，辽宁 T19 等. 归纳 知识整合 1两个变量的线性相关(1)正相关：在散点图中， 点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为

2、正相关(2)负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线探究 相关关系和函数关系有何异同点？提示： (1)相同点：两者均是指两个变量的关系(2)不同点：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系2回归方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

3、 - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - (1)最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法(2)回归方程：方程 y bxa是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)， (xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数bi1nxi xyi yi1nxi x2i1nxiyin xyi1nx2in x2，a ybx.3残差分析(1)残差： 对于样本点 (x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，它们的随机误差为eiyibxia，i1,2， n，其估计值为eiyiyiyibxia，i1,2， n，ei称

4、为相应于点(xi，yi)的残差(2)相关指数R21i1nyiyi2i1nyi y2， R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好； R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于 1，表示回归的效果越好4独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量X 和 Y，它们的可能取值分别为x1，x2 和 y1，y2 ，其样本频数列联表(称为 22 列联表 )为22 列联表：y1y2总计x1a b abx2c d

5、cd总计ac bd abcdK2n adbc2ab ac bd cd(其中nabcd 为样本容量 )，则利用独立性检验判断表来判断“ X 与 Y 的关系”名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 自测 牛刀小试 1下列结论正确的是() 函数关系是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系；回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法ABCD解析：

6、选 C由回归分析的方法及概念判断2 已知 x，y 的取值如下表， 从散点图可以看出y 与 x 线性相关， 且回归方程为y0.95xa，则 a() x 0134 y 2.24.34.86.7 A.3.25 B2.6 C2.2 D0 解析： 选 Bx 2， y 4.5，因为回归方程经过点( x ， y )，所以a4.50.9522.6. 3工人月工资y(元)关于劳动生产率x(千元)的回归方程为y65080 x，下列说法中正确的个数是 () 劳动生产率为1 000 元时，工资为730 元；劳动生产率提高1 000 元，则工资提高80 元；劳动生产率提高1 000 元，则工资提高730 元；当月工资为

7、810 元时，劳动生产率约为2 000 元A1 B2 C3 D4 解析： 选 C将数据代入方程计算可判断正确4一位母亲记录了自己儿子39 岁的身高数据 (略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为 y7.19x73.93，用这个模型预测这个孩子10 岁时的身高，则正确的叙述是() A身高一定是145.83 cm B身高在145.83 cm 以上C身高在145.83 cm 左右D身高在145.83 cm 以下名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - -

8、- - - - - - 解析： 选 C用回归模型 y7.19x73.93，只能作预测，其结果不一定是一个确定值5在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是() A若 K2的观测值为k6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100 个吸烟的人中必有99 人患有肺病B从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有 99%的可能患有肺病C若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D以上三种说法都不正确解析： 选 C根据独立性检验的思想知相关关系的判断例 1在某地区的 1230岁居民中随机抽

9、取了10个人的身高和体重的统计资料如表：身高 (cm)143156159172165 体重(kg)4149617968 身高 (cm)171177161164160 体重(kg)6974696854 根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系自主解答 以 x 轴表示身高， y 轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关利用散点图判断相关关系的技巧(1)在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量间的关系，即变量之间具有函数关系(2)如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系名师资料总结

10、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系1变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量 U与 V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)r1表示变量Y 与 X 之间的线性相关系数，r2表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则(

11、) Ar2r10B0r2r1Cr20r1Dr2r1解析： 选 C对于变量 Y与 X 而言， Y 随 X 的增大而增大，故Y与 X 正相关，即r10；对于变量 V 与 U 而言， V 随 U 的增大而减小，故V 与 U 负相关，即r20，所以有r206.635. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 有 99%的把握认为 “两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”1 种求法 相关关系的判定和线性回归方程的求法(1)函数

12、关系一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况(2)如果两个变量不具有线性相关关系，即使求出回归直线方程也毫无意义，而且用其进行估计和预测也是不可信的(3)回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体样本的取值范围一般不超过回归直线方程的适用范围，否则就没有实用价值1 个难点 独立性检验思想的理解独立性检验的思想类似于反证法，即要确定“两个变量X 和 Y 有关系”这一结论成立的可信度， 首先假设结论不成立，即它们之间没关系，也就是它们是相互独立的，利用概率的乘法公式可推知，(adbc)接近于零，也就是随机变量K2n adbc2ab cdacbd应该很小，如果计算出的K2的观测值 k 不是

13、很小，通过查表P(K2k0)的概率很小又根据小概率事件不可能发生，由此判断假设不成立，从而可以肯定地断言X 与 Y 之间有关系 . 答题模板 概率与统计的综合问题典例 (2012 辽宁高考改编 满分 12 分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查，其中女性有55 名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有 10 名女性(1)根据已知条件完成下面的22 列联表， 并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？名师资料总结 - -

14、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于50 分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2 名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2 人，求至少有1 名女性观众的概率附 K2n adbc2ab cdacbd，P(K2k)0.050.01 k 3.8416.635 快速规范审题 第(1)问1审条件，挖解题信息观察条件 ：100 名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间

15、不低于40 分钟的观众称为体育迷，女体育迷10 名 借助直方图可确定非体育迷及体育迷人数2审结论，明确解题方向观察所求结论： 完成 22 列联表并判断“体育迷”与性别的相关性需要确定 a，b，c，d 及 K2的值3建联系，找解题突破口由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数完成列联表 计算 K2可判断结论第(2)问1审条件，挖解题信息观察条件 ： 确定“超级体育迷”标准且有2 名女性“超级体育迷” 由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数2审结论，明确解题方向观察结论：从“超级体育迷”中任取2 人求至少有1 名女性观众的概率 分类分析1名女性观众或两名女性观众3建联系，找解题突破口由频率分布直方

16、图确定“超级体育迷”的人数列举法列举出所有基本事件并计数为n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 和至少有1 名女性的基本事件，计数为mmPn代入求概率准确规范答题 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100 人中， “体育迷 ”有 25 人，从而完成22列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545 女451055 合计7525100 ?(3 分) 将 22 列联表中的数据代入公式计算，得K2100 3010451

17、5275254555100333.030.因为 3.0303.841， 所以我们没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关?(6 分) (2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5 人，从而一切可能结果所组成的基本事件为(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，其中 ai表示男性， i1,2,3，bj表示女性， j1,2.?(9 分) 由 10 个基本事件组成， 而且这些基本事件的出现是等可能的用 A 表示“任选 2 人中，至少有1 人是女性 ”这一事件，则 A 为(a1，

18、b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，?(11 分) 由 7 个基本事件组成，因而P(A)710.?(12 分) 答题模板速成 解决概率与统计的综合问题的一般步骤：第一步?第二?第三?第四?第五步?第六步忽视直方图纵轴表示为频率组距导致每组人数计算失误. K2的计算不准确、导致结果判断出错 . 1.“超级体育迷”人数计算错误导致失误2由 5 人中任取2 人列举出所有可能结果时重复或遗漏某一情况导致失误名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

19、 - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 步步步理清题意， 理解问题中的条件和结论 尤其是直方图中给定的信息， 找关键量由直方图确定所需的数据，列出22列联表利用独立性检验的步骤进行判断确定基本事件总数及所求事件所含基本事件的个数利用概率公式求事件的概率反思回顾、检查关键点易错点及答题规范一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题5 分，共 30 分) 1下列关系中，是相关关系的为() 学生的学习态度与学习成绩之间的关系；教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系ABCD

20、解析：选 A中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性是相关关系教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系都不具备相关关系2(2012 新课标全国卷 )在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等 )的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2， n)都在直线y12x1 上，则这组样本数据的样本相关系数为() A 1 B0 C.12D1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 -

21、 - - - - - - - - 解析：选 D因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1. 3 已知回归直线的斜率的估计值为1.23， 样本点的中心为(4,5)， 则回归直线方程为() A.y1.23x4 B.y1.23x5 C.y1.23x0.08 D.y0.08x1.23 解析： 选 C因回归直线方程必过样本点的中心( x ， y )，将点 (4,5)代入 A、B、C 检验可知4为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5 对父子的身高数据如下：父亲身高 x(cm)174176176176178 儿子身高 y(cm)175175176177177 则 y 对 x 的

22、线性回归方程为() Ayx1 Byx1 Cy8812xDy176 解析： 选 C设 y 对 x 的线性回归方程为ybxa，因为 b2 1 0 1 000121222212，a1761217688，所以 y 对 x 的线性回归方程为y12x88. 5有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：冷漠不冷漠总计多看电视6842110 少看电视203858 总计8880168 则大约有多大的把握认为多看电视与人变冷漠有关系() A99% B97.5% C95% D90% 解析： 选 A可计算 K211.3776.635. 6通过随机询问110 名性别不同的行人，对过马路是愿

23、意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：男女总计名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 走天桥402060 走斑马线203050 总计6050110 由 K2n adbc2ab cdacbd，算得 K2110 403020202605060507.8. 附表：P(K2k)0.0500.0100.001 k 3.8416.63510.828 对照附表，得到的正确结论是() A有 99%以上的把握认为

24、“选择过马路的方式与性别有关”B有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”解析：选 AK2110 403020202605060507.86.635，有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”二、填空题 (本大题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分) 7经调查某地若干户家庭的年收入x(万元 )和年饮食支出y(万元 )具有线性相关关系，并得到 y 关于 x 的线性回归直线方程：y0.245x0.321，由回归直线方程可知，家

25、庭年收入每增加1 万元，年饮食支出平均增加_万元解析： x 变为 x1，y0.245(x1)0.3210.245x0.3210.245，因此家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加0.245 万元答案： 0.245 8为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间x(单位：小时 )与当天投篮命中率y 之间的关系：时间 x 12345 命中率 y 0.40.50.60.60.4 小李这5 天的平均投篮命中率为_；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打 6 小时篮球的投篮命中率为_名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

26、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - 解析：平均命中率y 15(0.40.50.60.60.4)0.5； 而 x 3，i15(xi x )(yi y )(2)( 0.1)(1)000.110.12(0.1)0.1，i15(xi x )2(2)2(1)202122210，于是 b0.01，a y bx 0.47，故y0.01x0.47，令 x6，得y0.53. 答案： 0.50.53 9为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50 名学生， 得到如

27、下 22列联表：理科文科男1310 女720 已知 P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025. 根据表中数据，得到K250 13201072232720304.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为_解析： k4.844，这表明小概率事件发生根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%. 答案： 5% 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题12 分，共 36 分) 10已知 x，y 的一组数据如下表：x 13678 y 12345 (1)从 x，y 中各取一个数，求xy10 的概率；(2)对于表中数据，甲

28、、乙两同学给出的拟合直线分别为y13x1 与 y12x12，试利用“最小平方法 (也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好解：(1)从 x，y 中各取一个数组成数对(x，y)，共有 25 对，其中满足 xy10 的有 (6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4) ，(8,5)，共 9 对故所求概率P925. (2)用 y13x1 作为拟合直线时，所得y 值与 y 的实际值的差的平方和为S14312名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

29、- - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - (22)2(33)2103421135273. 用 y12x12作为拟合直线时，所得y 值与 y 的实际值的差的平方和为S2(11)2(22)27232(44)2925212. S2s2物理，该生的物理成绩更稳定(2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系， bi17xiyi7 xyi17x2i7 x24979940.5，a ybx1000.510050. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页

30、，共 20 页 - - - - - - - - - 线性回归方程为 y0.5x50.当 y115 时， x130. 建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，这将有助于物理成绩的进一步提高12有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85 分为优秀， 85 分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表. 优秀非优秀总计甲班10 乙班30 合计105 已知从全部105 人中随机抽取1 人为优秀的概率为27. (1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10 名学生从2

31、到 11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号试求抽到6号或 10 号的概率附： K2n adbc2ab cdacbd，P(K2k)0.050.01 k 3.8416.635 解： (1)优秀非优秀总计甲班104555 乙班203050 合计3075105 (2)根据列联表中的数据，得到K2105 103020452555030756.1093.841，因此有 95%的把握认为 “成绩与班级有关系”(3)设“抽到 6 号或 10 号”为事件 A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为 (x，y)，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3) 、(6,6)

32、，共 36 个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 事件 A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共 8 个，P(A)83629. 1观察下列各图形：其中两个变量x、y 具有相关关系的图是() ABCD解析：选 C相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线 )附近波动，是非线性

33、相关是不相关的，而是相关的2考察黄烟经过培养液处理是否跟发生青花病有关系调查了457 株黄烟，得到下表中数据：培养液处理未处理合计青花病25210235 无青花病80142222 合计105352457 根据表中数据可知K2() A40.682 B31.64 C45.331 D41.61 解析： 选 D代入 K2公式得 K241.61. 3某电脑公司有6 名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：推销员编号12345 工作年限 x/年35679 推销金额 y/万元23345 (1)以工作年限为自变量x，推销金额为因变量y，作出散点图；(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程

34、；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - (3)若第 6 名推销员的工作年限为11 年，试估计他的年推销金额解： (1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为ybxa. 则bi15xi xyi yi15xi x210200.5，a y bx0.4，年推销金额 y 关于工作年限x 的线性回归方程为y0.5x0.4. (3)由(2)可知，当 x11 时，y0.

35、5x0.40.5110.45.9(万元)可以估计第 6 名推销员的年推销金额为5.9 万元4冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示：杂质高杂质低旧设备37121 新设备22202 根据以上数据试判断含杂质的高低与设备改造有无关系？解： 由已知数据得到如下22 列联表：杂质高杂质低合计旧设备37121158 新设备22202224 合计59323382 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 由公式 K2382 372021212221582245932313.11，由于 13.1110.828，故有 99.9%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -