同济大学线性代数教案第五章线性空间与线性变换.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除线性代数教学教案第五章 线性空间与线性变换授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题第五章 第一节 线性空间的定义与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点线性空间与子空间的概念、线性空间的性质教学难点线性空间、子空间的判定参考教材同济版线性代数武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解线性空间和子空间的概念；了解线性空间的性质。教 学 基 本 内 容一、 线性空间的定义：定义1：设是一个非空集合，为实数域. 对于任意两个元素，在中

2、总有唯一确定的一个元素与之对应，称为与的和，记作. 对于中任一数与中任一元素，在中总有唯一确定的一个元素与之对应，称为与的数量乘积，记作.如果这两种运算满足以下八条运算规律(设):(i) 加法交换律：；(ii) 加法结合律： ；(iii) 在中存在零元素；对于任何，都有是；(iv) 负元素：对于任何，都有是的负元素，使；(v) ；(vi) ；(vii) ；(viii) ；那么，就称为实数域上的线性空间. 二、线性空间的性质：性质1 零元素是唯一的.性质2 任一元素的负元素是唯一的（以后 将的负元素记作）.性质3 .性质4 如果，则或.三、线性空间的子空间：定义2：设是实数域上线性空间，是的一个

3、非空子集. 如果关于的加法和数乘运算也构成线性空间，则称是的一个子空间.定理 实数域上线性空间的非空子集成为的一个子空间的充分必要条件是关于的加法和数乘是封闭的.四、主要例题：例1 次数不超过的多项式的全体，记作，即，对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间. 例2 设集合是定义在区间上的连续实函数全体所成的集合，关于通常的函数加法和数乘函数的乘法构成线性空间. 例3 设是实数域上的矩阵全体所成的集合. 显然是非空的， 对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间. 特别地，也是实数域上的线性空间.例4 次多项式的全体对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间. 例5 个有序实数组成的数组的

4、全体对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法不构成线性空间.例6 正实数的全体，记作，在其中定义加法及乘数运算为验证对上述加法与乘数运算构成线性空间.例7 在实数域上线性空间中，对角矩阵所成的集合是的非空子集，且关于的加法和数乘是封闭的，所以是的一个子空间.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第五章 第二节 维数、基与坐标课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点线性空间的基、维数与坐标、基变换与坐标变换教学难点线性空间的基、基变换与坐标变换参考教材同济版线性代数武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微

5、积分标准化作业大纲要求了解线性空间的基、维数、坐标的概念；了解基变换与坐标变换；会求向量在给定基下的坐标。教 学 基 本 内 容一、线性空间的基、维数与坐标：定义1：在线性空间中，如果存在个元素满足(i) 线性无关；(ii) 中任一元素总可由线性表示，那么，就称为线性空间的一个基，称为线性空间的维数，记作。只含一个零元素的线性空间称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为0. 维线性空间也记作.定义2：设是线性空间的一个基，对于任一元素，总有且仅有一组有序数组，使，这组有序数就称为元素在基下的坐标，并记作.二、基变换与坐标变换设与是线性空间中的两个基，且(5-1)，则上式称为从基到基的基变换公式

6、，矩阵称为由基到基的过渡矩阵. 由于线性无关，过渡矩阵可逆.设中的元素在基下的坐标为，在基下的坐标为，且由基到基的过渡矩阵为矩阵，于是有坐标变换公式 或 .三、主要例题：例1 在线性空间中，就是它的一个基，任一不超过4次的多项式都可表示为因此在这个基下的坐标为.例2 在线性空间中，由于对任一向量有，且容易证明线性无关，所以是的一个基，向量在这个基下的坐标就是.例3 在中取两个基为，及，求从基到基的过渡矩阵，以及任一不超过4次的多项式在这两组基下的坐标和坐标变换公式.授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题第五章 第三节 线性变换课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教

7、学手段黑板多媒体结合教学重点线性变换的概念和性质、线性变换的矩阵表示教学难点线性变换的概念和性质、线性变换的矩阵表示参考教材同济版线性代数武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解线性变换的概念；会求线性变换的矩阵表示；了解线性变换的像空间、核和秩。教 学 基 本 内 容一、线性变换的定义：定义1：设分别是维和维线性空间，如果映射满足(i) 任给，有；(ii)任给（从而），有，那么，就称为从到的线性映射，或称为线性变换. 即线性映射就是保持线性组合的对应的映射. 特别地，如果取，那么是一个从线性空间到其自身的线性映射，称为线性空

8、间中的线性变换.二、线性变换的性质：性质1 ；性质2 若，则；性质3 若线性相关，则亦线性相关.性质4 线性变换的像集是一个线性空间，称为线性变换的像空间.性质5 使的的全体也是的一个线性子空间，称为线性变换的核.三、线性变换的矩阵表示式：设线性空间的一个基为，是 中的线性变换，则，矩阵称为线性变换在基下的矩阵.定理1 设线性变换在基下的矩阵是，向量与在基下的坐标分别为和，则有.按坐标表示，有定理2 设线性空间中取定两个基与，由基到基的过渡矩阵为，中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和，那么.四、主要例题：例1 设是实数域上的一个线性空间，对任意的，分别定义如下三个的映射：(1) ；(2) ，其中是中的零向量；(3) ，其中是固定的数.则这三个映射都是线性空间上的线性变换，分别称为的恒等变换、零变换和数乘变换.例2 在线性空间中(i) 微分运算是一个线性变换. (ii) 如果，那么是个变换，但不是线性变换.例3 在中定义映射为：，验证是上的线性变换. 这个线性变换的几何意义是：将平面上任一向量绕原点按逆时针方向旋转角.例4 设有阶矩阵，其中.定义中的变换为，验证为上的线性变换.例5 在中取基，求微分运算的矩阵.例6 设上线性变换定义为，分别求在基与基下的矩阵.例7 设上线性变换在基下的矩阵为，求在基下的矩阵. 【精品文档】第 8 页