2022年求含参数三次函数单调区间的分类讨论思路 .pdf

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1、求含参数三次函数单调区间的分类讨论思路舒云水求含参数三次函数的单调区间是高考热点这类问题涉及二次函数的性质、二次不等式求解、 二次方程求根等多方面知识，需要对字母进行分类讨论，是高考考查分类与讨论思想的热点正确对字母的取值范围进行分类讨论是解决这类问题的关键，本文主要谈对字母取值进行分类讨论的思路求含参数三次函数的单调区间的题目按下列步骤进行：第一步，求出导函数)(xfy（设原函数为)(xfy） ；第二步，算出导函数的判别式，并考查判断判别式的正负；第三步， 若判别式的值不确定， 即的取值可正可负，则对进行讨论， 按0，0，=0 三种情况进行分类讨论求解；若0，即方程0)(xf有实根，先求出两

2、实根1x，2x再按1x2x，1x2x，1x=2x三种情况进行分类讨论求解由上知分类讨论的方式有两种，下面分别举例说明1.按判别式取值的正负进行分类讨论例 1 已知函数1)(23xaxxxf，Ra讨论函数)(xf的单调区间分析：先求出2( )321fxxax，算出其判别式) 3(42a，再判断24(3)a的正负，易知24(3)a正负不确定，然后按判别式0，0，=0 三种情况进行分类讨论求解解：2( )321fxxax，其判别式)3(42a（1）当0，即3a或3a时，由0)(xf得：332aax或332aax；由0)(xf得：xaa332332aa函 数)(xf在)33,(2aa，),33(2aa

3、上 是 增 函 数 ； 在 区 间)33,33(22aaaa是减函数当0，即33a时，对所有Rx都有0)(xf，故此时)(xf在R上名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 是增函数当0，即3a时，则0)3(af，且对所有的3ax都有0)(xf，故此时)(xf在R上是增函数点拨：按判别式0，0，=0三种情况进行分类讨论求解是解本题的关键例2 已知函数)ln2(2)(xaxxxf，0a讨论函数)(xf的单调性分析：本题函数)

4、(xf虽然不是三次函数，但由于导数)(xf的正负值的取值范围与二次函数2)(2axxxg是一样的， 对导数)(xf值的讨论就可转化为对二次函数)(xg值的讨论由于82a的值不确定，要按判别式0，0，=0 三种情况进行分类讨论求解解：由题知，)(xf的定义域是),0(222221)(xaxxxaxxf设2)(2axxxg，二次方程0)(xg的判别式82a当0，即22a时，方程0)(xg有两个不同的实根：2821aax，2822aax，210 xx由0)(xf，即0)(xg且0 x得：2xx或10 xx；由0)(xf，即0)(xg且0 x得：21xxx函数)(xf在)28,0(2aa，),28(2

5、aa上是增函数，在)28,28(22aaaa上是减函数当0，即220a时，对一切0 x都有0)(xf，)(xf在),0(上是增函数 当0， 即22a时 ， 仅 对2x有0)(xf， 对 其 余 的0 x都 有0)(xf，)(xf在),0(上是增函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 点拨：例 2 与例 1 可以说是形异质同本题的分类讨论思路基本上与例1 一样例 3 已知函数)(xf1223xaaxx，Ra求函数)(x

6、f的单调区间分 析 ： 先 求 出)(xf2223aaxx， 再 算 出 其 判 别 式216a 由 于0162a，求出方程0)(xf的两根得：31ax，ax2由于3a，a的大小不确定，所以要按aa3，aa3，aa3三种情况分类讨论求解解 ：)(xf2223aaxx， 方程)(xf0的 判 别式0162a求 方程0)(xf的两根得31ax，ax2当aa3，即0a时，由0)(xf得：3ax或ax；由0)(xf得：3axa函数)(xf在),(a，),3(a上是增函数；在)3,(aa上是减函数当aa3，即0a时，由0)(xf得：ax或3ax；由0)(xf得：axa3函数)(xf在)3,(a，),(

7、a上是增函数；在),3(aa上是减函数当aa3，即0a时，仅对0 x有0)(xf，对所有的0 x都有0)(xf，)(xf在R上是增函数点拨：按两根3a，a的大小关系分类讨论求解是解本题的关键例 4 已知函数)(xfxeaaaxx)32(22，其中Ra求函数)(xf的单调区间分析：本题函数)(xf也不是三次函数导数)(xf的正负值的取值范围与二次函数)(xh是一样的， 对导数)(xf值的讨论就可转化为对二次函数)(xh值的讨论由于)(xh的判别式0)23(2a，方程0)(xh的两根a2，2a的大小不确定，本题就得按名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

8、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 22aa，22aa，22aa三种情况分类讨论求解解：xeaaxaxxf42)2()(22设)(xhaaxax42)2(22，方程0)(xh的判别式0)23(2a，求方程0)(xh的两根得ax21，22ax当21xx，即32a时，由0)(xf，即0)(xh得：ax2或2ax；由0)(xf，即0)(xh得：axa22函数)(xf在)2,(a，),2(a上是增函数；在)2,2(aa上是减函数当21xx，即32a时，由0)(xf，即0)(xh得：2ax或ax2；由0)(

9、xf，即0)(xh得：22axa函数)(xf在)2,(a，),2(a上是增函数；在)2,2(aa上是减函数当21xx，即32a时，仅对34x有0)(xf，对所有的34x都有0)(xf，)(xf在R上是增函数点拨：本题的分类讨论思路基本上同例3 一样例 4 与例 3 也是形异质同，我们在解题时要抓住这一点练习： 1.已知函数)(ln1)(Raxaxxxf讨论)(xf的单调性2.已知函数1634)(223txttxxxf，Rx， 其中Rt当0t时，求)(xf的单调区间答 案 ： 1. )(xf的 定 义 域 为),0(222111)(xaxxxaxxf 设1)(2axxxg，其判别式42a当2a时

10、，0，0)(xf，故)(xf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 在),0(上单调递增当2a时，0，0)(xg的两根都小于0，在),0(上，0)(xf，故)(xf在),0(上单调递增当2a时，0，)(xg0的两根为2421aax，2422aax，当10 xx时，0)(xf；当21xxx时，0)(xf； 当2xx时，0)(xf， 故fx分别在12(0,),(,)xx上单调递增， 在12(,)x x上单调递减2.当0t时，在)2,(t，),( t上单调递增，在),2(tt上单调递减；当0t时，在),(t，),2(t上单调递增，在)2,(tt上单调递减名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -