2022年中考数学压轴题函数相似三角形问题二 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载2012 中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 例 3 如图 1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、 B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S，A1、 B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)用含 S的代数式表示x2x1，并求出当 S=36 时点 A1的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为 (1，3)，动点

2、P 从点 B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动P、Q 两点同时出发，当点Q到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“10 义乌 24”，拖动点I 上下运动，观察图形和图像，可以体验到， x2x1随 S的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点Q 在 DM 上运动，可以体验到，如

3、果GAFGQE ，那么 GAF与 GQE相似思路点拨精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习好资料欢迎下载1第（2）题用含 S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用 x1，x2表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（ 3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与 x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ

4、与 AB 的交点 G在 x 轴的下方，或者假设交点G在 x轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x，解析式为21184yxx，顶点为 M（1，18）（2） 梯形 O1A1B1C1的面积12122(11)3()62xxSxx，由此得到1223sxx由于213yy，所以22212211111138484yyxxxx整理，得212111()()384xxxx因此得到2172xxS当 S=36 时，212114,2.xxxx解得126,8.xx此时点 A1的坐标为（ 6，3）（3）设直线 AB与 PQ交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点E，直线 PQ与x 轴交于点 F，那么要探求相似的

5、GAF与 GQE ，有一个公共角G在 GEQ中， GEQ是直线 AB与抛物线对称轴的夹角，为定值在 GAF中， GAF是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQ GAF因此只存在 GQE GAF的可能， GQE GAF这时 GAF GQE PQD由于3tan4GAF，tan5DQtPQDQPt，所以345tt解得207t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习好资料欢迎下载图 3 图 4 考点伸展第（ 3）题是否存在点G在 x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上，图

6、3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3例 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习好资料欢迎下载如图 1，已知点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线22ymxmxn上（1）求 m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为 A ，点 B 的对应点为 B ，若四边形 A A B B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB的交点为 C，试在 x 轴上找一个点D，使得以点 B 、C、D 为顶点的三角形与ABC相似图 1 动感体验请打开几何画板文

7、件名“10 宝山 24”，拖动点A 向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A B B 为菱形再拖动点D 在 x轴上运动，可以体验到，B CD与ABC相似有两种情况思路点拨1点 A 与点 B 的坐标在 3 个题目中处处用到，各具特色第（1）题用在待定系数法中；第（ 2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B的坐标、 AC 和 B C的长2抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变3探求 ABC与B CD相似，根据菱形的性质，BAC CB D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论满分解答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

8、- -第 4 页，共 6 页学习好资料欢迎下载(1) 因为点 A (- 2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线22ymxmxn上，所以444,20.mmnmmn解得43m，4n(2) 如图 2，由点 A (- 2，4) 和点 B (1，0)，可得 AB5因为四边形A A B B 为菱形，所以 A A B B AB5因为438342xxy2416133x，所以原抛物线的对称轴x 1 向右平移 5 个单位后，对应的直线为x4因此平移后的抛物线的解析式为3164342,xy图 2 (3) 由点 A (- 2，4) 和点 B (6，0)，可得 A B 4 5如图 2，由 AM/ CN，可得B NB

9、CB MB A，即284 5B C解得5B C所以3 5AC根据菱形的性质，在ABC与B CD中， BACCB D如图 3，当ABB CACB D时，553 5B D，解得3B D此时 OD3，点 D 的坐标为（ 3，0）如图 4，当ABB DACB C时，53 55B D，解得53B D此时 OD133，点 D的坐标为（133，0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习好资料欢迎下载图 3 图 4 考点伸展在本题情境下，我们还可以探求B CD与 AB B 相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况我们也可以讨论B CD与CB B 相似，这两个三角形有一组公共角B，根据对应边成比例，分两种情况计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页