空间向量在度量问题中的应用ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一、空间两条直线所成的角：一、空间两条直线所成的角：),20( 所所成成角角为为与与设设空空间间直直线线ba),(),(22221111nmldnmld 和和别别为为它它们们的的一一个个方方向向向向量量分分).021 （的夹角为的夹角为与与dd ).2()20( 则则.coscos 于于是是我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东

2、西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、空间直线与平面所成的角。二、空间直线与平面所成的角。),20 （为为们们所所成成的的角角相相交交且且不不垂垂直直时时，设设它它与与平平面面当当直直线线l, 的的夹夹角角为为与与nd ).2(2)20(2 则则.cossin l nd的的一一个个法法向向量量，是是的的方方向向向向量量，是是 nld nd l lOPAA.,coscosdddddd 或或d我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物三、三

3、、 用向量法求二面角的大小用向量法求二面角的大小 1n2nl l 1n2nl l如图，二面角如图，二面角-l l-，平面，平面的法向量为的法向量为 ，平面平面的法向量为的法向量为 ，则二面，则二面角角-l l-为为 或或 。 1n2n 21n,n我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 l lACBD，则则二二面面角角的的大大小小为为若若 ,lBDlAC .,coscosBDACBDACBDAC .从垂足出发的向量从垂足出发的向量均为均为与与注：注：BDAC我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为

4、什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,1111111所所成成的的角角与与平平面面的的中中点点，求求：直直线线是是棱棱的的所所有有棱棱长长都都是是例例：已已知知正正三三棱棱柱柱AMCBBBAMaCBAABC A1B1C1ABCxyzM),0 ,4,43(),0 , 0(), 0 , 0(),0 , 0 , 0(11aaMaCaAA解解：建建系系如如图图，则则), 0 , 0(),0 ,43,43(), 0(1111aAABBaaMCaaAC ),.(1zyxnAMC 的的一一个个法法向向量量设设平平面面 yzyxayaxazayACnM

5、CnACn3043430111)1 ,1 ,3(,1,3,1 nzxy则则令令，则则所所成成角角为为与与平平面面直直线线，的的夹夹角角为为与与设设 111)1 , 1 ,3(),0 ,0(AMCBBnaBB .555cossin11 aanBBnBB .55arcsin11所所成成的的角角的的大大小小为为与与平平面面直直线线AMCBB我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物BAOBADPXY, PBBDA B0例1:(2002上海高考题)如图在直三棱柱ABO-ABO中,OO=4,OA=4,OB=3,

6、 AOB=90是侧棱上的一点, 为中点,若OPBD,求OP与底面AOB所成角的大小.ZO443),4 , 2 ,23(),0 , 0 , 3(DB解解：建建系系如如图图，则则), 0 , 3(zP设设), 0 , 3(),4 , 2 ,23(zOPBD 则则,890429 zzOPBDOPBD所所成成的的角角，与与底底面面为为平平面面AOBOPPOBAOBBB ,83tan OBPBPOBPOBRt中中，.83arctan所成的角为所成的角为与面与面AOBOP我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物

7、1100111112 : (2002,60 ,90 ,2,3.;(2)O A BO A BO B B OO A BO O BA O BO BO OO AOA BOA BA O111例年 上 海 春 季 高 考 题 )如 图 :三 棱 柱-平 面平 面且求 :(1)二 面 角的 大 小异 面 直 线与所 成 角 的 大 小 .1AAB1OXYZOB1111:(1),(0,0,0),(0,1, 3), ( 3,0,0)( 3,1 3), (0,2,0),(3,1, 3),(3,2,0)OOAOBx yOAOBzOOAABAOAB 解以 为 原 点 ,分 别 以所 在 的 直 线 为轴 ,过 点 且

8、 与 平 面垂 直 的 直 线 为轴 ,建 立 空 间 直 角坐 标 系 .如 图 所 示 .则223我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物11221212212121(0,0,1).( , , ).0,0.3230:,3,2,132012(2, 3,1).cos,4| |2 2,OZAOBnOABnx y znAOnABxyzyxzxynnnn nnnn 显然为平面的法向量取设平面的法向量为则即令2122arccos.arccos.44nOAB O 故二面角的大小为1AAB1OXYZOB1法法1

9、：法向量：法向量我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1AAB1OXYZOB1法法2：EF.,111的的大大小小所所成成的的角角即即为为二二面面角角与与则则向向量量于于于于作作OABOFOEOFABFOEABOE 32OABE32.732 ABOBOAOEAOBRt中，中，.73472732coscos ABOOEAOEOExE.7673732sin AOEOEyE).0 ,76,734(E)3, 1 , 0()0 , 0 ,3()0 , 2 , 0(我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么

10、把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)0 ,(yxF令令),0 , 2 ,3(),3, 1,(1 AByxFO1AAB1OZOB1EF32)3, 1 , 0()0 , 0 ,3()0 , 2 , 0()1(0)1(2311 yxABFOABFO)0 ,3(yxAF )2(233yxABAF )0 ,710,732()2)(1(F可可知知：由由),3,73,732(1 FO).0 ,76,734( EO我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.42

11、76734)3(7373203)76()73()734(732cos22222111 FOEOFOEOFOEO ，则则的的夹夹角角为为与与设设.42arccos故所求二面角的大小为故所求二面角的大小为我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1AAB1OOB123DM法法3:OBABOOOBB交交线线为为面面面面,11 ,11AOBDODOBDO面面则则于于作作 ,11ABMOMOMABDMD 则则连连于于作作过过.11的平面角的平面角是二面角是二面角OABOMDO 2060, 1,360sin201

12、1 ODDODOORt中中，OABDM311,73sin OBABDDMAOBRt中中，7733tan111 DMDOMDODMORt中中，.7arctan1的大小为的大小为故二面角故二面角OABO 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1AAB1OXYZOB122)3, 1 ,3()0 , 2 , 0()3, 1 , 0()0 , 0 ,3(71cos1111 AOBAAOBA )3, 1 ,3(),3, 1 ,3(A11 AOB则则.71arccosAOA11所成的角为所成的角为与与异面直线异

13、面直线B,AOA)2(11 所所成成的的角角为为与与设设异异面面直直线线B我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物ABCDM1A1CXYZ:( ), C解如图以 为原点建立空间直角坐标系.1111112 1 1,0,0), ( 2,1,0), (0,1,1), (, , ),2 2 222 1 1(,1,0),(, , ),( 2, 1, 1)22 2 211(0, ,),0,0.22,.,.BBADMCDABDMCD ABCD DMCDABCDDMAB DMBDMCDBDM ( 2则为平面内的两条

14、相交直线平面01111111112.(2004,90 ,1,2,1,.( );( ).ABCABCACBACCBAAAAB BDBCMCDBDMB BDCBD年高考题)如图 直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面求面与面所成二面角的大小B1)0 , 0 ,2()0 , 1 ,2()1 , 1 , 0()21,21,22()0 , 1 ,22(我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物11111113 2 1 1( ),(, , ).44 42 1 123 1(, , ),(, )2 2

15、244 40,.,3cos.3| |cBDGBGGBDBGBD BGBDBGCDBDCD BGCD BGCDBGarc 设的中点为 ,连结则又与的夹角 等于所求二面角的平面角.所求二面角的大小等于 -3os.3ABCDM1A1CGXYZB1)0 , 0 ,2()0 , 1 ,2()1 , 1 , 0()21,21,22()0 , 1 ,22(我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例4:在四面体在四面体P-ABC中中,APC=900,APB=600,PB=BC=4,PC=3,求二面角求二面角B-P

16、A-C的大小的大小.ABCP060443D,DAPBD于于解解：作作 . 所所成成角角与与大大小小为为向向量量的的二二面面角角PCDBCPABAPCP ,3260sin4sin0 BPAPBBDPBDRt中中，在在, 260cos0 BPDPPCDPBDBC ,2222222PCBDPCDPDPBDPCDPBDBC ),cos(332232)32(42222 .43arccos,43cos 二面角二面角B-PA-C的大小为的大小为arccos.43我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物如图，已知点

17、如图，已知点P P（x x0 0,y ,y0 0,z ,z0 0）, ,A A（x x1 1,y ,y1 1,z ,z1 1），平面），平面 一个法向量一个法向量。n cosAPnAPn AP,n ，其中，其中， ,APcosAPnn 的的距距离离。到到平平面面就就是是点点绝绝对对值值的的 PcosAPPA n三、求点到平面的距离三、求点到平面的距离我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物eAPnnAPd PA n三、求点三、求点P到到 平面的距离平面的距离 的的单单位位法法向向量量为为平平面面 e

18、 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例5、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平平面面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求的中点，求点点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。EDABCGFxyz解解:建系如图建系如图 ,则则G(0,0,2),B(0,4,0),A(4,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),2, 2 , 4(),2, 4 , 2( GFGE则：则：的法向量的法向量设平面设

19、平面),(zyxnEFG 02240242zyxGFnzyxGEn xzxy3)3 , 1 , 1(n 取取),2, 4 , 0( GB又又.11112 nnGBd.11112的距离为的距离为到平面到平面故点故点EFGB我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物四、求异面直线的距离四、求异面直线的距离nnEFd nabEF求两异面直线的求两异面直线的距离距离公式：公式：求两异面直线的求两异面直线的距离距离，先求公垂线的方向向量，先求公垂线的方向向量 , ,再求两异面直线上两点的连结线段在再求两异面直线

20、上两点的连结线段在 的射影长。的射影长。nn我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物XYZABCD1A1B1D1CMN., 2, 3, 4:61111111的的距距离离与与求求异异面面直直线线的的中中点点，、为为、中中，在在长长方方体体例例BAMNBBDCNMAAADABDCBAABCD ).2, 4 , 0(),1 , 2 , 3()1 , 4 , 0(),0 , 2 , 3(1 BAMNNM解解：建建系系如如图图，则则),(1zyxnBAMN 公垂线的方向向量公垂线的方向向量、设设 024023

21、001zyzyxBAnMNn则则)2,1 ,34(34,2,1 nxzy则则令令361 n的射影的长度为：的射影的长度为：在在又又nMA)2 , 2, 3(1 .616163614241 nnMAd.616161的的距距离离为为与与异异面面直直线线BAMN我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物ABCA1B1C1DEGYXZ.)2(.)1(.ABD, 2,90. 7111110111的的距距离离到到平平面面点点所所成成角角的的大大小小与与平平面面求求：的的重重心心上上的的射射影影是是在在平平面面点点

22、的的中中点点，与与分分别别是是、侧侧棱棱角角形形，中中，底底面面是是等等腰腰直直角角三三在在直直三三棱棱柱柱例例AEDAABDBAGABDEBACCEDAAACBCBAABC 2.ABDABGABG,(1)11所所成成的的角角与与平平面面是是则则连连解解：B A(,2CA则则建系如图，设建系如图，设a )0 , 0 ,2a)0 ,2 , 0(,aB)2 , 0 ,2(),1 , 0 , 0(1aAD(),1 ,(,GaaE)31,32,32aa)1 ,2, 0(),31,3,3(aBDaaGE 03232GE2 aBD由由1 a)31,34,32(),2 , 2, 2(1 BGBABGBABG

23、BABGA 111cos37 .37arccosABD1所成的角为所成的角为与平面与平面BA我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物ABCA1B1C1DEXYZ),1 , 1 , 1(),1 , 0 , 2()2( AEAD(2,0,0)(0,0,1)(1,1,1)则则的的法法向向量量为为设设面面),(zyxnADE 的的距距离离为为：到到平平面面点点ADEA1)2 , 0 , 0(1 AA 002zyxzxAEnADn xyxz2)2 , 1, 1(n1x 得得取取nnAAd 1362 我吓了一跳

24、，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物ABC1A1B1CFEDXYZ1:(1),BBA BC BBxyz 解以 为原点分别为 轴轴轴,建立空间直角坐标系,)2,22,22()2,2,0()2,0,2()1 ,22,0()0,2,0()2,0,0()0,0,0(111DCAECBB、则则)2,22,22(),1 ,22, 0( DCBE,1030523221,cos DCBE.1030arccos成成角角为为与与直直线线DCBE.BCAAF(3)AFDF,BCFF,AA(2)DCBE(1)BEA, 2BB2,

25、ACABCA-ABC811111111111的距离的距离到面到面的中点，求的中点，求为为若若说明理由；说明理由；的长，若不存在，的长，若不存在，若存在，求出若存在，求出面面使使上是否存在点上是否存在点在线段在线段所成的角；所成的角；与与求直线求直线的中点，的中点，为为的中点，的中点，为为形，形，为直角的等腰直角三角为直角的等腰直角三角中，底面是以中，底面是以：如图直三棱柱：如图直三棱柱例例FDCCDCB 22我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物ABC1A1B1CFEDXYZ则则的的法法向向量量为

26、为设设面面的的中中点点为为),()0 ,22,22()1 ,2,2(),1 , 0 ,2()2(11zyxnFDBBDCFFAAF )2, 1, 1(2, 1, 1 nzyx取取.2231 nnCFdDFBC的的距距离离到到平平面面点点)0 ,2, 0(), 0 ,2F(,BCF)2(1zDF 令令面面假假设设存存在在使使 ),2, 0 ,2(),2,2(1 zFBzCF0220CF21 zzFB由由.0方方程程无无实实根根，故故不不存存在在 020222211zxFBnyxDBn我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错

27、：表里边有一个活的生物例例9:已知平行六面体已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形的底面为正方形,O为下底面的中心，且为下底面的中心，且A1在在 底面底面ABC上的射影是上的射影是O.(1)若点若点E、F分别在棱分别在棱AA1、BC上，且上，且AE=2EA1,问点问点F在何处时，在何处时，EFAD？ (2)若若A1AB=600,求二面角求二面角C-AA1-B的大小的大小.A1ABCDB1C1D1OEF)(),()(),(),(),(,1)1(11EADCBAaOAAB则则建建系系如如图图，设设解解： xyz0 , 0 ,220 ,22, 00 , 0 ,22 0 ,22, 0

28、32, 0 ,62aa, 0 , 0)0 ,1122,122(, FFCBF则则令令)32,1122,62122(aEF )0 ,22,22( AD.2101121611210 ADEFADEF.ADEFBBCF 点点）时时，的的三三等等分分点点（靠靠近近为为点点我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物A1ABCDB1C1D1OEF(2)若若A1AB=600,求二面角求二面角C-AA1-B的大小的大小.060H,11BDOAABCBDABCOA 面面面面BDACABCD 中中，又又正正方方形形,1A

29、CABD面面 ,11AABHBHHAAOHO 则则连连于于作作过过.1的的平平面面角角为为二二面面角角BAACOHB ,2360sin,22B0 ABBHOBOHRt中中，在在.36sin BHOBOHB.36arcsin1的的大大小小为为故故二二面面角角BAAC 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例10. 四棱锥四棱锥P-ABCD的底面是边长为的底面是边长为a的正方形，的正方形，PB平面平面ABCD。求证：无论四棱锥的高怎样变化，面求证：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面与面PCD所成的

30、二面角恒大于所成的二面角恒大于90。CPDABxyz解：建系如图，则解：建系如图，则C(a,0,0),A(0,a,0),D(a,a,0),P(0,0,h)过点过点C作作CEPD于于E,连连AE,PDAEPCDPADPDPDCDADPCPAPBCRtPABRt 从而从而又又E我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.所所成成角角的的平平面面角角与与面面是是面面PCDPADAEC CPDABxyzE),(),(),(),(haaPDzayxAEzyaxCEzyxE 则则设设)1(0)( hzayaxaP

31、DCEPDCE)2(hzaayaaxPDDE )2,2,2()2)(1(2222223223hahahaahahaahaE 可可知知由由)2,2,2()2,2,2(22222322232222223223hahahaahaahaEAhahahaahahaaEC 0)2(2222246 hahaaEAEC故面故面PAD与面与面PCD所成所成的二面角恒大于的二面角恒大于90。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物CPDABEO解法解法2：由法（：由法（1）AEC是面是面PAD与面与面PCD所成所成二面角的平面角二面角的平面角.,90,0ECEAEOCOEODOC 且知且知都有都有无论棱锥的高怎样变化无论棱锥的高怎样变化, 1tan OEOCOEC,450 OEC.9020 OECAEC故面故面PAD与面与面PCD所成的二面角恒大于所成的二面角恒大于90。OEPDAECPD 面面