2022年鲁教版初三数学知识点 .pdf

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1、1 初三第二学期数学知识点第二章相似图形一、线段的比1.概念 : 在同一单位长度下, 两条线段的长度的比叫这两条线段的比。在a:b 或ab中,a叫比例的前项 ,b 叫比例的后项。2. 注意 : 若 a:b=k, 说明 a 是 b 的 k 倍；两条线段的比与所采用的长度单位无关, 但求比时两条线段的长度单位必须一致；两条线段的比值是一个没有单位的正数；除 a=b 外,a:b b:a,a/b 与 b/a 互为倒数。二、比例线段1.概念 : 四条线段 a,b,c,d中 ,如果a 与 b 的比等于 c 与 d的比 , 即 a:b=c:d (或 a/b=c/d), 那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比

2、例线段,简称比例线段。 a、b、c、 d 叫比例的项 , 其中 ,a 、d 叫外项 ,b 、c 叫内项。2. 比例中项 : 当 a:b=b:c时 , 称 b为 a 与 c 的比例中项。(b2=ac) 3. 性质 : 内项之积等于外项之积若 a/b=c/d 则ad=bc 合比性质若a/b=c/d 则(a+b)/b=(c+d)/d 分比性质若a/b=c/d 则(a-b)/b=(c-d)/d 等比性质若a/b=c/d= =m/n(b+d+n0)，则(a+c+m) (b+d+n)=a/b合分比性质若a/b=c/d 则(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) 更比性质若a/b=c/d 则c/a=d

3、/b( 当然也就有a/c=b/d) 反比性质若a/b=c/d 则b/a=d/c 三、形状相同的图形例如 : 两个半径不相等的圆；所有的等边三角形；所有的正方形；所有的正六边形。一个图形各点的横坐标、纵坐标都乘以或除以同一个数，则连接所得到点的图形与原图形形状相同。四、相似三角形1.概念 : 对应角相等 , 对应边成比例的两个三角形, 叫做相似三角形( 相似符号为“”) 。平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似。相似比 ：相似三角形对应边的比叫做相似比。2.全等一定相似, 相似不一定全等( 全等是相似中相似比为1 时的特殊情况) D E O B C

4、 A B C D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 五、探索三角形相似的条件1定义判定 ：对应角相等、对应边成比例2判定 1：两个角对应相等判定 2：两边对应成比例且夹角相等判定 3：三边对应成比例Rt 相似的判定:( 除上述三个外 ) 斜边与一直角边对应成比例的两直角三角形相似。3. 三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

5、推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。4. ( 补充 ) 射影定理:在 RtABC 中， ACB=900，CD 是斜边 AB 上的高 ,则AC2=AD AB BC2=BD AB CD2=AD BD 5. ( 补充 ) 三角形的重心概念 : 三角形三条 中线的交点 叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。六、相似三角形的性质1相似三角形的三个对应角相等，三边对应成比例；2相似三角形对应高的比，对应中线的比与

6、对应角平分线的比都等于相似比，3相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方。七、测量旗杆的高度 ( 略) 八、相似多边形1.概念 : 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。2.性质 : 性质 1：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；性质 2：相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方。九、位似图形1.概念 : 如果两图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形 , 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比 。2. 性质 : 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。3. 探索 : 利用位似可以

7、把一个图形放大或缩小；对应点连线都交于位似中心,对应线段平行或在一条直线上；在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为 k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 第五章二次根式一、二次根式1.概念 : 形如(a a0)这样的式子叫做二次根式(ab也是二次根式) 。其中 a 可以是数 ,也可是单项式和多项式。2.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。二、二次根式的性质基本性质一：2()a=a (a 0)基

8、本性质二：aa2积的性质：ab=ab(a 0,b 0) 商的性质：ab=ab(a 0,b 0)注：一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自然数，且自然数的因数中，不含有除1 以外的自然数的平方数，被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简。三、二次根式的加减法1.最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母( 即因数是整数，因式是整式) ；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。2.同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式( 与二次根式的系数无关) 。3.二次根式的加减:( 在二次根式加减或其

9、它运算时，把根号前的乘数看作它的系数) 合并同类二次根式化为最简二次根式；系数相加减；二次根式不变。与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减, 作为结果的系数, 根号及根号内部都不变四、二次根式的乘除法1.算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根ab=ab(a0,b 0) 2.两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数baba(a0,b 0)注意:如果被开方数是带分数，应先化成假分数。第六章证明(二) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 一、全等三角形(具体性质和判定见初一知识点)1. 根据书写

10、规范, 按照对应顶点找对应边或对角。2. 公共角、对顶角必为对应角；公共边必为对边。3. 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角。4. 在两个全等三角形中, 最长边对最长边；最小边对最小边；最大角对最大角；最小角对最小角。二、等腰三角形等腰三角形的性质定理: 等腰三角形的两个底角相等( 简写成“等边对等角”) 推论 1: 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边由推论得 :等腰三角形的顶角平分线, 底边上的中线 , 底边上的高互相重合( 三线合一 ) 推论 2: 等边三角形的各角都相等, 并且每一个角都等于60三、直角三角形1. 性质 : 直角三角形的两个锐角互余。反过来, 有两个角互

11、余的三角形是直角三角形。2. 等腰直角三角形: 两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形( 具有等腰三角形和直角三角形的所有性质) 。等腰直角三角形的两个锐角都是453. 性质定理 : 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半四、线段的垂直平分线1. 定义 : 垂直且平分一条线段的直线 是这条线段的垂直平分线( 中垂线 ) 结论 1: 如果两点A 、B关于直线CD对称 , 则直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线；结论 2: 如果 CD是线段 AB的垂直平分线 , 则点 A 、 B关于直线CD对称。2. 线段垂直平分线的性质定理: 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等3. 线段

12、垂直平分线的判定( 性质定理逆定理) : 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上4. 定理 : 三角形三条边的垂直平分线相交于一点并且这点到三顶点的距离相等五、角平分线1. 角平分线性质定理: 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等2. 逆定理 : 在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上第七章一元二次方程一、一元二次方程1. 定义 : 方程的两边都是整式, 只含有一个未知数, 并且未知数的 最高 次数是2 次 , 我们把这样的方程叫做一元二次方程。(条件 : 方程两边都是整式只含有一个未知数未知数的最高次数是2 次) 2. 一般形式 : ax2+bx+c=0(a

13、,b,c为常数且a0) 。 一般地 , 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0 的形式。其中ax2，bx,c 分别称为二次项，一次项，常数项,a 、b 分别称为二次项系数, 一次项系数。 (b 和 c 可以为 0, 但 a 不能为 0, 因为一元二次方程必须有二次项 , 一次项和常数项没有的时候就是b 和 c 为 0 的情况 ) 注意 : 二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号 的。3. 一元二次方程的解:使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解( 或根 )。二、 判别式 : =b2-4ac 1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)

14、 根的情况：(1) 当 0 时, 方程有两个不相等的实数根；(2) 当 =0 时, 方程有两个相等的实数根；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 (3) 当 0 时, 方程无实数根。2. 根据根的情况, 也可以逆推出的情况, 这方面的知识主要用来求取值范围等问题。三、一元二次方程根与系数的关系( 韦达定理 ) 一元二次方程的求根公式 : 一元二次方程 根与系数的关系: 若方程 ax2+bx+c=0(a 0) 的两根分别为x1、x2, 则 x1x2=b/a, x1x2=c/a补充规律 : 两根均为负的条件: x1x20

15、, x1x20 两根均为正的条件: x1x20, x1x20 两根一正负的条件: x1x20当然 , 以上还必须满足一元二次方程有根的条件:b2-4ac 0 三、一元二次方程的解法1. 直接开平方法2. 配方法 : 通过配方 , 将方程的左边化成一个含未知数的完全平方式, 右边是一个非负常数,运用直接开平方求出方程的解的方法, 即转化成 (x+b)2=a(a 0) 的形式 , 再利用开平方步骤 : (1) 把方程化成一元二次方程的一般形式；(2) 把二次项系数化为1( 方程两边都除以二次项系数) ；(3) 把含有未知数的项放在方程的左边, 不含未知数的项放在方程的右边；(4) 方程的两边同加上

16、一次项系数一半的平方(这是关键 )；(5) 方程的左边化成完全平方的形式, 方程的右边化成非负数；(6) 利用直接开平方的方法去解。如果整理后左边是完全平方式, 如果右边是个负数, 则指出原方程无实根。3. 公式法步骤 : (1) 把方程化成一元二次方程的一般形式；(2) 写出方程各项的系数；(3) 计算出 b2-4ac 的值，看b2-4ac 的值与 0 的关系 , 若 b2-4ac0, 则此方程没有实数根；(4) 当 b2-4ac 0 时, 代入求根公式计算出方程的值。注意 : 用公式法解一元二次方程的前提是: 必须是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a 0) ；b2-4ac 0

17、。4. 因式分解法当一元二次方程的一边为0, 而另一边易于分解成两个一次因式时,可用分解因式法来解AB=0 =A=0或 B=0(A、B表示两个因式 ) 步骤 : (1) 移项 , 使方程的右边为0( 用该方法方程右边一定要为0) ；(2) 利用提取公因式法, 平方差公式 , 完全平方公式, 十字相乘法对左边进行因式分解；(3) 令每个因式分别为零, 得到两个一元一次方程；(4) 解这两个一元一次方程, 它们的解就是原方程的解。简记歌诀 :右化零 , 左分解；两因式, 各求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 四、一

18、元一次方程的应用1. 能利用一元二次方程解决有关实际问题, 并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性；2. 求增长率 , 利润最大化问题。第八章一、 平行四边形 ( 具体见初二知识点) 1. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2. 平行四边形的性质：对边平行、对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分二、特殊的平行四边形1. 矩形 : 四个角相等；对边平行且相等；对角线互相平分且相等2. 菱形 : 对角相等；对边平行, 四条边都相等；对角线互相垂直平分3. 正方形 :四个角都相等；对边平行, 四条边都相等；对角线互相垂直平分且相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页