高考数学解三角形经典.doc

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1、_解三角形 需掌握的知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切2、正弦定理、余弦定理3、解三角形应用要点一、三角形中的边与角之间的关系约定：的三个内角、所对应的三边分别为、.1边的关系：(1) 两边之和大于第三边：，；两边之差小于第三边：，；(2) 勾股定理：中，.2角的关系：中，,=（1）互补关系：（2）互余关系：3直角三角形中的边与角之间的关系中，（如图），有：，.要点二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等即：（为的外接圆半径）2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即： 要点诠释：（1）正弦定理适合

2、于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一.（2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知两个角及任意边，求其他两边和另一角； 已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边.（3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；已知三角形的三条边，求其三个角.(4) 利用余弦定理判断三角形形状：勾股定理是余弦定理的特殊情况，.在中，所以为锐角；若，同理可得角、为锐角.当，都成立时，为锐角三角形在中，若，所以为钝角，则是钝角三角形同理：若，则是钝角三角形且为钝角； 若，则是钝角三角形且为钝角要点三、解斜三角形的类型1.已知两角一边，用正弦定

3、理，有解时，只有一解.2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在中，已知和角时，解的情况如下： (1)若A为锐角时：如图：(2)若A为直角或钝角时：3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解.4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解.要点诠释：1在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.2在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式

4、分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能要点四、三角形面积公式 1（表示边上的高）；2；3；4；5. 要点五、实际问题中的常用角1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：2.方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0360.如图，点的方位角是。3. 坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。小结反思为了在三角函数题上尽量拿高分，必须

5、熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义、应用特点、常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法（切化弦法、降幂法、角的变换法）；掌握三角变换公式在三角形中的应用特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题，熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，并能画出函数图像；理解图像平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图像的变化，只要好好掌握这些内容，三角函数题就一定可以拿高分。注意几种常见的角的变换：(1)=(+)-=(-)+；(2)2=(+)+(-)；(3)2=(+)-(-)；(4)2+=+(+).一、知识点回顾一、 选择题1.在ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）（A

6、）1（B）2（C）3（D）42.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。若，则角B的值为（ ）A B C或 D或3ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1-sinA）,则A=（A）（B）（C）（D）4.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）ABCD5. 为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶上测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是（ ）A B C D30 m6. ABC中，为锐角，则ABC是（ ）、等腰三角形 B、直角三角形C、等腰或直角三角形 D、

7、等腰直角三角形7ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，如果2b=a+c，B=30，ABC的面积为，那么b等于（ ）A B C D二、填空题 8在ABC中，若，则C=_9. 在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。若，则的值是_10. 在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB=75，CBA=60，则A、C两点之间的距离为_千米。11.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若S表示ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，则B=三、解答题12.设ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满(a+b+c)(a-b+c)=ac（）求B（）若sin

8、AsinC=，求C13. 在ABC中，角A、B、C所过的边分别为a、b、c且。（1）求的值；（2）若，求bc的最大值.14设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2。（1）当时，求角A的度数；（2）求ABC面积的最大值。15在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足.（1）求角B的大小；（2）设，求的取值范围.二、典型例题例1. 在ABC中，AB2，AC3，则BC()A. B. C D. 【变式1】如图，在ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，BC=2BD，则sinC的值为（ ）A B C D【变式2】在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c。

9、若，则A=（ ）【变式3】已知ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则的值为_例2. 在中，试确定满足下列条件的三角形的形状。（1）； （2）；（3），且.【变式1】已知ABC中,bsinB=csinC,且,试判断三角形的形状【变式2】在中，已知，试判断的形状例3. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，b=2，求ABC的面积S.例4. 在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求.【变式1】ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量与平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面积【变式2】在

10、ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.例5. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点. 现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，该救援船到达D点需要多少时间？课后复习巩固1. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c， 角A，B，C成等差数列。（1）求cosB（2）边A，B，C成等比数列，求sinAsinC的值。2. 已知向量，（1）求函数的单调区间；（2）当时，对任意，不等式恒成立，求m的取值范围。3.已知

11、ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若，且ABC的面积为1+，则b的最小值（ ）4.等腰ABC中，BD为边AC上的中线，且BD=3，则ABC面积的最大值为（ ）【参考答案与解析】1. 【答案】A【解析】由余弦定理得13=9+AC2+3AC,得AC=1，选A.2.【答案】D【解析】，结合已知等式得，故选D。3.【答案】C【解析】由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA=2b2（1-cosA），因为a2=2b2（1-sinA），所以cosA=sinA，因为cosA不等于0，所以tanA=1,因为A是三角形内角，所以A=。4.【答案】B【解析】ABC中，a、b

12、、c成等比数列，且c=2a，则b=a，=，故选B5.【答案】A【解析】如图所示，由已知得四边形CBMD为正方形，而CB=20 m，BM=20 m又在RtAMD中，DM=20 m，ADM=30，6. 【答案】D 【解析】由，解出，得B=45，A=135-C，又由，解出，由正弦定理得，即展开整理得，.7.【答案】B 【解析】2b=a+c，平方得a2+c2=4b22ac，又且B=30，得ac=6，a2+c2=4b212，由余弦定理得又b0，解得。8. 【答案】 【解析】由正弦定理得，解得，由ab得AB，所以，则9. 【答案】4 【解析】利用正、余弦定理将角化为边来运算，由余弦定理得，。而.10. 【

13、答案】 【解析】ACB=1807560=45，由正弦定理得，.11.【答案】45【解析】由正弦定理可知a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，acosB+bcosA=csinC，sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，即sin（A+B）=sin2C，A+B=csin（A+B）=sinC=sin2C，0CsinC0sinC=1C=90S=b2+a2=c2，=b2=a=bABC为等腰直角三角形B=45故答案为4512.【解析】（I）(a+b+c)(a-b+c)=(a+c)2-b2=ac，a2+c2-b2=-ac，cosB=，又B为三角形的内角，则B=120；（II）由（

14、I）得：A+C=60，sinAsinC=，cos(A+C)=，cos(AC)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=+2=，AC=30或AC=30，则C=15或C=4513. 【解析】（1） （2）由余弦定理：,又，故,当且仅当时，故bc的最大值是.14【解析】（1）因为，所以.因为，b=2，由正弦定理可得.因为ab，所以A是锐角，所以A=30.（2）因为ABC的面积，所以当ac最大时，ABC的面积最大.因为，所以.因为a2+c22ac，所以，所以ac10（当且仅当时等号成立），所以ABC面积的最大值为3

15、.15. 【解析】（1）由因为，所以.（2）由（1）可推得，又ABC是锐角三角形，所以，故.因为，所以.因为，所以，故.【典型例题】类型一、利用正弦、余弦定理解三角形例1. 在ABC中，AB2，AC3，则BC()A. B. C D. 【思路点拨】画出示意图，注意向量数量积的夹角是.【答案】A【解析】， ,，由余弦定理有，从而BC.【总结升华】本题主要考查余弦定理以及三角形中有关的向量和三角函数的应用.举一反三：【变式1】如图，在ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，BC=2BD，则sinC的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】设BD=1，则，BC=2.在ABC中，解得，在ABC中，由

16、正弦定理，得，故选D.【变式2】在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c。若，则A=（ ）A30 B60 C120 D150【答案】A【解析】，在ABC中，A=30.【变式3】已知ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则的值为_【答案】【解析】由余弦定理可求得，.例2. 在中，试确定满足下列条件的三角形的形状。（1）； （2）；（3），且.【思路点拨】（1）考虑用正弦定理将边化为角；（2）正弦、余弦定理都可以选用；（3）由可以先化简，再考虑用余弦定理.【解析】（1）由得，整理得：即，同理可得，所以为等边三角形.（2）方法一：化边为角由正弦定理得：即，即 或，即或故为等腰三角

17、形或直角三角形。方法二：化角为边由余弦定理得整理得：，即或故为等腰三角形或直角三角形。（3） 即, 又 ，即即 故是正三角形.【总结升华】依据正、余弦定理定理的结构特点，若在式子中出现的为与边相关的一次式，则一般多用正弦定理，如果利用余弦定理，将角的关系转化为边的关系，则需要有较高的恒等变形能力（比如第2小题）；若在式子中出现的为与边相关的二次式，则一般多用余弦定理.举一反三：【变式1】已知ABC中,bsinB=csinC,且,试判断三角形的形状【答案】为等腰直角三角形【解析】bsinB=csinC,由正弦定理得 sinB=sinC， sinB=sinC B=C由 得 三角形为等腰直角三角形【

18、变式2】在中，已知，试判断的形状【答案】为直角三角形【解析】 由及余弦定理得整理得：即， ， 即或，为直角三角形类型二、解三角形及其综合应用例3. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，b=2，求ABC的面积S.【思路点拨】（1）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后求得sinC与sinA的关系式，则的值可得；（2）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（1）中的结论和正弦定理求得a和c的另一个关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可得面积S.【解析】（1）由正弦定理，设，则，所以.即，化简可得sin（A+B）=2sin（B

19、+C）.又A+B+C=，所以sinC=2sinA.因此.（2）由得c=2a.由余弦定理b2=a2+c22ac cosB及，b=2，得，解得a=1，从而c=2.又因为，且0B，所以.因此.【总结升华】处理三角形中的三角函数求值时，要注意角的范围与三角函数符号之间的联系与影响.本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用，考查学生的基本分析能力及计算能力.举一反三：【变式1】在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值【解析】由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180AB=120B.由已知条件，应用正弦定理解得从而【变式2】中， ，则的周长为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】

20、.例4. （2016 四川高考）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求.【思路点拨】（）根据正弦定理对原式进行化简，再使用两角和差公式即可；（）根据已知，利用余弦定理先求cosA、，再根据，求tanB即可。【解析】（I）证明：由正弦定理可知原式可以化解为和为三角形内角 , 两边同时乘以，可得由和角公式可知，原式得证。（II）由题,根据余弦定理可知， 为三角形内角， 则，即 由（I）可知， 【总结升华】有关三角形中的三角函数问题，灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化，从而达到解题的目的.举一反三：【变式1】ABC的内角A，B，C所对的边分别

21、为a，b，c向量与平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面积【解析】（）因为向量与平行，所以asinB=0，由正弦定理可知：sinAsinBsinBcosA=0，因为sinB0，所以tanA=，可得A=；（）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，可得7=4+c22c，解得c=3，ABC的面积为：=【变式2】在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.【答案】（），（）1例5. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点. 现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，该救援船到达D点需要多少时间？【思路点拨】在DAB中，由正弦定理得，由此可求得；然后在DAB中，由余弦定理可求得CD；最后根据时间=路程速度，即可求得该救援船到达D点需要的时间. 准确找出题目中的方向角是解题的关键之处.【解析】由题意知（海里），DBA=9060=30，DAB=9045=45，ADB=180(45+30)=105，在DAB中，由正弦定理得，（海里）.又DBC=DBA+ABC=30+(9060)=60，海里，在DBC中，由余弦定理，CD=30（海里），则需要的时间（小时）.19_