2022年指对数函数,幂函归类 .pdf

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1、指、对数函数 , 幂函数指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。一、 指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘aaa(n 个)=an导出乘方， 这里的 n 为正整数。从初中开始，首先将n 推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。欧拉指出： “ 对数源出于指数” 。一般地，如果a(a0,a1) 的 b 次幂等于N，就是 ab=N，那

2、么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：logaN=b其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。ab=N 与 b=logaN 是一对等价的式子，这里a 是给定的不等于1 的正常数。当给出b 求 N 时，是指数运算，当给出N 求 b 时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。二、指数运算与对数运算的性质1指数运算性质主要有3 条：ax ay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax bx（a0,a1,b0,b 1）2对数运算法则（性质）也有3 条：（1）loga(MN)=logaM+logaN （2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaMn=nlogaM(n R)

3、(a0,a 1,M0,N0)3指数运算与对数运算的关系：X=alogax；mlogan=nlogam4负数和零没有对数；1 的对数是零，即loga1=0；底的对数是1，即 logaa=1 5对数换底公式及其推论：换底公式： logaN=logbN/logba 推论 1：logamNn=(n/m)logaN 推论 2：三、指数函数与对数函数函数 y=ax(a0,且 a1) 叫做指数函数。它的基本情况是：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - -

4、- - - - - （1）定义域为全体实数（-，+）（2）值域为正实数（0，+） ，从而函数没有最大值与最小值，有下界，y0 （3）对应关系为一一映射，从而存在反函数-对数函数。（4）单调性是：当a1 时为增函数；当0a0,a1), f(x+y)=f(x) f(y),f(x-y)=f(x)/f(y) 函数 y=logax(a0, 且 a1) 叫做对数函数，它的基本情况是：（1）定义域为正实数（0， +）（2）值域为全体实数（-，+）（3）对应关系为一一映射，因而有反函数指数函数。（4）单调性是：当a1 时是增函数，当0a0,a1)，f(x y)=f(x)+f(y),f(x/y)=f(x)-f(

5、y) 例题讲解1若 f(x)=(ax/(ax+a) ，求 f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000/1001) 25log25等于：（ ）（A）1/2 （B）(1/5)10log25（C）10log45（D）10log523计算4试比较 (122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。5已知(a,b 为实数 )且 f(lglog310)=5 ，则 f(lglg3) 的值是（）（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随 a,b 的取值而定例题答案：1分析： 和式中共有1000 项，显然逐项相加是不可取的。需找出 f(x

6、)的结构特征， 发现规律，注意到 1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001= =1 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 而f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+a)+(a1-x/(a1-x+a)=(ax/(ax+a)+(a/(a+ax a)=(ax/(ax+a)+(a)/(ax+ a)=(ax+a)/(ax+ a)=1规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再

7、相加：原式=f(1/ 1001)+f(1000/1001)+f(2/1001)+f(999/1001)+f(500/1001)+f(501/1001)=(1+1+1)5000个=500 说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。（1）取 a=4 就是 1986 年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4x/(4x+2)，那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000/1001)的值 =。（2）上题中取a=9，则 f(x)=(9x/(9x+3)，和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+f(n-1)/n). （3）设

8、 f(x)=(1/(2x+2) ，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，可求得f(-5)+f(- 4)+ +f(0)+f(5)+f(6) 的值为。这就是 2003 年春季上海高考数学第12 题。2解： 5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)10log25选（ B）说明：这里用到了对数恒等式：alogaN=N(a 0,a 1,N0) 这是北京市1997 年高中一年级数学竞赛试题。3解法 1：先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。解法 2：利用算术根基本性质对真数作变形，有说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。4解：对于两个正数的大小，

9、作商与1 比较是常用的方法，记122003=a0，则有(122002+1)/(122003+1) (122003+1)/(122004+1)=(a/12)+1)/(a+1)(12a+1)/(a+1)=(a+12)(12a+1)/(12(a+1)2)=(12a2+145a+12)/(12a2+24a+12)1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 故得： (122002+1)/(122003+1)(122003+1)/(

10、122004+1) 5解：设 lglog310=t ，则 lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t 而 f(t)+f(-t)= f(-t)=8-f(t)=8-5=3 说明：由对数换底公式可推出logab logba=(lgb/lga)(lga/lgb)=1 ，即 logab=(1/logba) ，因而lglog310 与 lglg3 是一对相反数。设中的部分，则g(x)为奇函数， g(t)+g(-t)=0 。这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解，关键在于细致观察函数式结构特征及对数的恒等变形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -