matlab在高数中的应用.ppt

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1、MATLAB在高等数学中的应用在高等数学中的应用n本章的讨论重点是：如何利用现有的世界本章的讨论重点是：如何利用现有的世界顶级数值计算资源顶级数值计算资源MATLAB，以最简明的，以最简明的方式阐述理论数学、数值数学和方式阐述理论数学、数值数学和MATLAB计算指令之间的内在联系及区别计算指令之间的内在联系及区别 。由于。由于MATLAB的基本运算单元是数组，所以本的基本运算单元是数组，所以本章内容将从矩阵分析、线性代数的数值计章内容将从矩阵分析、线性代数的数值计算开始，然后再介绍函数零点、极值的求算开始，然后再介绍函数零点、极值的求取，数值微积分，数理统计和分析，拟合取，数值微积分，数理统计

2、和分析，拟合和插值，和一般常微分方程初值、边值问和插值，和一般常微分方程初值、边值问题。题。3.1 矩阵分析矩阵分析矩阵函数矩阵函数Norm 计算矩阵范数计算矩阵范数det 计算矩阵所对应的行列式的值计算矩阵所对应的行列式的值Diag 抽取矩阵对角线元素抽取矩阵对角线元素eig 求特征值和特征向量求特征值和特征向量inv 求矩阵的逆阵（方阵）求矩阵的逆阵（方阵）Pinv 求矩阵的伪逆（非方阵）求矩阵的伪逆（非方阵）lu 三角分解三角分解Qr 正交分解正交分解 矩阵函数矩阵函数Poly求特征多项式求特征多项式Rank求矩阵的秩求矩阵的秩Svd 奇异值分解奇异值分解Fliplr 矩阵左右翻转函数矩

3、阵左右翻转函数Flipup 矩阵上下翻转函数矩阵上下翻转函数Reshape 矩阵阶数重组矩阵阶数重组Rot90 矩阵整体反时针旋转矩阵整体反时针旋转Tril 取矩阵的左下三角部分取矩阵的左下三角部分Triu 取矩阵的右上三角部分取矩阵的右上三角部分“：” 将矩阵元素按列取出排成一列将矩阵元素按列取出排成一列3.1 矩阵分析矩阵分析例例 1 求矩阵的行列式的值求矩阵的行列式的值 X=1 2 3 0; 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14 15 16;det(X)ans =-5464例例2 求矩阵的秩求矩阵的秩 X=1, 2, 3; 2, 3 -5; 4 7 1; rank(X)ans

4、 = 2例例 3求逆矩阵求逆矩阵 X=1 2 3 0; 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14 15 16; Y=inv(X)Y = 0.2299 0.0908 0.0351 -0.0717 0.1940 0.0798 -0.0659 0.0095 0.1274 -0.0835 0.0322 0.0176 -0.2892 0.0084 0.0275 0.0377Y*X%矩阵与其逆阵相乘结果是单位矩阵矩阵与其逆阵相乘结果是单位矩阵ans = 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 X*Y%矩阵的逆阵是唯一的矩阵的逆阵是唯一

5、的ans = 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000例例 4求特征值和特征向量求特征值和特征向量 X=-2 1 1;0 2 0;-4 1 3; V D=eig(X)V= -0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015D= -1 0 0 0 2 0 0 0 2例例 5 矩阵分解矩阵分解 A=2 -1 3;1 2 1;2 4 3; L, U=lu(A) %三角分解三角分解 L = 1.0000 0 0 0.5000 0.5000 1.0000 1.0000 1.0000

6、 0U = 2.0000 -1.0000 3.0000 0 5.0000 0 0 0 -0.5000 多项式是形如多项式是形如P(x) = aP(x) = a0 0 x xn n+a+a1 1x xn-1n-1+a+an-1n-1x+ax+an n的的式子在式子在MATLABMATLAB中，多项式用行向量中，多项式用行向量表示：表示： P= aP= a0 0 a a1 1 a an-1n-1 a an n 3.2 多项式运算多项式运算1. 多项式的算术运算多项式的算术运算参加加减运算的多项式应该具有相同的参加加减运算的多项式应该具有相同的阶次。阶次。多项式乘法采用多项式乘法采用conv函数，除

7、法由函数，除法由deconv函数完成。函数完成。2. 求根求根求多项式的根采用求多项式的根采用roots函数。函数。3. 求导求导使用使用polyder函数对多项式求导。函数对多项式求导。3.2 多项式运算多项式运算3.2 多项式运算多项式运算 4. 求值求值函数函数polyval求多项式在某一点的值求多项式在某一点的值函数函数polyvalm可以求出当多项式中可以求出当多项式中的的变量为矩阵时的值的的变量为矩阵时的值 5.5.部分函数展开函数部分函数展开函数residueresidue 格式一：格式一：r,p,k= residue(b,a)r,p,k= residue(b,a) 格式二：格式

8、二：bb，a= residuea= residue（r,p,kr,p,k）6 多项式的拟合多项式的拟合 p=polyfit(x,y,n) 例：例：x=0:0.1:1； y= -0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2 ； P1= polyfit (x, y, 2)； %选择二阶多项式进行拟选择二阶多项式进行拟合合 P= -9.8108 20.1293 -0.0317 函数返回的是一个多项式系数的行向量，函数返回的是一个多项式系数的行向量，写成多项式形式为：写成多项式形式为：3.2 多项式运算多项式运算0317. 01293

9、.208108. 92xx%为了比较拟合结果，我们绘制两者的图为了比较拟合结果，我们绘制两者的图 x1=linspace (0, 1, 100); %绘图的绘图的X-轴数据轴数据 y1=polyval (p1, x1); %得多项式在数据点的值得多项式在数据点的值subplot(1,2,1),plot(x,y,ox1,y1,b);legend(原始数据原始数据，2阶多项式阶多项式)； P2= polyfit (x, y, 10)；x2=x1; y2=polyval (p2, x2); subplot(1,2,2),plot(x,y,ox1,y1,b,x2,y2,b-);legend(原始数据原

10、始数据，2阶多项式阶多项式,10阶多项阶多项式式)；多项式的拟合多项式的拟合7 多项式插值多项式插值n所谓插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近所谓插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理。实原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理。实现分段线性插值不需编制函数程序，现分段线性插值不需编制函数程序，MATLAB自自身提供了内部函数身提供了内部函数interp1，其主要用法如下：，其主要用法如下：ninterp1(x,y,xi) 一维插值一维插值 yi=interp1(x,y,xi) 对一组点对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点进行插值，计算插值点xi的函数

11、值的函数值。x为节点向量值，为节点向量值，y为对应的节点函数值。如果为对应的节点函数值。如果y 为矩阵，则插值对为矩阵，则插值对y 的每一列进行，若的每一列进行，若y 的维数的维数超出超出x 或或 xi 的维数，则返回的维数，则返回NaN。3.2 多项式运算多项式运算n yi=interp1(y,xi) n此格式默认此格式默认x=1:n ，n为向量为向量y的元素个数的元素个数值，或等于矩阵值，或等于矩阵y的的size(y,1)。n yi=interp1(x,y,xi,method) nmethod用来指定插值的算法。默认为线性用来指定插值的算法。默认为线性算法。其值常用的可以是如下的字符串。算

12、法。其值常用的可以是如下的字符串。n nearest 线性最近项插值。线性最近项插值。n linear 线性插值。线性插值。n spline 三次样条插值。三次样条插值。n cubic 三次插值。三次插值。n正弦曲线的插值示例：正弦曲线的插值示例： x=0:0.1:10;y=sin(x); xi=0:0.25:10; yi=interp1(x,y,xi); plot(x,y,0,xi,yi)nMatlab也能够完成二维插值以及高维也能够完成二维插值以及高维插值的运算，相应的函数为插值的运算，相应的函数为interp2或或interpn ，使用方法与，使用方法与interpl基本相同基本相同，只

13、是输入和输出的参数为矩阵，对，只是输入和输出的参数为矩阵，对应于高维平面上的数据点，详细的用应于高维平面上的数据点，详细的用法见法见Matlab联机帮助。联机帮助。n了解：交互式样条差值函数了解：交互式样条差值函数splinetool 例：例：x=0:0.1:1; y= -0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2 ; splinetool(x,y)3.3 数据分析与统计数据分析与统计n数据基本操作：数据基本操作： Max 最大值最大值 Min 最小值最小值Mean 平均值平均值 Median 中间值中间值Sum 求元素和求

14、元素和 Std 求标准偏差求标准偏差Comsum 求累计和求累计和 Var 为为std的平方的平方Sort 以升序排列元素以升序排列元素 cov 求协方差求协方差Prod 元素乘积函数元素乘积函数 Cumprod 列元素累乘积函数列元素累乘积函数 Diff 求相邻元素之间的差值或近似导数求相邻元素之间的差值或近似导数Gradient 求数值梯度求数值梯度 3.4 函数分析与数值积分函数分析与数值积分n函数的表示函数的表示1 函数文件方式：函数文件方式：例：例：function y =humps(x) y=1./(x-0.3).2+0.01)+1./(x-0.9).2+0.04)-6求求x=0.

15、5的函数值：的函数值：y=humps(0.5)运行结果：运行结果：y= 19.00003.4 函数分析与数值积分函数分析与数值积分n函数的表示函数的表示2 内联函数方式：内联函数方式：例例f=inline(1./(x-0.3).2+0.01)+1./(x-0.9).2+0.04)-6)求求x=0.5的函数值：的函数值：f(0.5)运行结果：运行结果：ans= 19.00003.4 函数分析与数值积分函数分析与数值积分n函数的表示函数的表示3 fevel函数：函数：y=fevel(F,x)例例 y=fevel (humps,0.5,0.8,0.9)运行结果：运行结果：y= 19.0000 17.

16、8462 21.7027y=fevel (f,0.5,0.8,0.9)运行结果：运行结果：y= 19.0000 17.8462 21.70273.4 函数分析与数值积分函数分析与数值积分n函数绘图函数绘图1 单变量函数绘图命令单变量函数绘图命令fplot基本格式：基本格式：fplot（fun，【，【xmin，xmax】）2 简易的函数绘图命令简易的函数绘图命令ezplot基本格式：基本格式：ezplot（f，【，【a，b】）】）3.4 函数分析与数值积分函数分析与数值积分n函数的零极点分析函数的零极点分析1 单变量函数求极小值函数单变量函数求极小值函数fminbnd基本格式：基本格式：x=fminbnd（fun,x1,x2）2 单变量函数求极小值函数单变量函数求极小值函数fminsearch基本格式：基本格式：x= fminsearch （fun,x0）3 单变量函数零点分析函数单变量函数零点分析函数fzero基本格式：基本格式：x=fzero（fun,x0）27 结束语结束语