《相似三角形》讲义.doc

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1、相似三角形讲义一 教学目标：1 知识目标：（1）理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；（2）掌握判定三角形相似的预备定理。2 能力目标：培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力。增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。3情感目标：加强学生对新知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。二 教学重点、难点：重点：相似三角形的概念及判定的预备定理难点：当两个相似三角形部分重叠时，判别它们的对应角和对应边以及例1的证明三 教学过程：(一) 类比联想，动手实验1 回顾全等三角形的含义（两个三角形形状、大小相同，能够完全重合），全等三角形所具有的性质（对应边、对应角相

2、等）。2 让学生动手画一个三角形及三角形的一条中位线，教师提问：三角形的中位线所截的三角形与原三角形的形状有什么关系？大小呢？各角有什么关系？各边有什么关系？ （二）直观演示，展示新知 A1 相似三角形的定义 A/将上面所截得的三角形移出,记为 ABC，原三角形 B C B/ C /记为 ABC，因此有 A= A ， B= B,C, ,即两个三角形的对应角相等，对应边成比例。这样的两个三角形虽然大小不一定相等，但形状相同。 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2表示方法： 教师介绍表示法，同时强调应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上（可以以此与全等符号及表示作一比较

3、，加强记忆）。3 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。4 相似比：相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）。强调： ABC与 ABC的相似比是k，则 ABC与 AB C的相似比是。练习：判断下列命题是否正确。错误的，举出反例；正确的，用定义加以说明：所有的等腰三角形都相似。所有的等边三角形都相似。所有的直角三角形都相似。所有的等腰直角三角形都相似。教师示范一个规范过程，让学生模仿，学会用定义来解决问题。 A（三）范例研讨，迁移练习： 1例1。如图，在 ABC中， D E DE/BC，D,E分别在AB，AC上。 B F C 求证：ADEABC 师生共同探

4、讨：（1） 目前要证明两个三角形相似只能根据什么？（定义）（2） 根据定义证明两个三角形相似，要证明满足哪两个条件？（对应角相等，对应边成比例）（3） ADE与ABC满足“对应角相等”吗？为什么？（4） 对应边成比例，由“DE/BC”的条件可得到怎样的比例式？ （5） 本题的关键归结为“只要证明什么”？（6） 根据以前的推论，如何把DE移到BC上去，即应添怎样的辅助线？（EF/AB） 教师板演证明过程。2如图，DE/BC，D、E分别在BA、CA的延长线上， D EADE与ABC 相似吗？ A相似C B 由此得到预备定理：3定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三

5、角形与原三角形相似。4例2，如图，D为ABC的AB边上的一点，过点D作 C DE/AC，交BC于E，已知BE：EC=2：1，AC=6CM， 求DE的长。5、练习：P122页1、2、36、课后拓展（机动）： （1）如图甲，已知 ABD ACB，则AD：AB= ： ， AB：BD= ： ，如果AD=2，DC=1，那么AB= （2），如图乙，在 ABC中，AD是角平分线，求证： 。 A A DB C B D C 图甲 图乙 五、归纳总结、布置作业：1 今天学习了相似三角形的定义，它既是三角形相似的判定，又是相似三角形的性质，同时可知全等三角形是相似三角形的特殊情况，其相似比是1；2 平行于三角形一边

6、的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。3 作业相似三角形2四 教学目标：1 知识目标：（1）近一步理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；（2）巩固判定三角形相似的预备定理及应用 掌握判定三角形相似的其他三个方法2 能力目标：培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力。增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。3情感目标：加强学生对新知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。五 教学重点、难点：重点：判定三角形相似的其他三个方法难点；判定三角形相似的其他三个方法及应用三 课堂探究：探究一 在一张方格纸上画一个三角形，再画一个三角形

7、，使它的各边长都是原来各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角 它们有什么特点？ 你认为这两个三角形之间是什么关系？A 你能把理由说来与大家分享吗 DE CB 如图：ABC和中， ， 求证；ABC证明：截，过D作DE ABCABC结论：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似备注探究二 利用刻度尺和量角器画ABC和，使A=，量BC、的长度，量B、C、的度数你发现BC、的长度有什么关系？你发现B、C、的度数有什么关系？由、能得ABC和有什么关系？结论：如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似改变A和K的大小，是否有同样的结论？请同学们自己证明这个结论AB

8、C和，使B=， ， 这两个三角形相似吗？探究三作ABC和，使A=、B=，分别度量两个三角形的边长你发现C与有什么关系？你发现、 、 有什么关系？由、能得ABC和有什么关系？结论：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似请同学们自己证明这个结论四 例题欣赏例1：根据下列条件，判断ABC和是否相似，并说明理由？A=、AB=7、AC=14=、=7、=14 AB=4、 BC=6、AC=8 =12、 =18、=21五、 课堂练习1、根据下列条件，判断ABC和是否相似，并说明理由？A=、AB=8、AC=15=、=16、=30 AB=10、 BC=8、AC=16 =20、

9、=16、=322、图中的两个三角形是否相似/3、要做两个形状相同的三角形框架，其中一个的三边长为3、4、5，另一个三角形的一边长为2，它的另两条边长为多少？你有几个答案？4、底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论？5如图：RtABC中，CD是斜边上的高，ACD和ACBD和ABC相似吗？证明你的结论？ 六、归纳总结、布置作业：4 今天学习了相似三角形的三个判定，5 作业相似三角形的性质教学目标：知识与技能1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。2、灵活运用相似三角形的判定和性质，提高分析，推理能力。过程与方法：1、对性质定理

10、的探究经历观察猜想论证归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。2、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法。3、通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力。情感与态度：在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用。教学重点：相似三角形性质定理的探索及应用教学难点：综合应用相似三角形的性质与判定探索三角形中面积之间的关系教学

11、方法与手段：探究式教学、小组合作学习、多媒体教学教学过程：一、创设情境，引入新课1、我们已经学了相似三角形的哪些性质？2、问题情境：某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米。现在的问题是：被削去的部分面积有多少？周长是多少？你能解决这个问题吗？二、实践交流，探索新知1、看一看：ABC与ABC有什么关系？为什么？2、算一算：ABC与ABC的相似比是多少？ABC与ABC的周长比是多少？面积比是多少？3、想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比

12、和相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？4、验一验：是不是任何两个相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？5、在学生思考、讨论的基础上给出证题过程（多媒体）6、归纳小结；相似三角形性质定理2相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。三、基础训练，加深理解练一练：已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比2周长比面积比10000归纳：周长比等于相似比；已知相似比、周长比，求面积比要平方，已知面积比求相似比或周长比则要平方。四、综合应用，解决问题已知：如图，DEBC，AB=30m，BD=18m，ABC的周长为80m，面积为100m2，求ADE的周长和面积？五、拓展延伸，共同提高

13、1、 过E作EFAB交BC于F，其他条件不变，则EFC的面积等于多少？平行四边形BDEF的面积为多少？2、 若设SABC=S，SADE=S1，SEFC=S2，试猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？六、类似猜想，深入探究探究：如图，DEBC，FGAB，MNAC，且DE、FG、MN交于点P，若设SDMP=S1，SPEF=S2，SGNP=S3，SABC=S，S与S1、S2、S3之间是否也有类似结论？猜想并加以论证。七、回顾反思，畅谈心得本节课你有何收获？1、这节课我们学到了哪些知识？2、我们是用哪些方法获得这些知识的？3、通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？你觉得还有什么问题需要继续讨论吗

14、？八、布置作业1、作业本2、3（2）（3）、4、52、探究推理过程课外整理完成，各组自行组织讨论交流。教学设计说明：1、本节课从一个较为实际的生活情境引入，设置问题悬念，激发学生的求知欲望，使学生掌握将实际问题转化为数学问题的思想方法，感受数学知识在生活中的广泛应用。2、性质定理2的学习和探索，注重于知识的形成过程，使学生体验特殊到一般的认知规律，以及由观察猜想论证归纳的数学思维过程。3、由问题的解决变式到例题，再经例题加以拓展延伸，使本节内容衔接更趋自然，同时使学生充分体会类比的数学思想以及图形之间的互相联系。4、教学中注重小组之间的合作交流，在合作中加强学生的团体意识，体验成功的喜悦，树立

15、学习的自信心。相似三角形的应用六 教学目标：1 知识目标：（1）理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；（2）掌握判定三角形相似的四个定理。2 能力目标：培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力。增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。3情感目标：加强学生对新知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。七 教学重点、难点：重点：相似三角形的概念及判定定理难点：把实际问题转化成相似三角形的建模教学过程：一、温顾而知新相似三角形有哪些性质？请画图并用几何语言描述；相似三角形有哪些判定方法？请画图并用几何语言描述；二、例题欣赏 例1、 根据史料记载，古希腊数学家、天

16、文家秦勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求 金字塔的高度 。 解； BA DE BAO=EDF 又AOB=DFE= ABC DEF 因此金字塔的高度134m.例2 如图,为了估算河的宽度,我们可在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、共线且直线与岸垂直，接着在过点且与垂直的直线a上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线b交于点，测得m，m。m。求河的宽度 解；， 即解得因此河的宽度为m三课堂练习、在某一时刻，测得一根高为.m的竹杆的影长为m，同一时刻

17、测得一栋高楼的影长为m，这栋楼的高度是多少？、如图，测得m，m，m，求河宽53.53.5 3如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长度都是3.5cm。求该草坪其他两边的实际长度。 四、小结灵活地应用相似三角形的性质、判定解决实际生活中的问题相似三角形练习题1、如图，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=31.4米，则AB=_米。 2、一根竹竿的高为 ，影长为 ，同一时刻，某塔楼影长是 ，则塔楼的高度为 .3、已知：在ABC中，P是AB上一点，连结 CP，当满足条件ACP= 或APC=或 AC2= 时

18、，ACPABC4、如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D请写出图中的两对相似三角形：_（用相似符号连接）5.ABC的三边长分别为 的两边长分别为1和,如果ABC,那么的第三边长为_.6.若ABC.,则ABC和的关系_.7、如果ABCABC，相似比为k (k1)，则k的值是（ ）AA：ABAB：AB CB：BDBC：BC8、若ABCABC，A=40，C=110，则B等于（ ）A30B50 C40D709、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（ ）A15cmB18cm C21cmD24cm10、如图ABCDEF，则图中相似三角形的对数为

19、（ ）A1对B2对 C3对D4对11、ABCA1B1C1，相似比为2：3，A1B1C1A2B2C2，相似比为5：4，则ABC与A2B2C2的相似比为（ ）AB CD12、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（ ）A200cmB200dm C200mD200km13RtABC中，ACB=90，CDAB于D，DEAC于E，那么和ABC相似但不全等的三角形共有 （ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个14在RtABC中，C=90，CDAB于D，下列等式中错误的是（ ）（A）AD BD=CD2 （B）ACBD=CBAD （C）AC2=ADAB （D）AB2=AC2+

20、BC215在平行四边形ABCD中，E为AB中点，EF交AC于G，交AD于F，=则的比值是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）516在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，则BDAD等于 （）（A）ab （B）a2b2 （C） （D）不能确定17.已知直角三角形的斜边长为13CM，两条直角边的和为17CM，则斜边上的高的长度为-18.RtABC中，CD是斜边上的高线，AB=29。AD=25，则DC=-19如图，在ABC中，D为AC上一点，E为延长线上一点，且BE=AD，ED和AB交于F 求证：EFFD=ACBC20、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DFAE于F.(1)ABE与AD

21、F相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长. （11分）21.如图，在ABC中，ABC90，CDAB于D，DEAC于E，求证：= 22、 如图，在RtABC中，ADB=90,CDAB于C，AC=20CM,BC=9CM,求AB及BD的长23、如图，已知ABC中，AD为BC边中线，E为AD上一点，并且CE=CD,EAC=B,求证：AECBDA, DC2=ADAE24如图，已知PABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H，求证：DE2=EGEH25如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，EG

22、CF 且AF=AD，于，（1）求证：CE平分BCF,(2) AB2=CGFG6、如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米。小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高。请你计算，电线杆AB的高为7、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？ 8.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗

23、口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.9.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为10cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DEAB),那么小玻璃管口径DE是多大?10已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍球的高度应为 11点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟APQ与ABC相似？试说明理由1、有一个三角形草地，三边的长度分别为18 m, 30 m, 42 m, 现在画它

24、的平面图，使最长边的长度为7cm,求其余两边的长度，并在下图中画出其余两边2、下图是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80cm，AB是步枪上的准星宽度2mm，OF是眼睛到正方形靶子的距离160m，求正方形靶子的宽度？ABCEDoF80160000.24、 某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如下图） （1）他们在AMD和BMC地带种植太阳花，单价为8元/m2。当在AMD地带 （图中阴影部分）中种满花后，共用去了160元。请计算种满BMC地带所需的费用 是多少元。 （2）若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ （3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得APB DPC，且APD的面积与BPC的面积相等，并说明你的理由。5、 埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度.在一个烈日高照的上午.他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下,他想考一考年仅14岁的小穆罕穆德.2米木杆皮尺平面镜给你一条2米高的木杆,一把皮尺,一面平面镜.你能利用所学知识来测出塔高吗?EACBD 提示 ：