211椭圆及其标准方程（24PPT）.ppt

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1、 用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到点时，可得到 ；当平面与圆锥面的轴垂直时，当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个截线（平面与圆锥面的交线）是一个 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：化情况，并思考： 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？何特征？两条相交直线两条相交直线圆圆椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线一、引入一、引入结论：平面内到两定点结论：平面内到两定

2、点F F1 1，F F2 2的距离之和等于常的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆。数的点的轨迹为椭圆。常数必须大于两定点的距离常数必须大于两定点的距离1 1、椭圆的定义：、椭圆的定义： 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离之的距离之和和等于等于常数常数（大于（大于|F1F2|）的动点）的动点M的轨迹叫做的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离，两焦点间的距离叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距|F1F2|=2c 。1F2FM几点说明：几点说明：1、椭圆定义式：椭圆定义式：|MF1| + |MF2| = 2a |F1F2|=2c.则则M点的轨迹是点

3、的轨迹是椭圆椭圆.2、若、若|MF1| + |MF2| = 2a = |F1F2|=2c ，则，则M点的轨迹是点的轨迹是线段线段F1F2.3、若、若|MF1| + |MF2| = 2a |F1F2|=4，故点，故点M的轨迹为椭圆。的轨迹为椭圆。(2)因因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹不是椭的轨迹不是椭圆圆(是线段是线段F1F2)。(3)因因|MF1|+|MF2|=32c)2a2c)的动的动点点M M的轨迹方程。的轨迹方程。解：以解：以F F1 1F F2 2所在直线为所在直线为X X轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2 的垂直平分线为的垂直平分线为Y Y轴

4、，轴，建立平面直角坐标系，则焦点建立平面直角坐标系，则焦点F F1 1、F F2 2的坐标分别为的坐标分别为(-c,0)(-c,0)、 (c,0)(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y) 设设M M（x,y)x,y)为所求轨迹上的任意一点，为所求轨迹上的任意一点，则则:|MF1|+ |MF2|=2a 且且2a2caycxycx2)()(:2222即2 2、椭圆标准方程及其推导、椭圆标准方程及其推导求曲线轨迹方程的步骤：求曲线轨迹方程的步骤：1 1、建系、建系 2 2、设标、设标 3 3、列式列式 4 4、化简、化简 5 5、检验（可省略不写）、检验（可省略不写）OXYF1F2M(-c,0)

5、(c,0)(x,y)两边平方得：两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a a2 2-c-c2 2=b=b2 2，其中b0，代入上式可得：12222byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)( :ycxycxaaycx两边平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以两边同时除以a a2 2b b2 2得：得：(ab0)这个方程叫做这个方程叫做椭圆的标准方程，椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的它所表示的

6、椭圆的焦点在焦点在x x 轴上。轴上。acbOXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0 , c)0( 12222babyax)0( 12222babxay椭圆的标准方程的几点说明：椭圆的标准方程的几点说明：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。（3 3）椭圆的标准方程中：）椭圆的标准方程中：x x2 2与与y y2 2的分母哪一个大，则焦点在的分母哪一个大，则焦点在 哪一条轴上，大分母为哪一条轴上，大分母

7、为a2 ，小分母为，小分母为b2.椭圆的标准方程椭圆的标准方程2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系a2-c2=b23 3、椭圆的标准方程小结、椭圆的标准方程小结|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)12yoFFMxy xoF2F1M例例2 2. .已已知知椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点坐坐标标分分别别为为（- - 2

8、2，0 0），5 53 3（2 2，0 0）并并且且经经过过点点（， - -），求求它它的的标标准准方方程程. .2 22 2例例3 3、椭圆的两个焦点的坐标分别是（、椭圆的两个焦点的坐标分别是（4 4，0 0），（），（4 4，0 0），椭圆上一点），椭圆上一点P P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于1010，求椭圆的标准方程。，求椭圆的标准方程。 例例4 4、动点、动点P P到两定点到两定点F F1 1(-4,0)(-4,0)，F F2 2(4,0)(4,0)的距离之和为的距离之和为8 8，则动点，则动点P P的轨迹的轨迹为（为（ ） A.A.椭圆椭圆 B.B.线段线段F F1 1F

9、 F2 2 C. C.直线直线F F1 1F F2 2 D. D.不能确定不能确定B2212 51 6xyB例例6、动点、动点P到两定点到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是的距离和是7，则动点，则动点P的轨迹为（的轨迹为（ ）A.A.椭圆椭圆 B.B.线段线段F F1 1F F2 2 C. C.直线直线F F1 1F F2 2 D. D.无轨迹无轨迹D例例2.2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0),(2,0),),(2,0),并且经过点并且经过点 , , 求它的标准方程求它的标准方程. .)23,25(解法一解法一: :因为椭圆的焦点在因为

10、椭圆的焦点在x轴上轴上, ,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为).0( 12222babyax由椭圆的定义知由椭圆的定义知102)23()225()23()225(22222 a所以所以.10 a又因为又因为 , ,所以所以2 c. 6410222 cab因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为. 161022 yx例例2.2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0), (2,0), ), (2,0), 并且经过点并且经过点 , , 求它的标准方程求它的标准方程. .)23,25(解法二解法二: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴

11、上轴上, ,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为).0( 12222 babyax)0 , 2(),0 , 2( 焦点的坐标分别是焦点的坐标分别是又又2 c422 ba1)()(22232225 ba又由已知又由已知联立联立,61022ba，解得因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为. 161022 yx求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a、b的值，的值， 写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程.例例3椭圆的两个焦点的坐标分别是（

12、椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。 12yoFFMx解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 ) 0( 12222babyax192522yx2222分分析析：点点P P在在圆圆x +y =4x +y =4上上运运动动, ,点点P P的的运运动动引引起起点点MM的的运运动动. .我我们们可可以以由由MM为为线线段段PDPD的的

13、中中点点得得到到点点MM与与点点P P坐坐标标之之间间的的关关系系式式, ,并并由由点点P P的的坐坐标标满满足足圆圆的的方方程程得得到到点点MM的的坐坐标标所所满满足足的的方方程程. .2 22 2例例4 4. .在在圆圆x x + +y y = =4 4上上任任取取一一个个点点P P，过过点点P P作作x x轴轴的的垂垂线线P PD D，D D为为垂垂足足. .当当点点P P在在圆圆上上运运动动时时，线线段段P PD D的的中中点点M M的的轨轨迹迹是是什什么么? ?为为什什么么? ?0 00 00 00 02 22 20 00 02 22 20 00 00 00 02 22 22 22

14、2解解 : : 设设点点的的坐坐标标为为( (x x, ,y y) ), ,点点的的坐坐标标为为( (x x , ,y y ) ), ,则则y yx x = = x x , ,y y = =. .2 2因因为为点点( (x x , ,y y ) )在在圆圆x x + + y y = = 4 4上上，所所以以x x + + y y = = 4 4. .把把x x = = x x, ,y y = = 2 2y y代代入入方方程程, ,得得x x + +4 4y y = = 4 4, ,即即x x+ + y y = =1 1. .4 4所所以以点点的的轨轨迹迹是是一一个个椭椭圆圆. .1 1、建系、

15、建系 2 2、设标、设标 3 3、列、列式式 4 4、化简、化简 5 5、检验、检验（可省略不写）（可省略不写）例例5、如图，设点、如图，设点A，B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0),(5,0)。直线直线AM，BM相交于点相交于点M，且它们的斜率之积是，且它们的斜率之积是 ，求点，求点M的轨迹方程。的轨迹方程。49解：设点解：设点M的坐标为的坐标为(x,y)，因为点，因为点A的坐标是，所以直线的坐标是，所以直线 AM的斜率的斜率(5);5AMyxxk 同理，直线同理，直线BM的斜率的斜率(5);5BMyxxk由已知有由已知有4(5)559yyxxx 化简，得点化简，得点M的轨迹方程为的轨迹方

16、程为221(5).100259xyx 2222xyxy例例3.3.若若+=1,+=1,表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnm,nm,n满满足足什什么么条条件件，并并指指出出焦焦点点坐坐标标. .2222xyxy解解：若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnmn0,mn0,且且c =m-n,c =m-n,所所以以，焦焦点点坐坐标标为为( m-n,0),(- m-n,0).( m-n,0),(- m-n,0).2 22 2变变式式引引申申: :若若焦焦点点在在y y轴轴上上；如如果果不不指指明明在在哪哪个个坐坐标标轴轴上上；若若mmx x

17、 + +n ny y = =1 1表表示示椭椭圆圆，mm, ,n n应应满满足足什什么么条条件件. .2222(3)(3)若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn,n,当当mn0mn0，表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆；当当nm0nm0，表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆. .2222xyxy解解：(1)(1)若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnnm0,nm0,且且c =n-m,c =n-m,所所以以，焦焦点点坐坐标标为为(0, n-m),(0,- n-m).(0, n-m

18、),(0,- n-m).2222xyxy(2)(2)若若+=1+=1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn.n.mnmn122nymx椭圆的一般形式椭圆的一般形式例例6 6、（、（1 1）求椭圆的标准方程：）求椭圆的标准方程：经过点经过点P（- ，2），），Q（ ，- ）3215（2）已知一椭圆的焦距为）已知一椭圆的焦距为2 ，且经，且经过点（过点（2，2），求椭圆的标准方程。），求椭圆的标准方程。2填空：填空：(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的

19、弦，则 F2CD的周长为的周长为_课前练习课前练习1162522yx543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a15422yx(2)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ,则则 a=_，b=_，c=_， 焦点坐标为：焦点坐标为：_，焦距，焦距 等于等于_; 若曲线上一点若曲线上一点P到焦点到焦点F1的距离为的距离为3，则，则 点点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离等于的距离等于_， 则则 F1PF2的周长为的周长为_21(0,-1)、

20、(0,1)25 5 2 532 53 2 522 52PF1F2|PF1|+|PF2|=2a22121.xymmm例1 若表示椭圆，求系数 的取值范围课后练习：课后练习： 1 化简方程：化简方程：10)3()3(2222yxyx 2 椭圆椭圆mx2+ny2=-mn(mn0)的焦点的焦点 坐标是坐标是 3 3 方程方程 表示焦点在表示焦点在x轴上的轴上的椭圆椭圆,则则m的取值范围为的取值范围为1162522mymx4.5m D 4.5m16- 254.5 B 25m16- CmA4 4 设设F F1 1，F F2 2为定点为定点,|F,|F1 1F F2 2|=6|=6，动点，动点M M满足满足|MF|MF1 1|+ |MF|+ |MF2 2|=6,|=6,则动点的轨迹是（则动点的轨迹是（ ）（A A）椭圆）椭圆 （B B）直线）直线 （C C）线段）线段 （D D）圆）圆5 5 如果方程如果方程x x2 2+ky+ky2 2=2=2表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，轴上的椭圆，则则k k的取值范围是的取值范围是_0k1 6 6 已知已知B B、C C是两个定点，是两个定点，BC=6BC=6，且，且ABCABC的周长等于的周长等于1616，求顶点，求顶点A A的轨迹方程的轨迹方程