2022年二项式知识点十大问题练习 .pdf

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1、1二项式定理：011()()nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC bnN，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做()nab的二项展开式。二项式系数 : 展开式中各项的系数rnC(0,1,2, )rn. 项数：共（ n+1）项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第1r项rnrrnC ab叫做二项式展开式的通项。用1rnrrrnTC ab表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有(1)n项。顺序：注意正确选择a,b, 其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n. 系数：

2、注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,.rnnnnnnCCCCC项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：令1,abx0122(1)()nrrnnnnnnnxCC xC xC xC xnN令1,abx0122(1)( 1)()nrrnnnnnnnnxCC xC xC xC xnN5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等。二项式系数和： 令1ab, 则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC，变形式1221rnnnnnnCCCC。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1ab，则0123( 1)(1

3、1)0nnnnnnnnCCCCC，从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC奇数项的系数和与偶数项的系数和：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 0011222012012001122202121001230123()()1,(1)1,(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxC a xC axC axC a xaa xa xa xxaC a xC axC a xC

4、 a xa xa xa xaxaaaaaaxaaaaaa令则令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaaaaaaaaaaa得奇数项的系数和得偶数项的系数和二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数12nnC,12nnC同时取得最大值。系数的最大项：求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为121,nA AA，设第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来。题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .nnnnnn

5、CCCC练：1231393 .nnnnnnCCCC题型二：利用通项公式求nx的系数；例：在二项式3241()nxx的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x的项的系数？练：求291()2xx展开式中9x的系数？题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式2101()2xx的展开式中的常数项？练：求二项式61(2)2xx的展开式中的常数项？练：若21()nxx的二项展开式中第5项为常数项，则_.n题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式93()xx展开式中的有理项？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

6、师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若2321()nxx展开式中偶数项系数和为256，求n. 练：若35211()nxx的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2 )2nx，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？练：在2()nab的展开式中，二项式系数最大的项是多少？练：在31()2nxx的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？例：写出在7(

7、)ab的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2 )2nx的展开式中系数最大的项？练：在10(12 ) x的展开式中系数最大的项是多少？题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)xx的展开式中x的一次项的系数？练：求式子31(2)xx的常数项？题型八：两个二项式相乘；例：342(1 2 ) (1)xxx求展开式中的系数 .练：610341(1) (1)xx求展开式中的常数项.练：(四川省雅安中学20XX 届高三开学考试数学理3)4)12( x的展开式中含x的奇次方项的系数和等于（）A 44 B25 C 41 D 40 题型十：赋值法；例：设二项

8、式31(3)nxx的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s, 若272ps, 则n等于多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 练：若nxx13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？例：200912320092009120123200922009(1 2 )(),222aaaxaa xa xa xaxxR若则的值为练：55432154321012345(2),_.xa xa xa xa xa

9、 xaaaaaa若则11. (山 东省潍坊市第一中学20XX 届高三 1 月期末考前模拟数学理10)若923112012311132222xxaaxaxaxax，则12aaa的值为（A）0 （B）5（C）5 （ D）255 题型十一：整除性；例：证明：22*389()nnnN能被 64 整除训练题：1. (山东省潍坊市第一中学20XX 届高三 1 月期末考前模拟数学理11)某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、 “进敬老院”、 “参观工厂”、 “民俗调查”、 “环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安

10、排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是A.48 B.24 C.36 D.64 2. ( 2014-2015 江西省景德镇高三第二质检数学理13)51(1)(2)xxx的展开式中的常数项为3. (福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中20XX 届高三上学期三校联考数学理13)从 6 名候选人中选派出3 人参加A、B、C三项活动， 且每项活动有且仅有1 人参加， 甲不参加A活动，则不同的选派方法有种. 4.( 20XX年 2 月甘肃省部分普通高中高三第一次联考理15)从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，则甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法

11、的种数为（用数字作答）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 1、(x 1)11展开式中 x 的偶次项系数之和是1、设 f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是10242/)2(2)1(f) 1(f112、nnn2n21n0nC3C3C3C 2、4n3、203)515(的展开式中的有理项是展开式的第项3、3,9,15,21 4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值

12、之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令 x=1，则所求和为 35名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5、求 (1+x+x2)(1-x)10展开式中 x4的系数5、93102)x1)(x1()x1)(xx1 (, 要得到含 x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项449)x(C作积，第一个因式中的x3与(1-x)9展开式中的项)x(C19作积，故x4的系数是135CC49196、求 (1+x)+(1

13、+x)2+, +(1+x)10展开式中 x3的系数6、)x1(1)x1(1)x1 (x1)x1()x1(10102）（=xxx)1()1(11，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为711C7、若)Nnm()x1()x1 ()x(fnm展开式中， x 的系数为21，问 m 、n 为何值时，x2的系数最小？7、由条件得m+n=21 ，x2的项为22n22mxCxC，则.4399)221n(CC22n2m因 nN，故当 n=10 或 11 时上式有最小值，也就是m=11和 n=10，或 m=10和 n=11 时， x2的系数最小8、自然数n 为偶数时，求证：1nnn1nn4n3n2n1n23C

14、C2CC2CC218、原式 =1n1nn1nn5n3n1nnn1nn2n1n0n2 . 322)CCCC()CCCCC(9、求1180被 9 除的余数9、)(1811818181)181(80101110111110111111ZkkCCC, kZ, 9k-1 Z，1181被 9 除余 810、在 (x2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数10、5552)2x()1x()2x3x(在(x+1)5展开式中，常数项为 1， 含 x 的项为x5C15， 在(2+x)5展开式中， 常数项为 25=32，含 x 的项为x80 x2C415展开式中含x 的项为x240)32(x5)x80(1，此展开式中

15、x 的系数为 24011、求 (2x+1)12展开式中系数最大的项名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 11、设 Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与 Tr+2的系数，即有1r12r121r12r12r111r12r12r12r131r12r12r12CC2C2C12C2C2C2C4r,314r313展开式中系数最大项为第5 项， T5=44412x7920 xC16名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -