群的阶与群中元素的阶的关系.doc

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1、群的阶与其元素的阶的关系摘 要近世代数虽是一门较新的，较抽象的学科，但如今它已渗透到科学的各个领域，解决了许多著名的数学难题:像尺规作图不能问题，用根式解代数方程问题，编码问题等等而群是近世代数里面最重要的内容之一，也是学好近世代数的关键本论文旨在从各个角度和方面来探讨群的阶与其元的阶之间的关系具体地来说，本文先引入了群的概念，介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中关于元的阶的情况并举了一些典型实例进行分析，之后又重点介绍了有限群中关于群的阶与其元的阶之间的关系的定理拉格朗日定理，得出了一些比较好的结论在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说，都占据着更为突

2、出的地位同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支因此，在本文最后，我们介绍了著名的有限交换群的结构定理，并给出了实例分析关键词：群论 有限群 元的阶AbstractThe Modern Algebra is a relatively new and abstract subject, but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well-known mathematical problems, such as, the impossibility for Ruler Mappin

3、g problem, the solutions for algebraic equations with radical expressions, coding problems and so on. The group is one of the most important portions in the Modern Algebra, and also the key of learning it well.This paper aims at discussing the relations between the order of a group and the orders of

4、 its elements from all the angles and aspects. Specifically, this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it; secondly focuses on the orders of the elements in the finite group and the infinite group respectively, some typical examples are listed for analyses; thirdl

5、y stresses on the theorem - Lagranges theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group, accordingly obtaining some relatively good conclusion.In the many branches of group theory, the finite group theory, whether from the theory itself or from

6、the practical applications, occupies a more prominent position. At the same time, it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years. Therefore, in this paper finally, we introduce the famous theorem of the structures on the finite exchanging gro

7、ups, and give several examples for analyses.Key words：group theory finite groups the orders of elements目 录 绪 论11.1 群论的概括11.2 群论的来源11.3 群论的思想22 预备知识22.1 群和子群22.1.1 群的定义22.1.2 群的阶的定义32.1.3 元的阶的定义42.1.4 子群、子群的陪集52.1.5 同构的定义62.2 不变子群与商群62.2.1 不变子群与商群62.2.2 Cayley(凯莱)定理72.2.3 内直和和外直积的定义83 群中元的阶的各种情况及其实例分

8、析83.1 有限群中关于元的阶93.1.1 有限群中元的阶的有限性93.1.2 有限群中关于元的阶及其个数的关系93.2 无限群中关于元的阶103.2.1 无限群G中，除去单位元外，每个元素的阶均无限103.2.2 无限群G中，每个元素的阶都有限103.2.3 G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元114 群的阶与其元的阶之间的关系114.1 拉格朗日(Lagrange)定理114.1.1 拉格朗日定理114.1.2 相关结论124.2 有限交换群的结构定理134.2.1 有限交换群的结构定理134.2.2 相关例子14参 考 文 献15致 谢16 绪 论本论文旨在综述群论

9、中关于群的阶与其元的阶之间的关系，并找出各种情况进行实例分析1.1 群论的概括群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的学科，它不仅在数学中居显著地位，而且在许多现代科学分支中居重要地位群论的概念和结果远不限于对几何学、拓扑学等纯粹数学方面的应用，实际上它已成为研究物质结构和物质微粒运动的有力工具随着科学技术的发展，群论的理论和方法获得了越来越广泛的应用，除了大家比较熟悉的对物理学、特别是理论物理学和结晶学的应用，它还渗透到计算机科学、通讯理论、系统科学、乃至数理经济等许多领域因此，今天需要掌握和了解群论知识的人越来越多1.2 群论的来源为什么正方形在我们看来是对称图形，圆是更为对称的图形，而数字

10、“4”就根本不对称？为了回答这个问题，我们来考虑使图形与其自身重合的那些运动容易了解，正方形的这样的运动有八个，圆有无穷多个这样的运动，而数字“4”只有一个，即所谓恒等运动，它使图形的每个点留在原位不动使某个图形自身重合的各种运动的集G，是对称性为大为小的一个特征：这样的集越大，图形就越对称在集G上按下列规则定义合成，即对其元素的运算：如果x，y是G的两个运动，那么所谓它们的合成结果就是等价于先作运动x，后作运动y的连接实施的运动例如，如果x，y是正方形相对于有关对角线的反射运动，那么就相当于绕中心转180的旋转显然，在G上的合成具有下列性质：；实际上，e可取恒等运动，而，即图形的每一点从新位

11、置还原到旧位置1.3 群论的思想在群的思想凝练成今天这样晶莹的瑰宝以前，需要几代数学家的辛勤劳动，总计花费了近一百个春秋从拉格朗日(Lagrange)自发地采用置换群以解决用根式解代数方程问题起(1771)，中间经过罗菲(Ruffin，1799)与阿贝尔(Abel，1824)，直到伽罗瓦(Galois，1830)在他的著作中已经足够自觉地应用群的思想(就是他首先引进群这个术语的)，这就是在代数方程论内这个思想发展的过程与此独立，由于其他原因，当19世纪中叶，在统一的古希腊几何舞台上出现了多种“几何”，尖锐地提出了研究它们之间的联系与“血缘”关系问题时在几何中出现了群现在群论是代数学发展最充分的

12、分支之一，无论在数学本身还是数学以外在拓扑学，函数论，结晶学，量子力学以及数学与自然科学其他领域中，都有许多应用2 预备知识 2.1 群和子群2.1.1 群的定义我们将群论的简介中的例子抽象出来就得到群的定义设是非空集合G的一个代数运算(我们常称作乘法)称(G，)为一个群，如果这个运算满足下列诸公理：；如果群G还满足：；则称(G，)为交换群，或者Abel群另若一个群G的每一个元都是某一个元a的乘方，这时我们把G叫做循环群我们也说，G是由元a生成的，并用符号G=表示，其中a叫做G的一个生成元例1（全体整数集，数的普通加法）显然满足公理G1G5，做成一个Abel群并且不难验证，它还是一个由整数1生

13、成的循环群即该群可用符号来表示例2设G=(a，b)|a，b为实数，且a不为0规定则G显然满足G1G4，做成一个群事实上，显然G非空又在G中任取(a，b)，(c，d)则a，b，c，d是实数且a，c均不为零于是ac，ad+b也均为实数且ac也不为零从而 例3（有理数集上行列式为1的2阶方阵的全体，矩阵的乘法）显然满足G1G4，但它不满足G5因为：所以它也只是一个普通的群2.1.2 群的阶的定义如果群G只有有限个元素，我们称它为有限群其元素的个数称为群G的阶，记为|G|，否则称它为无限群，记|G|=从前面我们举的例子（例1至例3）都是无限群下面我们举两个有代表性的有限群的例子例4模n的剩余类加群G包

14、含模n的n个剩余类我们要规定一个G的叫做加法的代数运算我们用a来表示a这个整数所在的剩余类我们规定：a+b=a+b (1)我们先看一看，这样规定的+是不是一种代数运算我们知道，假如aa，b b那么a=a，b=b照我们的规定，a+b=a+b (2)(1)，(2)两式的左端是一样的，如果它们的右端不一样：a+b a+b那么我们规定的+就不是代数运算了我们说这种情况不会发生因为a=a，b=b 就是说aa(n)，bb(n)也就是说n|(a-a)，n|(b-b)因此，能n|(a-a)+(b-b)，即n|(a+b)-(a+b)所以a+b=a+b，这样规定的+是G的一个代数运算而且a+(b+c)=a+b+c

15、=a+(b+c)=a+b+c(a+b)+c=a+b+c=(a+b)+c=a+b+c这既是说 a+(b+c)= (a+b)+c并且 0+a=0+a=a-a+a=-a+a=0所以对于这个加法来说，G做成一个群，这个群叫做模n的剩余类加群记为仔细研究这个群，它还是一个循环群，即=例5三次对称群一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换一个包含n个元素的集合的全体置换做成的群叫做n次对称群这个群我们用来表示容易知道n次对称群的阶为n!，即|=n!，当n=3时，就是三次对称群，下面我们将的元素一一列出=(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)依照群的定义，容易验证满足G1G4，做成一个群

16、但它不是一个Abel群因为2.1.3 元的阶的定义我们下面来看群G的一个元素a，能够使得的最小整数m叫做元a的阶，记为|a|=m如果这样的m不存在，我们说a是无限阶的，记为下面举两个关于阶的例子，希望读者对它有一个较好的理解：例6设G刚好包含的三个根：1，G对于普通乘法来说显然满足G1G4，做成一个群在这个群里面，1的阶为1，的阶为3，的阶也为3例7（非零有理数集，数的普通乘法）显然满足G1G5，做成一个Abel群在这个群里面除了1，-1外，其它元素皆为无限阶的另外，有关元的阶，我们还有以下几个比较好的结论结论1在群G中，若元a的阶为m，且，则m|n证我们采用反证法设m不整除n，由代数的基本知

17、识可知，又因为这与元a的阶为m矛盾，所以m整除n，即m|n结论2设G为群，aG，且|a|=n，则对任意的整数k，有证设（k，n）=d，不妨设k=d，n=d，且又因为 所以有设所以由结论1可知，n|km，即，所以又因为所以所以结论3在群G中，元素a的阶为n，b的阶为m若ab=ba，且(m，n)=1则证 首先由于|a|=n，|b|=m，故又由于ab=ba，故其次，设有正整数k，使则因ab=ba，故而|b|=m，所以m|kn又因为(m，n)=1，故m|k同理可证n|k由(m，n)=1得mn|k所以结论4在交换群G中，对任意的两个元素a，b都有证设|a|=m，|b|=n则由于G是Abel群，故从而即2

18、.1.4 子群、子群的陪集假设H是群G的一个非空子集如果对G中的代数运算H本身做成一个群则称H为群G的一个子群我们称G的子集与分别为子群H的左陪集、右陪集定理2.1 一个子群H的右陪集的个数和左陪集的个数相等证我们把H的右陪集所做成的集合叫做，H的左陪集所做成的集合叫做我们说， 是一个间的一一映射因为：所以右陪集Ha的象与a的选择无关，由1)，2) ,3)可知定理证毕一个群G的子群H的右陪集(或左陪集)的个数叫做H在G中的指数，记作G:H例如：2.1.5 同构的定义有了同构的定义，我们可以完全掌握循环群，下面的结论就巧妙地利用同构指出循环群只有两类结论5设为循环群则1)若不存在正整数n，使则与

19、整数加群同构2)若存在正整数n，使且n为最小则与n次单位根群同构证1)由题意知2)容易验证2.2 不变子群与商群2.2.1 不变子群与商群一个群G的子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个元a来说，都有Na=aN由于一个不变子群的左陪集与右陪集相同，所以我们可以称一个不变子群N的一个左（或）右陪集叫做N的一个陪集显然，对于Abel群来说，每一个子群都是一个不变子群我们看一个群G的不变子群N把N的所有陪集做成集合我们说，法则(xN)(yN)=(xy)N是一个乘法要看清这一点，我们只须证明，两个陪集xN和yN的乘积与x和y的选择无关让我们看一看：假定 xN= xN，yN= yN那么 但由于N是不

20、变子群，定理2一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说做成一个群证 我们证明不变子群的陪集满足群的定义G1G4G1) 由上边规定的乘法来说是显然的;G2) (xNyN)zN =(xy)N zN =(xyz)N xN(yNzN)= xN (yz)N= (xyz)NG3) eNxN=(ex)N=xN由G1G4可知，一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说做成一个群一个群的一个不变子群N的陪集所做成的群叫做一个商群这个群我们用符号2.2.2 Cayley(凯莱)定理对于同构，我们有下面的一个有趣的Cayley定理有了它，我们可以只研究变换群了定理3Cayley(凯莱定理) 任何一个群都同构于一个变换

21、群证明:假定G是一个群，G的元a，b，c，我们在G里任取一个元x出来，那么这个定理告诉我们, 任意一个抽象群都能够在变换群里找到一个具体的实例2.2.3 内直和和外直积的定义 子群，有了内直和的定义，下面我们来看外直积的定义算而写成的内直和在这个意义上，内直和、外直积是互通的，虽然内直和概念是属于结构理论的，而外直积是属于构造理论的3 群中元的阶的各种情况及其实例分析下面我们将从有限群、无限群两个角度来分析群中元的阶的各种情况，并举一些典型实例来说明3.1 有限群中关于元的阶3.1.1 有限群中元的阶的有限性在有限群中，有这样一个定理：每一个元的阶都有限定理4 在有限群G中，每一个元都是有限阶

22、的证 不妨设|G|=n，对，下面考虑集合由群G的封闭性G1可知，均属于G而|G|=n，所以必至少存在两个元素则所以a为有限阶的证毕例8令M是除去0，1以外的全体实数做成的集合，G为M的以下6个变换做成的集合：则G对变换的普通乘法显然满足G1G4，做成一个群单位元的阶为1，另三个元的阶均为2而的阶为3因为即在这个有限群中，每一个元素的阶均为有限3.1.2 有限群中关于元的阶及其个数的关系在有限群中，关于元的阶及其个数的关系，有较好的结论结论6在一个有限群里，阶数大于2的元素的个数一定为偶数证 假设G是一个有限群，a为G中任意一个阶数大于2的元素则显然但事实上，设反之，又设所以的阶也大于2又设b也

23、是G中一个阶大于2的元素，且这就是说，群G中阶数大于2的元素是成对出现的，由于群G为有限群，所以G中阶数大于2的元素的个数一定为偶数证毕推论 设G是一个偶数阶的有限群则G中阶为2的元素的个数为奇数事实上，由于单位元是群G中阶为1的唯一的元素，又由结论6知群G中阶为2的元素的个数为偶数，所以G中阶为2的元素的个数一定为奇数证毕 例如在前面所举的例5三次对称群中, 阶数大于2的只有 (123)，(132)两个, 为偶数 且该群中阶为2的只有(12)，(13)，(23)三个, 为奇数, 这验证了该结论的正确性3.2 无限群中关于元的阶由于在群中，单位元的阶为1，所以在无限群中关于元的阶大体上可分为以

24、下三种情况3.2.1 无限群G中，除去单位元外，每个元素的阶均无限这样的群确实存在像我们在例1中所举的整数加群，就是一个典型的例子任取整数a不存在正整数n，使na=1，即|a|=所以在这个无限群中，除去单位元1外，其余每个元素都是无限阶的3.2.2 无限群G中，每个元素的阶都有限例9，其中为全体n次单位根对普通乘法所做成的群则G显然满足G1G5，做成一个Abel群，且每个元素的阶都有限事实上，任取,必然存在故a为有限阶的另外，我们还可以举一个类似的例子例10考虑实数域上行列式为1的二阶方阵所作成的集合A，即则易知，A中的运算为：所以集合A对于这种运算显然满足G1G5，做成一个Abel群下面我们

25、将集合A按阶相同做一个等价划分即把阶相同的元素放在一个等价类里，那么可见，在这样一个无限群里，每个元的阶均有限3.2.3 G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元这样的例子我们以前也有举过，像例7的非零有理数乘群在这个群中，除单位元1的阶为1外，-1的阶为2，而其余每个元都是无限阶的4 群的阶与其元的阶之间的关系在由于在无限群中，|G|=此时，群的阶与其元的阶之间的关系没什么意义故本节主要探讨在有限群中，群的阶与其元的阶之间的关系4.1 拉格朗日(Lagrange)定理 在有限群中，关于群的阶与其元的阶之间的关系，有著名的拉格朗日定理4.1.1 拉格朗日定理引理1一个子群H与

26、H的右陪集Ha之间都存在一个一一映射证 是H与Ha间的一一映射因为：1) H的每一个元h有一个唯一的象ha；2) Ha的每一个元ha是H的元h的象；引理2假定H是一个有限群G的一个子群那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N，并且N=nj证 G的阶N既是有限，H的阶n和指数j也都是有限正整数G的N个元被分成j个右陪集，而且由引理1可知，每一个右陪集都有n个元所以N=nj因为N的指数就是N的陪集的个数，我们显然有商群的元的个数等于N的指数当G是有限群的时候，由引理2可知定理5(Lagrange定理)一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶证 a生成一个阶是n的子群，由引理2知，n整除|G

27、|证毕例11我们还是看例5中的和其子群H=(1),(12)的阶为6，H的阶为2，H的指数是3，2和3果然整除6，并且6=23的6个元是(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)它们的阶是1或2或3而整数1、2、3都整除整数6这当然验证了著名的Lagrange定理4.1.2 相关结论运用拉格朗日定理，我们可得以下几个较好的结论结论7阶为素数的群为循环群证 不妨假设|G|=P(P为素数)任取元素a，则由Lagrange定理可知，结论8证 任取一元素a，假设|a|=n，则由Lagrange定理可知，若j=1，则n=P就是群的一个P阶子群若j1，则结论9阶为6的交换群必为循环群证 不

28、妨假设|G|=6，任取G中元素a，设|a|=m，则由Lagrange定理可知，m|6所以m可取2或3或6若m=6，则G=是循环群若m=2，则为G的一个2阶循环子群但由于G为交换群，故则由Lagrange定理可知，|b|=3或者6若|b|=6，则G=为循环群若|b|=3，则由于|a|=2，而(2，3)=1，故由结论3可知，|ab|=6，从而G=为循环群若m=3，由于2和3的地位一样，所以的讨论包含了的讨论总之，G为循环群容易验证该结论条件中的交换群是必要的因为例5中的三次对称群的阶为6，但其不是交换群，并且它不是循环群，因为其中没有阶为6的元素有了这个结论，我们很容易得下面的推论推论：pq阶交换

29、群必为循环群，其中p, q为互异素数证 因为|G|=pq，任取G中元素a，设|a|=m，则由Lagrange定理可知，m|pq所以m可取p或q或pq若m=pq，则G=是循环群若m=p，则为G的一个p阶循环子群但由于G为交换群，故则由Lagrange定理可知，|b|=pq或者q若|b|=pq，则G=为循环群若|b|=q，则由于|a|=p，而(p，q)=1，故由结论3可知，|ab|=pq，从而G=为循环群若m=q，由于p和q的地位一样，所以的讨论包含了的讨论有兴趣的读者可再推导一次，增强自己的推理能力总之，G为循环群结论10在循环群中，除去单位元外，其余元素的阶都相同且有限当且仅当该循环群的阶为素

30、数证 4.2 有限交换群的结构定理本节我们将看到非常漂亮完整的有限交换群的结构定理由此，我们将具体地理解到什么是群的结构理论在本节中G表示交换群，群的运算记作加法“+”，简称加群4.2.1 有限交换群的结构定理前面我们有了内直和与外直积的定义，下面来简要介绍有限交换群的结构定理由于篇幅问题，我们不作证明，供读者欣赏，有兴趣的读者可见参考文献4定理6（有限交换群的结构定理）：有限交换群G可唯一分解为素数幂循环群的直和，若这是一个很值得玩味的结构定理读者可以把它和算术基本定理相比那里表示任意整数的基本构件是“素数”，构造方法是“乘积”，而这里则是：表示有限加群的基本构件是“素数幂阶的循环群”，构造

31、方法是“直和”在整数论中，自然数n的分解是，则在交换群论中，有限加群G的阶n的分解将是如果把n的因数和G的子群相类比，我们可以容易地证明下面的推论有兴趣的读者可以证明一下推论：G是有限加群，|G|=n，而m|n，则G中必有阶为m的子群4.2.2 相关例子我们称每个为群G的初等因子，而其全体为群的初等因子组例12在同构的意义下, 给出所有8阶交换群8阶交换群3个，即从而相应地，在同构意义下8阶交换群共有3个，即另外，对于8阶群，我们这儿举一个非交换群的例子设是由以下8个矩阵所组成的集合规定里面的乘法为普通乘法，则对于该乘法显然满足G1G4，做成一个群但它是一个非交换群因为例13在同构的意义下，利

32、用不变因子给出所有72阶交换群于是相应的不变因子组也有6种，即从而相应地，得互不同构的所有72阶交换群共有6个，即 小结：本论文先介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中元的阶的概念、群的阶与其元的阶之间的关系，并举了一些典型实例来说明它们之间的关系最后，介绍了著名的有限交换群的结构定理，以及它的典型实例参 考 文 献1 刘木兰、冯克勤编，群论，北京：国防工业出版社，1992，前言2 邓应生译，群论基础，北京：高等教育出版社，1994，绪论3 张禾瑞著，近世代数基础，北京： 高等教育出版社，19784 刘绍学编，近世代数基础，北京：高等教育出版社，19995 熊全淹编，近世代数，

33、武汉：武汉大学出版社，19846 聂灵沼，丁石孙编，代数学引论，北京：高等教育出版社，19887 Shafarevich I R Basic Notions of AlGebra, Encyclopedia of Mathematical Sciences. Berlin:SprinGer-VerlaG， 19908 万哲先编，代数和编码（修订版），北京：科学出版社，19809 Artin M .AlGebra.EnGlewood Cliffs:Prentice-Hall，199110 Nikulin V，Shafarevich I R. Geometries and Groups. BeijinG: SprinGer-VerlaG，WorldPublishinG Corporation，198911 潘承洞，潘承彪编，初等代数数论，山东：山东大学出版社，199112 杨子胥，宋宝和编著，近世代数习题解，济南：山东科学技术出版社，200413 杨子胥，近世代数，高等教育出版社，200014 吴品三，近世代数，高等教育出版社，197915 JSRose， course on Group theory，197816 杨子胥，关于循环环及其幂等元，数学的实践与认识，1985，3