2022年平面直角坐标系和极坐标教师版 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载平面直角坐标系和极坐标为了需要，复习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）一 平面直角坐标系平面直角坐标系的建立：为了确定平面上点的位置：在平面上选定两条互相垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）；以两直线的交点O 作为原点；选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；这样，我们就说在平面上建立了一个直角坐标系（图 1-2-1）图 1-2-1 这两条互相垂直的直线叫做坐标轴，习惯上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x 轴，与 x 轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y 轴，从下到上的方向是它的正方向。2. 平面上点的坐标建立

2、了直角坐标系后，平面上的任意一点P 的位置就可以确定了，方法是这样的：由P 点分别作y 轴和 x轴的平行线，交点分别是M 和 N,设 x 轴上的有向线段OM 的数量是a，y 轴上有向线段ON 的数量是b，我们称 a 是 P 点的横坐标， b 是 P 点的纵坐标，写成形式（a，b） ，这样的一对有序实数（a，b）叫做 P 点的坐标。反过来，易知任意一对实数（a，b） ，都可以确定平面上的一个点. 由上面的分析，可以得到下面的结论：在给定的直角坐标系下，对于平面上的任意一点P，我们可以得到唯一的有序实数对（a， b）来和它对应；反过来，对于任何有序实数对，在平面上就能确定唯一的点，这个点的坐标是（

3、a，b） 。就是说，平面上的点和有序实数对（a， b）之间建立了一一对应得关系。我们在代数里已经知道坐标轴把平面分成了四个部分，每一部分是一个象限。根据数轴上有向线段的数量，可以理解第I 象限内的点的坐标的符号是（+，+） ，第 II 象限内的是（，+） ，第 III 象限内的是（，） ，第 IV 象限内的是（+，） 。坐标轴上的点不属于任何象限，在x 轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0） ；负方向上的点的坐标符号是（，0） 。同理，在 y 轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+） ；负方向上的点的坐标符号是（0，）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

4、- - - - -第 1 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载二 极坐标极坐标是另外一种重要的坐标法，有些几何轨迹题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标系来得简单，在数学分析中经常用到。在平面的直角坐标系中，是以一对实数来确定平面上一点的位置，现在叙述另一种坐标，它对平面上的一点的位置虽然也是用有序实数对来确定，但这一对实数中，一个是表示距离，而另一个则是指示方向。一般来说，取一个定点O，称为极点，作一水平射线Ox，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系。平面上一点P 的位置，可以由OP 的长度及其xOP 的大小决定，这种确定一点位置的方法，叫做极坐标法。具体地说，假设

5、平面上有点P，连接OP，今设OP=，又 xOP=. 和的值确定了，则P点的位置就确定了。叫做 P点的极半径，叫做 P点的极角，),(叫做 P 点的极坐标（规定写在前，写在后）。显然，每一对实数),(决定平面上一个点的位置。今以的值可为任何的正的或负的值（依逆时针方向转动所成的角规定为正，顺则为负），又为处理上便利起见，也可以是负的值，如图1-2-2，OC 为角的终边，规定在OC 上度量的数为正，而在OC 的相反方向，即OC 的延长线上度量的数为负，如图1-2-2 中，若点P 的坐标为),(，则点P 的坐标为),(。图 1-2-2 ，的值照上面这样扩大之后，则在极坐标系中，一点的坐标有无穷的实数

6、对。例如，在图1-2-2中，可以看到，点P 的坐标一般写为),(，也可以写成)2,(，)4,(，)6,(，又 P 的坐标可以是)2 ,(),(.也可以是)3 ,(),(. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载图 1-2-3 极坐标与直角坐标系的关系如图1-2-3 所示，将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。 如果点 P 在直角坐标系下的坐标为（x， y） ， 在极坐标系下的坐标为),(, 则有下列关系成立：ysinxcos即sinycosx另外还有下式

7、成立：xytan,yx222. 例 1.2 给出极坐标系中点P=（2，3/）的直角坐标。解：由上面的讨论知：332sinsiny132coscos x故点 P 的直角坐标为（1，3）. 极坐标方程的形式为0),(F. 在极坐标里， 从，的每一组对应的值),(11),(22作为点的坐标， 并且标出这些点，然后用平滑的曲线依次连结这些点，所得到的曲线就称为这个极坐标方程的曲线。反过来，称这个方程为这个曲线的极坐标方程。例 1.3 试作曲线1. 显然1表示的是一条直线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下

8、载例 1.4 试作曲线2. 显然2表示的是一个以2 为半径的圆周。例 1.5 试给出曲线2cos在直角坐标系下的方程. 解因为xcos，故曲线2cos可以写为：x2即x22又222xy，故有：xyx222即：1)1(22yx显然该方程表示的是以（1，0）为圆心，以1 为半径的圆周。第三节空间直角坐标系在平面几何中通过平面的解析几何，将数与形紧密地连接起来，用代数的方法研究平面几何，起到了非常良好的效果 本章将用类比法，用代数的方法研究立体几何为此必须建立类似于平面的直角坐标系概念在我们生活的三维空间中，取一个平面将之分割为两部分，在此平面上建立一个直角坐标系xoy，这里x表示x轴，y表示y轴

9、O 表示x，y轴的共同原点过o作平面xoy的垂线（o为垂足），作为新的数轴，叫做z轴并与x,y 轴拥有相同的长度单位，这样我们就得到空间中两两互相垂直的具有相同原点和相同单位长度的三个数轴：x轴，y轴, z轴，这就形成了我们所谓的空间直角坐标系相同的原点O 叫做空间直角坐标系的原点从立体几何可以知道，x轴与z轴也唯一的决定了一个平面，称为xoz平面同样y轴与z轴也唯一的决定了一个平面,叫做yoz平面 这三个平面都叫做坐标面这三个轴都叫做坐标轴(如图 1-3-1)显然三个坐标面将空间分成八个部分每个部分叫做卦限，其中，含三个坐标轴的正半轴的卦限叫做第一卦限，记为 I 其余依次叫做第二卦限，第三卦

10、限，第四卦限，第五卦限，等等记为II，III ， IV ，V 等，如图 1-3-1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载图 1-3-1 另外我们注意到，在直角坐标系的形成过程中，我们实际上可以看到，z轴是由y轴绕原点逆时针旋转2而得到的而此时过原点O 且垂直于xoy面的z轴，虽然仅有一条，但是z 轴的正方向却有两种选择如图 1-3-2 的选择，称为右手系另外一种选择得到的坐标系叫做左图 1-3-2 手系不失一般性我们以后仅考虑右手系所以我们的空间中就多了直角坐标系确定了坐标系之后，对于空间中的任意一

11、点M，作xoy面的垂线仅一条，仅交xoy面于一点M，则对应于xoy平面的坐标也仅有一个不妨记为yx,，这时MM的距离也是一定的，若当从点M指向点M时，与z轴正方向相同，则记为MMz，否则认为是负的， 记为MMz所以任意一点M就有唯一的三个数zyx,反之任意给定三个数zyx,，当yx,作为面xoy的点时，根据z 的正负，以上面的逆推可以唯一得到空间一点，因此空间的点与有序数组zyx,建立了这样的一一对应关系称zyx,分别为点M的横坐标，纵坐标，竖坐标常记M点为zyx,或),(zyxM推 论1 过 点),(zyxM分 别 垂 直 于zyx,轴 的 平 面 与 三 个 坐 标 轴 的 交 点 坐 标

12、 也 分 别 是zyx,0,0,0,0),0 ,0,(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载推论2 坐标面上的：xoy面上点的坐标为0 ,yx,xoz面上点的坐标为zx,0,，yoz面上点的坐标为zy,0推论坐标轴上点的坐标分别是：x轴上点的坐标是0,0,x，y轴上点的坐标是0,0 y，z轴上点的坐标是z,0 ,0图 1-3-3 设空间中两个点),(1111zyxM和),(2222zyxM，则两点21MM的距离为221221221)()()(zzyyxx事实上分别过21,MM点作三个坐标轴的垂直平面

13、，这些平面围成了一个以21MM为对角线的长方体（如图1-3-3） 长方体的三个棱长分别是21xx，21yy，21zz，由长方体对角线的长度公式知：22122122121)()()(zzyyxxMM这就是空间中两点的距离公式在实数轴上，实数x表示一个点在平面中，两个数的数组yx,表示一个点，在三维空间中三个数的数组zyx,表示一个点一般的，n个有序数组nxxxx,.,321表示n维空间的点，并用nR表示n维空间特别地，1RR为实数轴2R表示平面的二维空间3R就是后面主要讨论的三维空间向量及其应用我们知道三维空间3R的点，对应一个有序数组zyx,反之亦然从另外一个角度来看，对任意一个这样的有序数组

14、zyx,，唯一地表示一个以原点为起点，点zyx,为终点的有向线段反过来，任意一个以原点为起点，zyx,为终点的有向线段，则可以唯一地对应一个有序数组zyx,，所以有向线段与点以及数组之间建立了一一对应精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载在力学等学科中，常用有向线段表示一个既有大小又有方向的量，如力，速度等等我们称既有大小又有方向的量叫做向量因此，我们也把形如zyx,的有序数组称为3R的向量为了与点的坐标相区别，我们常把向量记为zyx,称为向量的坐标表示并且把由从原点到点zyx,所确定的有向线段，也

15、叫做向量，zyx,叫做向量的分量同时， 把空间3R中某向量平移后所得到的有向线段认为是同一个向量所以若空间中有起点),(111zyxA到终点222,zyxB所得到的有向线段，可以看成是一个向量，此向量经过平移后将点A置于原点，易得此向量可表示为121212,zzyyxx，通常记为AB121212,zzyyxx特别，当A为原点0,0, 0时，即222,zyxOB.当已知一向量的起点和终点时，一般用上方带有箭符“”的小写字母表示，如,ba等. 一般情况下，),(111zyxA对应一个向量OA，222,zyxB对应一个向量OB ，这时，向量AB即是由OA，OB所决定，并令ABOBOA因为AB的分量由

16、OB的分量相应地减去OA的分量即得OB与OA的差特别地原点O 所对应的向量，称为零向量，记为0那么对于两个向量的差222,0zyxOBBO，记为OB，显然BO所表示的向量与OB的关于原点对称再进一步地有，OABO212121222111,zzyyxxzyxzyx，可以证明，ABOABO所对应的向量在OA，OB所确定的平面上并且与以OA，OB为相邻边的平行四边形OBCA的对角线OC所确定的向量OC是同一个向量如图1-4-1 图 1-4-1 因此我们有理由称OABO为OA加上OB的和从而有OAOBOABOOA（OB）212121,zzyyxx即两向量相加等于对应分量相加精选学习资料 - - - -

17、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载向量的加法满足交换律，结合律即对于任意的向量ba,，有abba；对于任意的向量cba,，有cbacba特别地，设点zyxP,，那么)2 ,2,2(),(),(zyxzyxzyxOPOP相似地，)3 ,3,3(),(),(),(zyxzyxzyxzyxOPOPOP若记OPOPOP2，那么)2,2,2(2zyxOP，OPOPOPOP3，那么)3,3,3(3zyxOP所以我们可以定义向量与数的乘积如下：定义 1.3 设c为任意实数，OPc即是c分别乘以OP的每一个分量，即),(czcycxOPc

18、从而可以很容易证明：OBcOAcOBOAc)(；对21,cc为实数有：OPcOPcOPcc2121)(；)()(2121OPccOPcc；OPOP) 1(若用OP表示有向线段OP的长度，那么OP222zyx即为点P到原点的距离从而可得，| OPcOPc,事实上，),(zyxOP,),(czcycxcOP222222|)()()(zyxcczcycxOPc，显然成立OPc的几何意义如下：如0c，那么OPc是以原点O为起点，点),(czcycxC为终点的有向线段, 而此是由OP线段或OP延长线上将OP扩大c倍后得到的 当0c时，OPc|OPc|)|(OPc显然是OPc|的关于原点对称的向量当0c时

19、，OPc就是零向量如上所示，对于两个向量OA、OB具有同一起点O， 他们的关系有共线；或者由OA和OB能唯一地确定一个平面在此平面上， 以OA、OB为相邻的两边唯一地决定了一个平行四边形OBCA如图 1-4-2图 1-4-2 如果OA垂直OB记为OAOB，我们有下面的结论：定理 1.3 OAOB的充分必要条件是0212121zzyyxx证明如果OAOB，那么由OA、OB为相邻的两边所确定的平行四边形为矩形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载所以对角线向量ABOBOA与OCOBOA的长度是相同的即|

20、OCBA，而BA212121,zzyyxx，OC212121,zzyyxx22122122122221221221)()()(|)()()(zzyyxxOCBAzzyyxx展开之后，再化简得到：0212121zzyyxx反之很容易得到| BAOC，即平行四边形两对角线相等所以此平行四边形为矩形从而OAOB一般情况下，设OA，OB的夹角为，有时也记为OA，OB如20，过B作 OA 的垂线交OA于D 点（如图1-4-3 ） ，那么cos|OBOD，|cos|OAOAOBOD，)0(OA注意到ODOBDB，即111212121222222,coszyxzyxzyxOD图 1-4-3 若令c21212

21、1222222coszyxzyx，则121212,czzcyycxxDB，111,czcycxOD，由定理知，0)()()(112112112czczzcycyycxcxx，故0212121212121czzzcyyycxxx，即coscos)(222222212121212121212121OBOAzyxzyxzyxczzyyxx为此，为了方便起见，定义OAOB为此对应分量乘积之和,即OAOB212121zzyyxx，这种运算被称为两个向量OA与OB的数量积，由此可得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页优秀学习资

22、料欢迎下载OBOAOBOAOBOAcos,cos所以有推论：OAOB的充分必要条件是OAOB如果OA与OB的夹角为零时，称OA平行于OB，记为OAOB,所以OAOB的充分必要条件是OBOAOBOA|从数量积的定义可以看出它在物理上的应用一个物体在常力F的作用下， 沿直线从点1M移动到点2M，则力F所做的功为2121cosMMFMMFW，其中为F与直线的夹角21MM表示位移另外，数量积还有满足交换律、分配律定理 1.4 1） 若,ba为任意两个向量， 则abba； 2） 若cba,为任意三个向量， 则cbcacba3）对于任意的常数，)()()(bababa证明只证明 2） ,设321,aaaa

23、，321,bbbb，321,cccc，那么cbcacbcbcbcacacacbcacbcacbcacccbababacba)()(),(),()(332211332211333322221111321332211得证对于向量a、b，它们的夹角为，称cosa为a在b上的投影，记为cosPraab设向量zyxa,求a与三个坐标轴的夹角的余弦解 以一般的记号，记zyx,轴的正方向的单位向量分别为0 ,0, 1i，0, 1 ,0j，1 , 0, 0k（以后还要用到），并令它们与向量a的夹角分别是,，那么222|coszyxxaiai；222|coszyxyajaj；222|coszyxzakak从上面

24、的例子可以很容易的看出：若称,为a的方向角时，则向量a的方向角,都满足：1coscoscos222， 并且xaiPr，yajPr，zakPr， 为方便起见， 称cos,cos,cos为a的方向余弦常用它们表示a的方向即acos,cos,cos，且方向相同，以上的概念结果完精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载全可以推广到nR中去，由读者自己推广向量积为了研究两向量的另外一种运算向量积，先介绍一下二、三阶行列式的定义. 定义 1.4 已知四个数22211211,aaaa，用记号22211211aaa

25、a（称为二阶行列式）表示数22211211aaaa。当已知个数333231232221131211,aaaaaaaaa时，用332331232221131211aaaaaaaaa（称为三阶行列式）表示这样一个数323122211333312312123332232211aaaaaaaaaaaaaaa，一般情况下，已知2n个数，nnnnnaaaaaa,.,.,.,2111211, 则称下面等号左边的记号为n阶行列式，并有：.)1(.121122221111211112122231223211232333322232211212222111211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

26、aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa例 1.7 求二阶行列式31721和三阶行列式014502111解31721=311472131；014502111=232)20(5140210452)1(01501下面从物理中的一个例子来引入两个向量的向量积设O 为一根杠杆的支点，有一个力F作用于这个杠杆 L 上的点P处，力F与 OP 的夹角为，那么有力学规定支点O 的力矩是一个向量M，它的模为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载sinFOPM，如图 1-5-1图

27、 1-5-1 而M的方向垂直于OP与F所决定的平面，满足由OP到F的右手规则，即当大拇指与另外四个手指垂直时，这四个手指从OP以不超过的角转向F握拳时，大拇指的指向即是M的方向见图1-5-1可记MOPF要注意的是：OP与F交换后可能改变M的方向 例OP与F均不为零向量M的指向是右手规则中从第一个向量转到第二个向量即由OP转到F而对于FOP而言，此向量的方向是由F转到OP，正好与OPF的方向相反不过两个模是相同的因此OPFFOP定义 1.5 设a，b为两个向量，称向量c为a与b向量积，若c的模为sinba（ba,） ，方向是右手规则中四指由a转到b时的大拇指的指向记为c=ab由定义可知：对于任意

28、的向量a，b，c，有abba；若ab时，ba0；设c为一个向量，（ab）cacbc；为数，（a）ba（b）（ab） ；kji；ikj，ikj；对222111,zyxbzyxa，有kzjyixa111，kzjyixb222；jkyzikxzkjzyijxykizxjiyxkkzzjjyyiixxba212121212121212121kyxyxjxzxziyzzy)()()(121112212121为了帮助记忆，当把kji,看作数时，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载ab222111zyxzy

29、xjji设3,2, 1A，)5,4, 3(B，和)7,4 ,2(C，求三角形的面积解：ABC的面积sin21ACABACAB21kji264214,2, 12,2,22114下面介绍三向量111,zyxa，222,zyxb，333,zyxc的混合积及其几何意义：称数dcba为此三个向量的混合积，且有d333222111zyxzyxzyx由向量积和数量积的定义可以知道：图 1-5-2 cos)sin(coscbacbacba这里为c与ab的夹角，是a与b的夹角从几何上来说，cba是由a，b，c做为相邻的三个棱的平行六面体的体积（如图1-5-2） 平面及其方程在立体几何中， 点、直线、 平面均为几

30、何元素而一平面是由不共线的三个点唯一确定的设一个平面，过不共线的三个点),(1111zyxP，),(2222zyxP，),(3333zyxP，注意到立体几何中的定理：如果一直线垂直于一平面上的两条不同的相交直线，则垂直于平面上任何一条直线这条直线我们称为此平面的法线，与这条直线平行的向量我们称之为法向量显然3121PPPP就是平面的法向量一般情况下，设),(CBAn是平面的法向量平面过一点),(0000zyxP，点),(zyxQ是平面上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载任意一点，那么n一定垂直

31、与QP0，即nQP0，所以有0,000zzyyxxCBA（ 1.6.1） 即0)(000CzByAxCzByAx（1.6.2）当记)(000CzByAxD时，有0DCzByAx（1.6.3）可以证明：空间中任意一点Q，如果nQA，则Q一定在平面P 上，就是说以n为法向量的过0P的平面方程是0DCzByAx反过来，已知一个形如（1.6.2）的方程，所有满足方程的点zyx,就形成了一个平面此平面经过点0P，法向量为CBA,（其中CBA,0） ，称此为过点0P以n为法向量的平面的点法式方程求过三点)3 ,2,0(),2, 3, 1(),4, 1, 2(321MMM的平面方程解法一： 设其方程形如 （

32、1.6.2） ，将1M，2M，3M的坐标代入 （1.6.2） ，得到关于DCBA,的方程组 从而可以得到平面的方程解法二：向量 6;4; 321MM， 1; 3; 231MM，那么21MM1, 9,1431MM就是法平面的法向量， 故由（1.6.1）即点法式， 得0)4()1(9)2(14zyx，即015914zyx从（ 1.6.1）和 (1.6.2)可知， (1.6.1)可化为 (1.6.2)，而 (1.6.2)也可以化为 (1.6.1)例题：将平面01532zyx化为点法式解取平面上的一点0 ,1,1，即有0105)1(312与原方程相减，即得0)0(5)1(3)1(2zyx这就是平面的点

33、法式方程从平面的一般方程0DCzByAx，可以得到如0D，则平面过原点如0A，则平面的法向量为CB,0，此法向量垂直与x轴即平面平行于x轴如0BA，则法向量为c,0,0，平行与z 轴所以此平面平行与xOy 平面设平面与zyx,轴的交点依次为cRbQaP,0,0,0 ,0,0,0 ,，0abc,求此平面的方程解设此平面的方程为0DCzByAx，将P点的坐标代入，得0DAa，即aDA；同理可求得，bDB，cDC，由条件可知，D不能取 0，将CBA,代入原方程得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载1c

34、zbyax这个方程叫做平面的截距式方程cba,分别叫做平面在zyx,轴上的截距设两平面的方程为：0:0:2222211111DzCyBxADzCyBxA求1与2的夹角解由立体几何可知，1与2的夹角就是这两个平面的法向量21,nn的夹角,1111CBAn，,2222CBAn，所以2222222121212121212121|coscosCBACBACCBBAAnnnn特别，若1与2平行，则0, 1cos，若1与2垂直，有2,0cos例如，1：062xyx，2：052zyx， 两平面的夹角， 则有21cos， 从而3设平面：0DCzByAx，),(000zyxP是空间中的一点，求点P到平面的距离图

35、 1-6-1 解：P到的距离，就是过点P作的垂线的垂足0P到P的距离0PP在平面上任取一点),(1111zyxP，即有0111DCzByAx，那么1PP到n上的投影的绝对值就是0PP（如图 1-6-1） 即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页优秀学习资料欢迎下载222000222101010110101011110)()(|,cos|Pr|CBADCzByAxCBAzzCyyBxxAPPnzzyyxxCBAPPPPnPPPPPPn例如，当平面的方程为)1 , 1 ,2(,01Pzyx时，点P到平面的距离为333)1(1111)1(1121222d精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页