人教版九年级数学上册22.1.3 《二次函数y=a(x-h)2+k的》课件.ppt

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1、第二十二章 二次函数,人教版九年级数学上册,22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质,第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质,1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点） 3.理解y=ax与 y=ax+k之间的联系.（重点）,情境引入,x,y,导入新课,做一做：画出二次函数 y=2x , y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.,3.5,1,-0.5,1,-0.5,-1,3.5,5.5,1.5,3,1.5,1,3,5.5,讲授新课,y=2x2+

2、1,y=2x2,y=2x2-1,观察上述图象，说说它有哪些特征.,探究归纳,解：先列表：,例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象,描点、连线，画出这两个函数的图象,观察与思考,抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？,向上,向上,（0,0）,（0,1）,y轴,y轴,想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a0) 的性质是什么？,y,-2,-2,4,2,2,-4,x,0,做一做 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象：,根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向_; (3)对称轴都是_ (4) 从上而下顶点坐标分别是 _,抛物线,向下,直线x

3、=0,( 0,0),( 0，2),( 0,-2),(5)顶点都是最_点，函数都有最_值，从上而下最大值分别为_、_ (6) 函数的增减性都相同： _ _,高,大,y=0,y= -2,y=2,对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小,二次函数y=ax2+k（a 0）的性质,知识要点,例2：已知二次函数yax2+c,当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则当xx1+x2时，其函数值为_.,解析：由二次函数yax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x20.把x0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.,c,【方法总结】二次函数yax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两

4、部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数,解析式,y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1,+1,-1,点的坐标,函数对应值表,4.5,-1.5,3.5,5.5,-1,2,1,3,x,2x2,2x2-1,(x, ),(x, ),(x, ),2x2-1,2x2,2x2+1,从数的角度探究,2x2+1,y = 2x21,y = 2x21,可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.,下,y=2x2+1,上,从形的角度探究,二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到

5、： 当k 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k 0 时,向下平移-k个单位长度得到.,二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a 0）的图象的关系,上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减.,知识要点,二次函数y3x21的图象是将() A抛物线y3x2向左平移3个单位得到 B抛物线y3x2向左平移1个单位得到 C抛物线y3x2向上平移1个单位得到 D抛物线y3x2向上平移1个单位得到,解析：二次函数y3x21的图象是将抛物线y3x2向上平移1个单位得到的故选D.,练一练,D,想一想 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？,2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？

6、它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？,第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移k 单位.,第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.,a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.,例3：如图，抛物线yx24与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且SPAB4，求P点的坐标,解：抛物线yx24，令y0，得到x2或2， 即A点的坐标为(2，0)，B点的坐标为(2，0)， AB4. SPAB4，设P点纵坐标为b， 4|b|4，|b|2，即b2或2. 当b2时，x242，解得x ， 此时P点坐标为( ，2)，( ，2)； 当b2时，x242，解得x ， 此时P点坐标为

7、( ，2)，( ，2),当堂练习,1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物 线 ,2.填表：,y = 2x2,向上,向上,向下,（0,0）,(0,1),(0,-5),y轴,y轴,y轴,有最低点,有最低点,有最高点,3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) _（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k_；若顶点位于x轴上方，则k_；若顶点位于x轴下方，则k .,在,=2,2,2,5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：,（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=

8、-x2.,（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .,（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.,向下平移1个单位.,0,=0,1,(0,1),(-1,0),(1,0),开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.,6.在同一直角坐标系中，一次函数yaxk和二次函数yax2k的图象大致为(),方法总结：熟记一次函数ykxb在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键,D,能力提升 7.对于二次函数y=(m+1

9、)xm2-m+3,当x0时y随x的增大而增大，则m=_. 8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2） 则a=_. 9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_.,2,-2,8,二次函数y=ax2+k（a0)的图象和性质,图象,性质,与y=ax2的关系,开口方向由a的符号决定； k决定顶点位置； 对称轴是y轴.,增减性结合开口方向和对称轴才能确定.,平移规律： k正向上； k负向下.,课堂小结,第二十二章 二次函数,人教版九年级数学上册,22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质,第2课时 二次函

10、数y=a（x-h)2的图象和性质,情境引入,学习目标,1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.(难点） 3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系.,导入新课,复习引入,向上,向下,y轴（直线x=0）,y轴（直线x=0）,（0,c）,（0,c）,当x0时，y随x增大而增大.,当x0时，y随x增大而减小.,x=0时，y最小值=c,x=0时，y最大值=c,问题1 说说二次函数y=ax2+c(a0)的图象的特征.,问题2 二次函数 y=ax2+k(a0)与 y=ax2(a 0) 的图象有何关系？,答：二次函数y=ax2+k(a 0)的图

11、象可以由y=ax2(a 0) 的图象平移得到： 当k 0 时，向上平移c个单位长度得到. 当k 0 时，向下平移-c个单位长度得到.,问题3 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？,讲授新课,互动探究,引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象,解：先列表：,描点、连线，画出这两个函数的图象,向上,向上,y轴,x=2,(0,0),(2,0),根据所画图象，填写下表：,想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？,试一试：画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点,2,4.5,2,0,0,2,2,4.5,0,x,y,8,向下,直线x=-1,( -1 ,

12、0 ),直线x=0,直线x=1,向下,向下,( 0 , 0 ),( 1, 0),二次函数 y=a(x-h)2(a 0)的性质,知识要点,若抛物线y3(x )2的图象上的三个点，A(3 ，y1)，B(1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为_,解析：抛物线y3(x )2的对称轴为x ，a30，x 时，y随x的增大而减小；x 时，y随x的增大而增大点A的坐标为(3 ，y1)，点A在抛物线上的对称点A的坐标为( ，y1)10 ，y2y3y1.故答案为y2y3y1.,练一练,y2y3y1,向右平移 1个单位,想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？,向左平移 1个单位,知识要点,二

13、次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系,可以看作互相平移得到.,左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变.,y=a(x-h)2,当向左平移 h 时,y=a(x+h)2,当向右平移 h 时,y=ax2,例1. 抛物线yax2向右平移3个单位后经过点(1，4)，求a的值和平移后的函数关系式,解：二次函数yax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为ya(x3)2， 把x1，y4代入，得4a(13)2， ， 平移后二次函数关系式为y (x3)2.,方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，

14、即“左加右减”,将二次函数y2x2的图象平移后，可得到二次函数y2(x1)2的图象，平移的方法是() A向上平移1个单位B向下平移1个单位 C向左平移1个单位D向右平移1个单位,解析：抛物线y2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y2(x1)2的顶点坐标是(1，0)则由二次函数y2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y2(x1)2的图象故选C.,练一练,C,1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 . 2.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_，顶点是_. 3 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，

15、则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_.,当堂练习,y=-(x+3)2或y=-(x-3)2,y1 y2 y3,4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.,向上,直线x=3,( 3, 0 ),直线x=2,直线x=1,向下,向上,(2, 0 ),( 1, 0),5.在同一坐标系中，画出函数y2x2与y2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系,解：图象如图. 函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.,y = 2x2,2,复习y=ax2+k,探索y=a(x-h)2的图象及性质,图象的画法,图象的特征,描点法,平移法,开口方向,顶点坐标,对称轴,平移关系

16、,直线x=h,（h,0）,a0,开口向上 a0,开口向下,y=ax2,课堂小结,平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变.,第二十二章 二次函数,人教版九年级数学上册,22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质,第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,学习目标,1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a 0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a 0)的图象的性质并会应用.(重点） 3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a 0)与y=ax2 (a 0)之间的联系.（难点）,导入新课,复习引入,1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值

17、和增减变化情况:,(1)y=ax2 (2)y=ax2+k (3)y=a(x-h)2,2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？,3.把y=-2x2的图像,向上平移3个单位,y=-2x2+3,向左平移2个单位,y=-2(x+2)2,4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？,O,X,y,3,-2,O,y,3,-2,X,讲授新课,例1 画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.,探究归纳,解: 先列表,再描点、连线,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,直线x=1,开口方向向下；

18、对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-1),试一试 画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.,开口方向向下； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2),二次函数 y=a(x-h)2+k（a 0）的性质,知识要点,顶点式,例1.已知二次函数ya(x1)2c的图象如图所示，则一次函数yaxc的大致图象可能是(),解析：根据二次函数开口向上则a0，根据c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c0，故一次函数yaxc的大致图象经过第一、二、三象限故选A.,典例精析,A,例2. 已知二次函数ya(x1)24的图象经过点(3，0) (1)求a的值； (2)若A(m

19、，y1)、B(mn，y2)(n0)是该函数图象上的两点，当y1y 2时，求m、n之间的数量关系,解：(1)将(3，0)代入ya(x1)24， 得04a4，解得a1；,(2)方法一： 根据题意，得y1(m1)24，y2(mn1)24， y1y2， (m1)24(mn1)24，即(m1)2(mn1)2. n0，m1(mn1)，化简，得2mn2；,方法二： 函数y(x1)24的图象的对称轴是经过点(1，4)，且平行于y轴的直线， mn11m，化简，得 2mn2.,方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式,例3 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管

20、.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?,C(3,0),B(1，3),A,解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.,因此可设这段抛物线对应的函数是,这段抛物线经过点(3,0)，, 0=a(31)23.,解得:,因此抛物线的解析式为:,y=a(x1)23 (0 x3).,当x=0时,y=2.25.,答:水管长应为2.25m.,向左平移 1个单位,探究归纳,怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？,平移方法1,向下平移 1个单位,怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？,平移方法2,向左平移

21、 1个单位,向下平移 1个单位,二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系,可以看作互相平移得到的.,y = ax2,y = ax2 + k,y = a(x - h )2,y = a( x - h )2 + k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,平移规律,简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变.,要点归纳,1.请回答抛物线y = 4(x3)27由抛物线y=4x2怎样平移得到?,由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.,2.如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.,练一练,当堂练习,向

22、上,( 1, 2 ),向下,向下,( 3 , 7),( 2 , 6 ),向上,直线x=3,直线x=1,直线x=3,直线x=2,(3, 5 ),y=3(x1)22,y = 4(x3)27,y=5(2x)26,1.完成下列表格:,2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1 个单位，那么所得抛物线是_.,4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 .,3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为_,5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.,y=a(x-h)2+k,课堂小结,一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,图象特点,当a0,开口向上；当a0,开口向下. 对称轴是x=h, 顶点坐标是（h,k).,平移规律,左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减.,