飞越北极_数学建模.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除训练题目：飞越北极学生学号：07500125 姓名：郭艳计通院信息与计算科学专业指导教师：黄灿云 （理学院） 2010年春季学期目录一 前言2二 飞越北极31 论文摘要32 问题重述与分析33 假设与模型43.1模型的假设43.2数据的说明43.3模型的建立与求解54 模型评价与推广7三总结8四 参考文献9五 附录9一 前言极地航路是指穿越极地区域的飞行，东航在中美之间的直飞，便选取北极上空的航路，常规的中美间跨太平洋上空的航路基本是通过一定弧度、围绕地球的同纬度飞行，而极地航路则是沿经线的竖直方向飞行，因此可以避免由此引起的中间经停。近几年中美

2、之间航空客、货运市场的不断增大，穿越北极上空的极地航路成为解决这一问题最经济、最有效的方法。据东航有关负责人透露，东航不久将开通上海直飞纽约、芝加哥、西雅图的航班。美西北航空公司负责人表示，“我们目前每周有四班到底特律的航班都是跨越极地飞行，使用的是波音747。如今这条航线确实特别具有市场竞争力，使得我们每班飞机的乘坐率上升了不少。”而且选择这条航线不仅能为乘客节约旅途时间，不用经受途中经停之苦，而且对普通乘客来说，从极地经过，还可以欣赏极地别具一格的景色，是趟不错的“极地之旅”。要完成极地航路飞行，航空公司必须具备相当的实力。因为极地航路具有一些常规航路所没有的困难：磁场强烈，对航空器通讯导

3、航设施有一定影响；常年低温使上空大气层温度达到零下6070摄氏度，比常规航路上的大气温度低1020摄氏度，使用普通航空燃油也可能造成一定影响。极地磁场的变化、地面导航设备的稀少也会对通讯造成干扰越北极开通北京纽约北京的往返直飞航班，在我国航空公司还是首次。20年前国航就开通了北京飞纽约的航班，1998年国航与美西北航实行代码共享后，航线由美西北航执行。从9月27日起，由国航继续飞这条航线。这对于国航连接北美、包括加拿大有关地区到中国北京的航路，为广大中外旅客提供方便快捷的空中通道，具有十分重要的意义。经北极航路直飞纽约，为旅客提供了多方面的便利。1981年1月，国航开通的跨太平洋经停旧金山到纽

4、约航线，以及后来经停安克雷奇到纽约的航班，旅途都长达17个小时。此次国航将要开通的北极航线，北京纽约，纽约至北京，单程仅需13小时，比过去减少了3个多小时的飞行时间。由于北京至纽约航线是直飞，免除了过去中途经停的诸多不便，减轻了旅客旅途的劳顿，给人以一登飞机，就将要到家的感觉。北极上空气流平缓，颠簸较少，也提高了旅客乘机的舒适度。另外，这条航线飞机较少，不存在其他航路空中通道拥挤的状况，同时也为航空公司节省了燃油，降低了飞行成本。国航经由北极航路执行正式航班，在国内航空公司中还属首家。北纬78度以北为北极飞行区域，由于气候寒冷，过去曾被视为飞行禁区。随着科学技术的发展，现在飞越北极已不再危险，

5、目前世界上有20多家航空公司经营着北极航线，每周有40有多个航班在北极上空穿梭。这条航路，多年来已经成为连接欧亚、美亚大陆的快捷空中通道。国航北极航路直飞纽约验证飞行的成功，表明国航有能力完成由北极航路直航纽约的飞行任务，展示了国航在飞行技术、运行管理、安全保障等方面的新水平，对国航成长和发展来说是一个重要的里程碑。北京航空航天大学飞行力学专家方振平教授认为：从经济角度讲，因为成本的降低和航线的选择有直接关系，极地飞行缩短了航程，节约燃油费用和起降费用，大大提高了效益降低了成本。将来每位乘客的机票价都可能降下来，对航空公司来说，极地航线的开辟，将提高中国民航在国际上的价格竞争力。从安全角度讲，

6、航程的缩短应该能提高安全系数，过去去美国我们要跨越太平洋，一方面是远，另一方面气流也大，而极地飞行与之相比应该更安全，因为极地飞行能减少高空风的影响。从技术角度讲，极地飞行克服了北极强烈地磁影响，跨越了一个技术门槛，是中国民航史上的一个里程碑。最后还要指出，这条航线因为是直飞，不必转机，比过去方便了不少。应该说当极地飞行成为中国民航的普通航线后，中美之间有了一条既安全又便捷又经济的通道。二 飞越北极1 论文摘要本文将“飞行时间节约4小时”的问题，在飞行速度恒定的条件下，转化为计算飞机航程的问题。通过采用计算机模型绘出的飞机飞行航线，建立了两个数学模型;并且通过对模型的分析，采用MATLAB 编

7、程计算球面距离。对于模型1 ，采用立体几何知识求球面距离的方法，得出从北京直接到底特律的时间为10.18734h ，而按飞机的原航线则至少需14.17793h ，所以至少节省时间为3.19059h。对于模型2 ，采用参数方程得出纬度与经度之间的函数关系，然后用积分方法求得球面距离，最后求出节省时间为4.12891h。 因此，通过对飞行航线和球体的分析可证明“飞越北极，可节省时间为4 小时”的命题。关键词：数学模型；球面距离；时间2 问题重述与分析2000年6月，扬子晚报发布消息：中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时，摘要如下：7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变

8、可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：A1 (北纬31度，东经122度)；A2 (北纬36度，东经140度)；A3 (北纬 53度，西经165度)；A4 (北纬62度，西经150度); A5 (北纬 59度，西经140度)；A6 (北纬 55度，西经135度)；A7 (北纬 50度，西经130度)；A8 (北纬 47度，西

9、经125度)；A8 (北纬 47度，西经122度)；A10 (北纬 42度，西经87度)。请对北京至底特律的飞行时间可节省4小时从数学上作出一个合理 的解释，分两种情况讨论：（1） 设地球是半径为6371千米的球体；（2） 设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。分析：根据飞行时间( T) =，V 是已知恒定的，所以T 主要取决于S ，于是问题的关键在于如何求得S。飞机飞行的最优弧我们可以理解为就是两点之间的球面距离，所以原航线的路程就是每两个路经之地的球面距离之和，新航线的路程就是北京与底特律的球面距离。3 假设与模型3.1模型的假设1.不考虑地球的自传。2

10、.飞机每经相邻两地的航程，均以曲面上两点间最短距离进行计算。3.飞机飞行中途不需降落加油，同时忽略升降时间。4.开辟新航线后，飞机由北京经过北极上空直飞底特律。5.在整个飞行途中飞机未遭遇到任何障碍物，各地的天气情况均良好且稳定，空气气流对飞机的阻力不变。6.飞机飞行的高度和速度大小相对于地球表面始终不变。7.飞机的航向是正对目的地的，重力对飞机的影响处处相同。8.飞机是直上直下的，按两地间的最优弧飞行。3.2数据的说明在以下计算中，北京是坐标用A0(400，1160)，底特律的坐标用A11(430，830)，飞机原航线途中符号约定如下表所示。纬度经度1 圆O1 所在平面的纬度，即OBO1r1

11、 O1 纬度圆的半径2 圆O2 所在平面的纬度，即OA O2r2 O2 纬度圆的半径A、B 两地的经度差，即B O1CL A、D 对应的球面距离A、B 对应的圆心角V 飞机的飞行速度T 飞机飞行L 所需时间t 飞机飞越北极至底特律所需时间t飞机按原来航线至底特律所需时间t 飞行节省时间R 飞机到地心的距离表一3.3模型的建立与求解模型：地球是半径为6371千米的球体。具体模型如图所示。由已知条件可知，根据飞行时间( T) =，V 是已知恒定的，所以T 主要取决于S ，于是问题的关键在于如何求得S。飞机飞行的最优弧我们可以理解为就是两点之间的球面距离，所以原航线的路程就是每两个路经之地的球面距离

12、之和，新航线的路程就是北京与底特律的球面距离。当地球是一半径为6371 km 的球体时，球面上任意两点之间的球面距离L可以根据公式L=来计算，所以必须知道两点所对应的圆心角度数与飞机到地心的距离R。（1） R的计算飞机到地心的距离由地球半径与飞行高度两部组成，即R=6371+10 = 6381 (km)（2）的计算利用立体几何知识求 图 1 模型1球体 作点A到圆O1 上的射影点C在BO1C 中用余弦定理可得：| BC| 2 = r21+ r22- 2 r1 r2cos在ABC 中用勾股定理可得：| AB| 2 = r21+ r22- 2 r1 r2cos+ R2 (sin2 - sin1)

13、2在AOB 中用余弦定理可得：|AB |2 = 2 R2 (1 - cos)其中r1 = Rcos1 ， r2 = Rcos2，最后求得：= arccos (sin1 sin2 + cos1cos2cos)（3） T 的计算T = （1）式（4）t 与t的计算把已知条件代入(1) 中，可得：用MATLAB 语言编程得到了t= 14.7793(h)见附录1(5) 可节省的时间计算t = t- t = 3. 9059 (h)模型：地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。具体模型如图所示。解法：当地球是一旋转椭球体时，设球心O到球面上任意一点的长度为，则这一点的参数方

14、程可表示为： 与椭球体方程联立得：（ a = 6388 ， b = 6367）设A1 、A2 的坐标为( x1 ， y1 ， z1 ) 、( x2 ， y2 ， z2 ) ，记过A1 、A2 ，O 的平面方程为： A x + B y + z = 0 (2)将A1 、A2 的坐标代入(2) 式得：利用MATLAB 软件计算得：Ai ，B i (见附录)。由曲线方程L：可得与的关系Acossin+ Bcoscos= sin，利用MATLAB 软件进一步计算得与的关系，所以L 的长度为：即可节省时间为：t = ( L - L 1) / V通过计算机模拟，可以求出t = 4.12891h见附录2 、3

15、。同时，根据各所经的地点的空间坐标绘出飞机航线。见附录44 模型评价与推广上述模型的建立与求解依据立体几何、参数方程和定积分的原理和方法，MATLAB 算法科学，符合实际，结果精确合理，模型的参数作适当的修改后，可用于航空控制系统。 模型1 中因地球是一球体，所以优点显而易见，计算步骤少，方法简单。 相比之下，模型2 的计算过程就繁琐复杂得多了，但模型2 却比模型1 更切合实际。由于在模型1 、模型2 中，均不考虑地球自转等多种因素对飞机的影响，所以结果会产生一定误差，建模中引进了参数方程的定积分求解比较精确地求出了时间T。三总结从7月3号开始，我全身心地投入学习、备战数学模型与数学软件综合训

16、练。学习的地点主要是在B馆机房中，整个过程下来，我最大的几点体会：合作意识，相互协作，互补不足；友情是良好合作的催化剂；学习的能力，个人的成长；合理的时间安排；正确的论文格式；算法的设计。我的题目是：飞越北极。在前期的准备中，我一头扎进了图书馆，一连看了好几本关于数学建模的书，通过网络，从互联网上获得了很多很多优秀的数学模型。短短两周里，我的学习态度有了很大的转变，初中过后，很少这样有激情地学过东西，这是第一次。我从理论数学看到应用数学，从优化问题看到模糊理论，更在老师，同学的帮助下，看懂了那篇matlab的程序，终于明白了模拟飞越北极节省时间的核心思想。数学建模是把现实世界中的实际问题加以提

17、炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，它是一门将数学综合应用到实际中解决实际问题的学科。建立模型就是对于现实中的原型为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设。运后适当的数学工具得到一个数学结构、它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。现实生活中处处都有数学，处处都存在着数模的思想，关键是我们缺乏一双发现数学知识的眼睛，缺乏实践操作的动手能力。数学建模课程虽开设的时间较少，然而其主要思想都已通过王教授那生动的讲述深入我的脑海，加上二次的亲自动手建模，那种用数学的眼光看待问题，分析问题、

18、提出问题、查找资料和自学等各方面的能力都有了长足的提高。通过这次有意义建模活动，使我对学习，创新和研究有了新的理解和认识。这是我第一次感受到数学的无处不在，无所不能。我觉得数学建模能为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会，培养学生的数学观念、科学态度和合作精神，激发学生的学习兴趣，培养学生认真求实、崇尚真理、追求完美、讲究效益、联系实际的学习态度和学习习惯。它能提高学生应用所学的数学知识解决实际问题的能力，从过去强调数学知识的“有用、可用”，到使学生所学知识的“想用、能用和会用”，让学生更多自主的实践，把学习知识、应用知识、探索发现、使用计算机、培养良好的科学态度与思维

19、品质更好地结合起来，使学生在问题解决的过程中得到学数学、用数学的实际体验，加深对数学的理解。最大的感悟就是，当时的学习不再是被动了，不再是为了应付那无聊的考试了，我是为了解决问题而学习的（而且是自己非常想弄清楚的问题）。在我看来，这才叫真正的学习。“一次建模，终生受益”。我衷心感谢数学建模课程，更由衷感谢老师的谆谆教导。四 参考文献 1 梁国业，数学建模，北京市：冶金工业出版社，2004年。 2 廖健平，MATLAB实用教程，北京：中国水利水电出版社，2008年。 3 包晔，江慧宏，周华莎，“飞越北极”的时间节省模型，第13卷第4期： 200年。 4 钟绍军，骆风银，飞越北极的数学模型， 20

20、10-7-2。 5 罗万成，大学生数学建模案例精选， 2007年。 6 叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材4， 2001年。五 附录 附录1a = 40. 255 31 36 53 62 59 55 50 47 47 42 a=a*pi/180 b=31 36 53 62 59 55 50 47 47 42 42 b=b*pi/180 c=5.54 18 55 15 10 5 5 5 3 35 3 c=c*pi/180 s=0 for i=1:11x(i)=sin(a(i)*sin(b(i);y(i)=cos(a(i)*cos(b(i)*cos(c(i);t(i)=acos(x(i)+y(i)

21、*6381/980;s=s+t(i)end附录2function z(n1,c1,c2)t2=58 40 15 30 40 45 50 55 58 93 96*pi/180;t1=63.54 58 40 15 30 40 45 50 55 58 93*pi/180;c1=40.255 31 36 53 62 59 55 50 47 47 42*pi/180;c2=31 36 53 62 59 55 50 47 47 42 42*pi/180;w=cos(c1)*cos(c2)*sin(t1)-cos(c1)*sin(t2)*cos(c2)*cos(t1);q1=sin(c2)*cos(c1)*

22、cos(t1)-sin(c1)*cos(c2)*cos(t2);q2=sin(c2)*cos(c1)sin(t1)-sin(c1)*cos(c2)*sin(t2);A=q1/wB=q2/wsyms n1 n2 ps2=solve(p2*(cos(n1)/6388)2+(sin(n1)/(6367)2)=1,p);s1=solve(A*cos(n1)*sin(n2)+B*cos(n2)*cos(n1)=-sin(n1),n2);syms x y z xx yy zz x=p*cos(n1)*sin(s1);y=p*cos(s1)*cos(n1);z=p*sin(n1);xx=diff(x,n1)

23、;yy=diff(y,n1);zz=diff(z,n1);L=0f=sqrt(xx2+yy2+zz2);for i=1:11s3(i)=int(f,c1(i),c2(i);L=L+s3(i)end附录3function z(n1,c1,c2)t2= 96*pi/180;t1=63.54 *pi/180;c1=40.255 *pi/180;c2= 42*pi/180;w=cos(c1)*cos(t2)*cos(c2)*sin(t1)-cos(c1)*sin(t2)*cos(c2)*cos(t1);q1=sin(c2)*cos(c1)*cos(t1)-sin(c1)*cos(c2)*cos(t2)

24、;q2=sin(c2)*cos(c1)sin(t1)-sin(c1)*cos(c2)*sin(t2);A=q1/wB=q2/wsyms n1 n2 ps2=solve(p2*(cos(n1)/6388)2+(sin(n1)/(6367)2)=1,p);s1=solve(A*cos(n1)*sin(n2)+B*cos(n2)*cos(n1)=-sin(n1),n2);syms x y z xx yy zz x=p*cos(n1)*sin(s1);y=p*cos(s1)*cos(n1);z=p*sin(n1);xx=diff(x,n1);yy=diff(y,n1);zz=diff(z,n1);L=0f=sqrt(xx2+yy2+zz2);L1=int(f,c1,c2);end附录4a1=40 30 36 53 0 62 59 55 47 47 42 42 a2=0 5.54 23.54 78.54 93.54 103.54 108.54 113.54 118.54 121.54 156.544 1590.54 z=6381*cos(z1)*cos(a1*pi/180) x=6381*sin(z1) y=a1*pi/180end【精品文档】第 7 页