mathematics第5讲.ppt

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1、2/505.1 自定义函数自定义函数5.2 函数的应用函数的应用3/505.1 自定义函数 前面几章所介绍的各种函数都是在前面几章所介绍的各种函数都是在Mathenatiea系系统中给好定义、明确功能，提供给用户直接调用的。统中给好定义、明确功能，提供给用户直接调用的。 但在实际问题中还有许多函数因为用户特殊需要，但在实际问题中还有许多函数因为用户特殊需要，而系统中没有定义，在这种情况下需要由用户自己来而系统中没有定义，在这种情况下需要由用户自己来给出定义，以供后面使用的方便，这就是下面要介绍给出定义，以供后面使用的方便，这就是下面要介绍的自定义函数。的自定义函数。4/505.1.1 自定义一

2、元函数自定义一元函数5.1.2 自定义多元函数自定义多元函数5.1.3 自定义函数的保存与重新调出自定义函数的保存与重新调出5/505.1.1 自定义一元函数自定义一元函数 自定义一元函数方法如下：自定义一元函数方法如下：f x_ := 自选表达式自选表达式 例如例如fx_ := 2x + 3等，如果将此式同数学中常用的等，如果将此式同数学中常用的函数定义符号函数定义符号f(x)=2x+3相比较，容易看到二者间的差相比较，容易看到二者间的差别。别。 按照按照Mathematica的规定，应该将圆括号换为专用的规定，应该将圆括号换为专用于函数的方括号，即于函数的方括号，即fx=2*x+3。 于是

3、二者间的主要差别有二于是二者间的主要差别有二: 一是自变量一是自变量“x_”与与“x”的差别，的差别， 二是定义符二是定义符“:=”与与“=”的差别。的差别。6/505.1.1 自定义一元函数自定义一元函数 (1) 先看，先看，x_与与x功能上的差别功能上的差别【例【例1-1】fx_:= 2 x + 3b;fxfyfbf1, 2, 37/505.1.1 自定义一元函数自定义一元函数 (1) 先看，先看，x_与与x功能上的差别功能上的差别【例【例1-1】gx:= 2x + 3b;gxgy无定义，找不到与右端表达式相匹配的无定义，找不到与右端表达式相匹配的y，原样输出，原样输出gbg1, 2, 3

4、8/505.1.1 自定义一元函数自定义一元函数 (1) 先看，先看，x_与与x功能上的差别功能上的差别 上面例子说明：上面例子说明： 自定义函数符号自定义函数符号fx_ := 2x + 3b中的中的x_(在在x后面后面必须紧跟着加一个下划线必须紧跟着加一个下划线)同数学函数符号同数学函数符号f(x)中中x的功的功能基本上一样，都是起着自变量的作用，能基本上一样，都是起着自变量的作用， 在在Mathemtica里将里将x_称为规则变量或模式变量，称为规则变量或模式变量， 而而fx中的中的x类似于数学里的一个常量，即类似于数学里的一个常量，即fx只代只代表表fx_在某一点的值。在某一点的值。9/

5、505.1.1 自定义一元函数自定义一元函数 (1) 先看，先看，x_与与x功能上的差别功能上的差别 上面例子说明：上面例子说明： fx_ := 2x + 3b中模式变量中模式变量x_代表着一类重要的代表着一类重要的实体，它不仅可以取实数，还可以取向量和矩阵，以实体，它不仅可以取实数，还可以取向量和矩阵，以及由及由f所规定的同右端表达式中与所规定的同右端表达式中与x_相匹配的任何结构相匹配的任何结构的量。的量。10/505.1.1 自定义一元函数自定义一元函数 (2) 再看再看“=”与与“:=”功能上的差别功能上的差别 差别是：前者为立即赋值，差别是：前者为立即赋值， 后者为延时赋值后者为延时

6、赋值 亦即使用亦即使用“=”号时，右边表达式在定义时被立即赋号时，右边表达式在定义时被立即赋值，而使用值，而使用“:=”号时，右边的表达式在定义时暂不号时，右边的表达式在定义时暂不赋值，直到被调用时才被赋值。赋值，直到被调用时才被赋值。 请看下面的例子：请看下面的例子：11/505.1.1 自定义一元函数自定义一元函数 (2) 再看再看“=”与与“:=”功能上的差别功能上的差别 请看下面的例子：请看下面的例子：【例【例1-2】Clearf, g;x = 2;fx_ = x2;gx_ := x2;f3g312/505.1.1 自定义一元函数自定义一元函数 (2) 再看再看“=”与与“:=”功能上

7、的差别功能上的差别 上面例子说明，上面例子说明，fx_ = x2在定义时便被赋值在定义时便被赋值x = 2，在调用它时，在调用它时，f3中的值已是中的值已是22了，了， 而而gx_ := x2在定义时暂时不赋值，直到调用在定义时暂时不赋值，直到调用g3时才被赋值时才被赋值g3 = 32。 在使用自定义函数时，要特别注意到它与数学中已在使用自定义函数时，要特别注意到它与数学中已经习惯使用的函数符号经习惯使用的函数符号f(x)在这两点上的不同，以避在这两点上的不同，以避免一些不必要错误的发生。免一些不必要错误的发生。13/505.1.1 自定义一元函数自定义一元函数 (2) 再看再看“=”与与“:

8、=”功能上的差别功能上的差别 例中设置开头语句例中设置开头语句Clearf, g，是为了清除掉前面，是为了清除掉前面对对f与与g的所有定义，否则容易引起同例的所有定义，否则容易引起同例1中中f，g的混淆，的混淆，常用的清除函数有：常用的清除函数有：fx_ :=.清除清除fx_的定义的定义Clearf清除清除f的所有定义的所有定义14/505.1.1 自定义一元函数自定义一元函数说明说明:(1) x_的使用使的使用使x可作自变量：若可作自变量：若fx=3+x，则，则fx与与fy不同不同(2) :=为延时赋值，每次调用时才计算，大多数情况下为延时赋值，每次调用时才计算，大多数情况下与赋值与赋值=产

9、生相同的结果，但有时必须使用。产生相同的结果，但有时必须使用。例如，定义递归函数必须使用延时赋值：例如，定义递归函数必须使用延时赋值：f0 = 1;fn_ := n fn - 1;f715/505.1.1 自定义一元函数自定义一元函数说明说明:分段函数定义也必须使用延时赋值：分段函数定义也必须使用延时赋值：fx_ := Whichx 5, x3,True, 0(3) =较快，较快，:=较慢较慢 其他其他05032xxxxy16/50上一讲中铁路托运行李问题，可以编写代码如下：上一讲中铁路托运行李问题，可以编写代码如下：fw_ : = Ifw = 50, 0.25 w, Ifw 10(-6),

10、x = x0; x0 = x - fx/fx; PrintNumberFormx0, 9)( )(1nnnnxfxfxx输入输入0次近似值次近似值x0与允许误差限与允许误差限eps当当|x0 - x| epsx x0 x0 x f(x)/f (x)输出近似值输出近似值x018/505.1.2 自定义多元函数自定义多元函数 自定义二元函数的一般形式是自定义二元函数的一般形式是fu_，v_ := 自选表达式自选表达式 如在第如在第2章的参数式绘图中，绘制螺旋面时我们曾章的参数式绘图中，绘制螺旋面时我们曾引入了引入了xu_, v_ := u*Cosv; yu_, v_ := u*Sinv; zu_,

11、 v_ := a*u + b*v; 共有共有3个自定义二元函数。这为我们绘制参数曲线个自定义二元函数。这为我们绘制参数曲线面提供了很大的方便。类似的还可以定义三元、四元面提供了很大的方便。类似的还可以定义三元、四元以及更多元的自定义函数。以及更多元的自定义函数。19/505.1.2 自定义多元函数自定义多元函数 自定义二元函数的一般形式是自定义二元函数的一般形式是fu_，v_ := 自选表达式自选表达式例如例如ha_, k_, x_ := a*Exp -k2*x2 带参数的概率函数带参数的概率函数sa_, b_, c_, x_ := a*Sinb*x + c带参数的简谐运动函数带参数的简谐运动

12、函数20/505.1.3 自定义函数的保存与重新调出自定义函数的保存与重新调出 已经自定义好的函数，如果希望以后多次使用，这已经自定义好的函数，如果希望以后多次使用，这就需要妥善保存与重新调出，保存的方法如下：就需要妥善保存与重新调出，保存的方法如下：Save“文件名文件名”，自定义函数名序列，自定义函数名序列f，g，h，【例【例1-3】将函数保存到文件】将函数保存到文件file1中。中。fx_ := 1/(1+x2);Savefile1, f 如果还有新的函数想要追加到文件如果还有新的函数想要追加到文件file1中，可以中，可以gu_, v_ := u2 + v2;ha_, x_, y_ :

13、= a*Exp -(x2 + y2);Savefile1, g, h21/505.1.3 自定义函数的保存与重新调出自定义函数的保存与重新调出 已经自定义好的函数，如果希望以后多次使用，这已经自定义好的函数，如果希望以后多次使用，这就需要妥善保存与重新调出，保存的方法如下：就需要妥善保存与重新调出，保存的方法如下：Save“文件名文件名”，自定义函数名序列，自定义函数名序列f，g，h，【例【例1-3】将函数保存到文件】将函数保存到文件file1中。中。fx_ := 1/(1+x2);Savefile1, f 如果想要查看一下文件如果想要查看一下文件file1中的内容，有中的内容，有!file1

14、22/505.1.3 自定义函数的保存与重新调出自定义函数的保存与重新调出 保存在文件保存在文件filel中名为中名为f，g，h的函数如果要重新调的函数如果要重新调用，方法如下：用，方法如下： 首先进入首先进入Mathematica，然后调出，然后调出file1文件，便可文件，便可直接使用文件中的函数了。直接使用文件中的函数了。 例如，计算例如，计算f1 + g1, 2的值有：的值有：(Abs#l-#2”号定义的变换规则中，号定义的变换规则中，还可附加条件，它们定义的形式如下：还可附加条件，它们定义的形式如下：模式模式 := 表达式；条件；表达式；条件；模式模式 : 表达式；条件表达式；条件其

15、中；是附加条件用的操作符。其中；是附加条件用的操作符。【例【例2-1】利用带条件的规则定义阶乘函数】利用带条件的规则定义阶乘函数f(n) = n!。f0 = 1;fn_ := n*fn 1 /; IntegerQn & n 039/505.2.2 变换规则变换规则3. 带有条件的规则带有条件的规则 它们定义的形式如下：它们定义的形式如下：模式模式 := 表达式；条件；表达式；条件；模式模式 : 表达式；条件表达式；条件其中；是附加条件用的操作符。其中；是附加条件用的操作符。【例【例2-1】利用带条件的规则定义阶乘函数】利用带条件的规则定义阶乘函数f(n) = n!。f0 = 1;fn_ :=

16、n*fn 1 /; IntegerQn & n 040/505.2.2 变换规则变换规则3. 带有条件的规则带有条件的规则它们定义的形式如下：它们定义的形式如下：模式模式 := 表达式；条件；表达式；条件；模式模式 : 表达式；条件表达式；条件其中；是附加条件用的操作符。其中；是附加条件用的操作符。【例【例2-1】利用带条件的规则定义阶乘函数】利用带条件的规则定义阶乘函数f(n) = n!。f0 = 1;fn_ := n*fn 1 /; IntegerQn & n 0其中附加条件的内容是当其中附加条件的内容是当n为整数时其值为真；否则为整数时其值为真；否则为假，同时还要求为假，同时还要求n 0

17、。41/505.2.2 变换规则变换规则3. 带有条件的规则带有条件的规则【例【例2-2】利用带条件的规则定义分段函数】利用带条件的规则定义分段函数gx_ := 1 + x/; -1= x 2;gx_ := 5 x/; 2 = x = 5;gx_ := 0 /; x 5; 这样定义的规则除了模式与对象表达式必须匹配以这样定义的规则除了模式与对象表达式必须匹配以外，同时还要求附加条件也要满足，执行的结果才能外，同时还要求附加条件也要满足，执行的结果才能正确。正确。 其他其他, 052,521,1)(xxxxxg42/505.2.3 函数运算与算子函数运算与算子 在数学中算子是完成特定计算或者操作

18、的函数，从在数学中算子是完成特定计算或者操作的函数，从广义的角度来说，可以将函数看成算子，比如数学上广义的角度来说，可以将函数看成算子，比如数学上常用的拉普拉斯算子，其实就是完成相应操作的函数。常用的拉普拉斯算子，其实就是完成相应操作的函数。 对于函数对于函数fx，完全可以看成是对对象，完全可以看成是对对象x施以算子施以算子f定定义的算子运算。义的算子运算。 将函数看成算子，将函数看成算子，Mathematica系统提供了对算子系统提供了对算子进行运算的运算函数，也就是以函数为变量的函数。进行运算的运算函数，也就是以函数为变量的函数。43/507.2.3 函数运算与算子函数运算与算子 对于函数

19、对于函数fx，完全可以看成是对对象，完全可以看成是对对象x施以算子施以算子f定定义的算子运算。义的算子运算。 将函数看成算子，将函数看成算子，Mathematica系统提供了对算子系统提供了对算子进行运算的运算函数，也就是以函数为变量的函数。进行运算的运算函数，也就是以函数为变量的函数。 下表列出了几个常用的进行函数运算的函数。下表列出了几个常用的进行函数运算的函数。函数名称函数名称意义意义CompositionfCompositionf，g g， 函数函数f f，g g的复合函数的复合函数InverseFunctionfInverseFunctionf函数的反函数函数的反函数Identity

20、Identity单位函数单位函数44/507.2.3 函数运算与算子函数运算与算子 下面的例子是求函数下面的例子是求函数Sin、Cos和和Tan的复合函数的复合函数sin(cos(tan(x)，并对该复合函数求反函数：，并对该复合函数求反函数：sct = CompositionSin, Cos, TanInverseFunctionsct 对该复合函数算子给定变量，可以得到函数值：对该复合函数算子给定变量，可以得到函数值：%1sct145/507.2.3 函数运算与算子函数运算与算子 Mathematica系统不能自动地将某个算子作用于表系统不能自动地将某个算子作用于表达式，但总是可以借助于一

21、些函数的使用来完成这样达式，但总是可以借助于一些函数的使用来完成这样的要求。下表列出了关于算子的一些运算函数。的要求。下表列出了关于算子的一些运算函数。常用算子运算函数常用算子运算函数函数名称函数名称意义意义IdentityIdentity单位函数单位函数Throughpf1, f2xThroughpf1, f2x给出给出pf1xpf1x，f2xf2xOperatepOperatep，fxfx给出给出(pf)x(pf)xOperatepOperatep，fx, nfx, n在在f f的的n n层上运用层上运用p p46/507.3.4 全局变量与局部变量全局变量与局部变量 前面使用的变量均为全

22、局变量，这样做可能较为危前面使用的变量均为全局变量，这样做可能较为危险，一是会增加内存开支，二是当变量使用较多的情险，一是会增加内存开支，二是当变量使用较多的情况下，若后面的程序与前面的程序使用了相同变量，况下，若后面的程序与前面的程序使用了相同变量，再次调用前面的程序可能出现奇怪的错误：再次调用前面的程序可能出现奇怪的错误：【例【例4-1】fx_ := (a = 0; Doa = a + i, i, 1, x; a) (*a为为1加到加到x的值的值*)f4*4a = 4; fa*a (*有问题有问题*)47/507.3.4 全局变量与局部变量全局变量与局部变量 【例【例4-1】fx_ :=

23、(a = 0; Doa = a + i, i, 1, x; a) (*a为为1加到加到x的值的值*)f4*4a = 4; fa*a (*有问题有问题*)48/507.3.4 全局变量与局部变量全局变量与局部变量【例【例4-1】fx_ := (a = 0; Doa = a + i, i, 1, x; a) f4*4a = 4; fa*a 原因是调用原因是调用fa后，全局变量后，全局变量a的值已经变为的值已经变为10了。了。 使用模块函数可以解决这个问题，因为模块函数内使用模块函数可以解决这个问题，因为模块函数内定义的变量均为局部变量。定义的变量均为局部变量。49/507.3.4 全局变量与局部变

24、量全局变量与局部变量 模块函数的定义格式为：模块函数的定义格式为：Modulex,y.,模块体模块体Modulex=x0,y=y0.,模块体模块体Modulex,y.,表达式表达式/;条件条件【例【例4-2】上例改为：】上例改为：fx_ := Modulea, (a = 0; Doa = a + i, i, 1, x; a)a = 4; fa*a50/507.3.4 全局变量与局部变量全局变量与局部变量【例【例4-3】利用模块定义函数，如例】利用模块定义函数，如例3-14中的幻方阵：中的幻方阵：定义如下函数：定义如下函数：fn_ := Modulei, j, a = Table0, i, n, j, n;i = 1; j = (n + 1)/2;ai, j = 1;Forx = 2, x = n*n, x+, IfModx - 1, n = 0, i+, i = Ifi = 1, n, i - 1; j = Ifj = n, 1, j + 1; ai, j = x; MatrixForma调用函数：调用函数：f5