毕业-矩阵的特征值与特征向量的相关研究.doc

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1、_本科毕业设计（论文）( 2015届 ) 题 目: 矩阵的特征值与特征向量的相关研究 学 院: 数理与信息工程学院 专 业: 数学与应用数学 学生姓名: 学号: 指导教师: 职称: 合作导师: 职称: 完成时间: 201 年 月 日 成 绩: 16_目 录摘要1英文摘要11 引言 12 选题背景以及特征值与特征向量的定义与性质 22. 1 选题背景22. 2 特征值与特征向量的定义22. 3 特征值与特征向量的性质 23 矩阵的特征值与特征向量的求解方法 33. 1 求解数字方阵的特征值与特征向量33. 2 已知矩阵A的特征值与特征向量, 求与相关的矩阵的特征值7 4 矩阵的特征值与特征向量的

2、反问题的求解 7 4. 1 矩阵的全部特征值与全部特征向量, 反求解矩阵的方法74. 2 已知实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量, 反求矩阵 A的方法 95 矩阵的特征值与特征向量的应用 95. 1 矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用95. 2 经济发展和环境污染的增长模型146 结论 16 参考文献 16矩阵的特征值与特征向量的相关研究 摘要: 矩阵的特征值与特征向量占据了高等数学中的一小块, 但是其重要性无可比拟, 它可以应用在数学和生活上, 尤其是对现在的科学技术领域, 有着至关重要的作用. 本篇论文主要阐述并归纳了矩阵的特征值与特征向量的概念, 性质, 解法以及应

3、用, 通过具体的例子, 来体现了矩阵的特征值与特征向量的广泛性和实用性, 深刻研究了矩阵的特征值与特征向量和它相关的应用. 正文总共分为四个大部分. 第一部分: 阐述了它的概念和性质; 第二部分: 对于它的求解方法, 本篇论文叙述了几种不同的方法, 并且有相关例题的作法; 第三部分: 关于它的反问题, 本篇论文也有相对应的几种不同的求解方法; 第四部分: 关于它在数学领域和生活上的应用. 矩阵; 特征值; 特征向量; 反问题; 应用关键词: Correlation matrix eigenvalues and eigenvecto-rsMathematical and Information

4、Engineering Mathematics and Applied Mathematics Chen Dong（11170126）Instructor: Lvjia Feng (Associate Professor)Abstract: Eigenvalues and eigenvectors occupy the higher mathematics in a small, but its importance is unparalleled, it can be used in mathematics and life, especially in the field of scien

5、ce and technology right now, has a vital role. This paper describes and summarizes the main characteristics and eigenvector matrix concept, nature, solution and applications, through specific examples, to reflect the breadth and practicality matrix eigenvalues and eigenvectors, profound study of mat

6、rix eigenvalues and special Eigenvectors and its related applications. Total body is divided into four parts. The first part: it describes the concept and nature; Part II: For its solution method, this paper describes several different methods, and relevant examples of practice; Part III: Anti quest

7、ion about it, this papers are also several different corresponding method for solving; part IV: on its application in the field of mathematics and life. Key Words: Matrix; eigenvalues; feature vector; inverse problem; Application1 引言在已经有相关深刻探讨的前提下, 本篇论文给出了它的的概念以及它的性质, 掌握它的性质是研究其求解方法的前提, 所以要先熟悉它的性质,

8、再对它的求解方法作详细的步骤和说明. 本篇论文重点介绍了它的求解方法和特它的反问题以及相关应用,展现了它在矩阵运算中的重大作用, 在例题的求解过程中充分运用某些性质, 使得问题变得简单, 运算方面上也更简洁, 是简化一些有关矩阵的比较繁琐问题的一种快捷并且有效的途径. 本篇论文通过一些具体的例题详细说明它的求解方法以及其反问题的求解方法, 并且在数学领域以及生活方面的应用也有其相关的例题来说明矩阵的特征值与特征向量的广泛性以及实用性. 2 特征值与特征向量的选题背景以及其定义与性质 2. 1 选题背景随着科技的迅猛发展 ,现在的社会发展的速度日益增加, 高等代数作为一门大学数学的基础学科已经向

9、所有的领域渗透 , 它在所有领域内表现出来的作用已经越来越明显. . 物理、化学、经济等的许多问题在数学上都可以看作是求它的问题. 但是通过特征方程求解它是有一点难度的, 而且在现在的高等数学的教材中用特征方程求它总是要求解带含有参数的行列式, 而且只有先求解出它才能用方程组求解之后的问题. 本篇论文将对它的求解方法、反问题以及相关的应用进行系统性的归纳, 并且有相关的例题给予帮助理解. 2. 2 特征值与特征向量的定义 它在高等代数和线性代数课程中占据了一席之地, 在大多数的高等代数教材中, 把它拉进来就是为了解析线性空间中线性变换的, 它的定义如下: 定义1 设是数域上的线性空间的一个线性

10、变换, 如果对于数域中的数, 存在一个不是零的向量, 使得那么是矩阵的一个特征值, 向量称作矩阵关于特征值的特征向量. 在大多数的线性代数的教材中, 它的探讨作为矩阵探讨的一个至关重要的组成部分, 它的定义如下所述: 定义2 设 是 阶的方阵, 如果存在数字和维不是零的向量, 使得那么就称是的特征值, x是的对应特征值的特征向量 2. 3 特征值与特征向量的性质 （1）如果是的重的特征值, 所对应的特征值就会有个线性无关的特征向量 （2）如果都是矩阵的属于特征值的特征向量, 那么当不全都是零时, 依然是的属于特征值的特征向量 （3）如果是矩阵A的互相不一样的特征值, 而且它所对应的特征向量分别

11、是, 那么线性无关 (4)如果的特征值是, 那么, . （5）实对称矩阵A的特征值都是实数, 属于不同的特征值的特征向量正交 （6）如果是实对称矩阵的重的特征值, 那么所对应特征值刚好有个线性无关的特征向量 （7）假设是矩阵A的特征值, 是多项式的函数, 那么是矩阵多项式的特征值3. 矩阵的特征值与特征向量的求解方法 3. 1 求解数字方阵的特征值与特征向量 （1）求解特征多项式. （2）特征方程, 它的全部根就是A的全部的特征值 （3）对于任何一个特征值, 求解出齐次的方程组的一个基础解系就是A的属于的线性无关的特征向量. 那么A的属于的全部的特征向量是, 其中是不全都是零的数. 求解特征多

12、项式是解决问题的难度所在, 方法一: 观察特征矩阵的每一行之和, 如果相等而且都是a, 那么将第2列及以后各列都加到第1列, 提取公因子, 再作化简, 而且a就是其中的一个特征值, 是A的属于特征值a的特征向量方法二: 将特征矩阵的的两个不是零的常数（不含参数）之一化为零, 如果有公因子, 提取出来再作化简. 从上述可以知道, 求解它是相当繁琐的这里将阐述一个有效的方法, 只是需要对原来的矩阵作行列互逆变换就可以同时求解出它, 所以给出如下定义: 定义: 称矩阵的下列三种变换为行列的互逆变换: （1）互相更换矩阵的i,j两列, 同时互相更换矩阵的i,j两行; （2）矩阵的第i行乘以不是零的数字

13、k, 同时矩阵的第i列乘以; （3）矩阵的第i行乘以k倍加到矩阵的第j行, 同时第j列乘以 k倍加到矩阵的第i 列. 定理: A为n阶的可以对角化的矩阵, 而且, 其中, , 那么是A的全部特征值, 是A的属于的特征向量. 证明: 因为即 从而AP=PD因为所以则所以为了运算的简洁, 约定: （1） 表示为矩阵的第i行乘以k倍加到第j行. （2） 表示为矩阵的第i列乘以-k倍加到第j列. 因为用定理求解题目时, 总是会遇到一些类似或者（）形式的矩阵的化对角阵的问题, 所以给出对应的求解方法: 或其中, , 所以, 是B的分别属于特征值和的特征向量. , 是C的分别属于特征值和的特征向量. 下面

14、将有3道例题来说明其求解方法, 第一道例题不使用刚才描述的方法, 则后面两道例题运用, 以此来说明这个方法的可操作性以及简便性. 例1: 求解矩阵的特征值与特征向量. 解: 所以, 矩阵的特征值是当时于是, 可以知道属于特征值的特征向量是. 例2: 求解 的特征值与特征向量. 解所以特征值分别是特征向量分别是, , , . 下面给出上述定理的推广定理: 定理: A是任意n阶的矩阵, 如果, 其中是约当矩阵, 是约当标准形, ; 所以是A的特征值, 是A的特征值的特征向量. 例3: 求解的特征值与特征向量. 解所以特征值是的特征向量,的特征向量. 3. 2 已知矩阵A的特征值与特征向量, 求与A

15、相关的矩阵的特征值此种题目可以运用性质7来求解计算, 用定义就可以求解算得. 4 矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解 4. 1 矩阵的全部特征值与全部特征向量, 反过来求解矩阵A的方法 方法一: 用对角化法求解可逆矩阵P, 使得, 那么. 方法二: 用对角化法求解正交的矩阵使得, 所以. 方法三: 特定元素法设n阶矩阵的全部特征值是, 相应的n个线性无关的特征向量是, 所以有, 从这里可以得到以A的第1行, 第2行,. . . ,第n行的元素当作未知数的n个非齐次的线性方程组, 求解每个方程组求出A中的元素, 那么就能得到. 例4: 设三阶方阵A的特征值是对应的特征向量分别是, 求解A. 解

16、: 因为是矩阵A对应于特征值的特征向量, 所以有, 令, 那么, 所以有, 其中, 就从上述式子可以得到, 就是问题所要求得的答案. 例5: 设三阶的实对称矩阵A的特征值是6、3、3, 与特征值6对应的特征向量是, 求解A. 解: 设对应于3的特征向量是. 因为实对称矩阵的不同特征值下的特征向量正交, 也就是X的分量满足, 又因为特征值3的重数是2, 所以对应于3刚好有2个线性无关的特征向量, 明显的基础解系就是对应于3的2个线性无关的特征向量. 从得到它的一个基础解系是, , 令, 所以可以得到, 所以, , 就是问题所要求得的答案. 4. 2 已经知道实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的

17、特征向量, 反过来求解矩阵A的方法从实对称矩阵属于不同的矩阵的特征值的特征向量正交求解出其余的特征向量, 可以运用上述各种的方法求解. 5 矩阵的特征值与特征向量的应用 5. 1 矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用求解常系数齐次递推关系的方法多种多样, 这里将说明一下如何利用它来求解线性齐次递推关系的一种方法. 设k阶线性循环数列满足递推关系: 其中是常数, 并且. 方程组可以表示为矩阵形式: （1）那么（1）可以写作: （2）由（2）式子递推可以得到. 其中 所以求解通项就可以归结为求解, 也就是求解. 如果A可以对角化, 那么存在可逆矩阵P, 使得, 所以, 因为从第一列开始每一

18、列乘以加到后一列上, 就得到如下的矩阵: 如果是A的特征值, 明显有, 所以线性齐次方程组的基础解系中仅含有一个解向量, 因此当A有k个特征值时, 这k个特征值对应的特征向量分别是, 由这k个特征向量为列构成的方阵记作P, 那么P是可逆的, 并且. 其中例6 设数列满足递推关系: ,并且, 求解通项. 解: 是三阶循环数列, 将方程组用矩阵表示: 令那么由上式可以递推得到: （1）其中因为, 即, 得到A的特征值: 再从特征方程解得对应A的特征值的特征向量分别是: 所以代入（1）式子可以得到: . 例7 数列, , 求解这个数列的通项. 解: 通过分析这个数列满足条件 （1）根据即 （2）其中

19、从（2）式子递推可以得到: （3)因为得到A的特征值是 （4）对应于的特征向量分别是取, 所以那么所以有于是 （5）把（4）式子代入到（5）式子得到就是题目所要求解的通项. 例8 计算解: 按照矩阵的第一行展开 （1）把（1）变成因为即 （2）其中从（2）这个式子递推可以得到 （3）因为得到A的特征值是 （4）对应于的特征向量分别是取, 那么那么所以就有于是 5. 2 经济发展和环境污染的增长模型 为了研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系, 可以建立如下数学模型: 设分别是这个地区目前的环境污染水平和经济发展水平, 分别是这个地区若干年后的水平, 而且有下述的关系: 令所以上面描述的关系的

20、矩阵形式是. 那么经济发展与环境污染的增长模式是令所以上面描述关系的矩阵形式是所以从上述这个形式可以得到: （*）下面我们将进行更深一步的讨论: 从矩阵A的多项式得到A的特征值是对于, 可以求解方程得到特征向量对于, 可以求解方程得到特征向量明显, 线性无关下面分作三种情况分解析: 假设1: 从（*）以及它的性质可以知道即或者上面描述的式子表示: 在当前的环境污染水平和经济发展水平的条件下下, i年后, 当经济发展水平达到相当高的程度时, 环境污染也保持着同步恶化趋势. 假设2: 因为, 所以不讨论这种情况假设3: 因为不是特征值, 所以不能类似分析, 但是可以由唯一线性表达出来由（*）以及特

21、征值与特征向量的性质可以得到: 也就是从上面描述的式子可以预测到这个地区i年后的水平. 因为没有实际的意义所以在假设2中没有作相关的讨论, 但是在假设3中的讨论中起到了至关重要的作用. 6 结论通过它的概念以及相关的性质学习, 理解了它的各种求解方法, 更是有相关例题求解巩固知识. 而后, 又学习了它的反问题, 也理解了相应的求解方法. 它不仅能应用在数学上, 帮助其更简单的运算, 而且也能应用在生活上, 有效处理生活的各类问题. 学习并且研究数学, 从知识联系到生活, 通过数学的思维或方法来处理某些生活上的问题. 离开数学, 科技无法进步, 生活恐难维持, 所以我们必须热爱数学, 深入探讨数

22、学, 从而促进科技发展, 共创美好的明天. 参考文献1 施劲松,刘剑平. 矩阵特征值、特征向量的确定J. 大学数学. 2003. 12,19（6）: 123-126. 2 李迪. 中国数学史简编M. 沈阳: 辽宁人民出版社. 1984,9: 124-125. 3 刘国琪. . 利用矩阵的初等行变换达到矩阵的特征值与特征向量的同步求解J. 江西电力职工大学学报. 1995. 3,8（1）: 30-34. 4 陈泽安. 求矩阵特征值与特征向量的新方法J. 长沙通信职业技术学院学报. 2003. 3,2（1）: 66-69. 5 赵文玲,王秀芬. 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用J. 山东工程

23、学院学报. 1998. 9,12（3）: 39-44. 6 邵丽丽. 矩阵的特征值和特征向量的应用研究J. 菏泽学院学报. 2006. 2,28(5): 20-23. 7 Roger A. Horn,Charles R. Johnson. Matrix AnalysisM. POSTS 2005. 9: 1-561. 8 郭华,刘小明. 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用J. 渝州大学学报. 2000. 6,17(2) : 72-75. 9 CHI BIN,YE Qing-Kai. COMPUTING THE EIGENVECTORS OF A MATRIX WITH MULTI -PLEX

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