2021_2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质课时跟踪训练含解析新人教A版选修2_.doc

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1、2.4.2 抛物线的简单几何性质A组学业达标1抛物线y22px(p0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A4B9C10 D18解析：抛物线y22px的焦点为，准线方程为x.由题意可得49，解得p10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.答案：C2过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在解析：当斜率不存在时，x1x22不符合题意当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，可设直线方程为yk(x1)，由得k2x2(2k24)xk20，x1x25，k2，

2、即k .因而这样的直线有且仅有两条答案：B3设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|等于()A4 B8C8 D16解析：由抛物线方程y28x，可得准线l：x2，焦点F(2,0)，设点A(2，n)，n4.P点纵坐标为4.由(4)28x，得x6，P点坐标为(6,4)，|PF|PA|6(2)|8，故选B.答案：B4抛物线y24x与直线2xy40交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|FB|等于()A2 B3C5 D7解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|x1x22.由得x25x40，x1x25，x1x227.

3、答案：D5设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是()A(2，2) B(1，2)C(1,2) D(2,2)解析：由题意知F(1,0)，设A，则，.由4得y02，点A的坐标为(1，2)，故选B.答案：B6抛物线y24x的弦ABx轴，若|AB|4，则焦点F到直线AB的距离为_解析：由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|4且ABx轴得y(2)212，xA3，所求距离为312.答案：27过抛物线y24x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|_.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的准线方程为x1，焦

4、点为F(1,0)，则根据抛物线的定义可知|AF|x11，|BF|x21，所以|AB|x11x212xM22226.答案：68设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB_.解析：由|OA|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称设A，B，则SAOB2a16，解得a4，AOB为等腰直角三角形，AOB90.答案：909直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，求直线l的方程解析：因为抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，若l与x轴垂直，则|AB|4，不符合题意，所以可设所求直线l的方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk2

5、0，则由根与系数的关系，得x1x2.又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|x1x2p28，所以6，解得k1.所以所求直线l的方程为xy10或xy10.10已知抛物线C：y2x2和直线l：ykx1，O为坐标原点(1)求证：l与C必有两交点(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值解析：(1)证明：联立抛物线C：y2x2和直线l：ykx1，可得2x2kx10，所以k280，所以l与C必有两交点(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，因为y1kx11，y2kx21，代入，得2k1，由(1)可得x1x2k，x1x2，代入得k1.B组能力提升11直线ykx2交抛物线

6、y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k()A2或1 B1C2 D3解析：由得k2x24(k2)x40，因为AB中点的横坐标为2，则4，即k2或k1，又由16(k2)216k20，知k2.答案：C12已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则k()A. B.C. D2解析：由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yk(x2)由得k2x2(4k28)x4k20，则x1x2，x1x24.y1y2k(x12)k(x22)k(x1x24)，y1y216.(x12，y12)(x22，y22)(

7、x12)(x22)y1y22(y1y2)4x1x22(x1x2)41640，解得k2，故选D.答案：D13动圆经过点A(3,0)，且与直线l：x3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是_解析：设动点M(x，y)，M与直线l：x3的切点为N，则|MA|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x3为准线，所以p6，所以动圆圆心的轨迹方程为y212x.答案：y212x14过抛物线y24x的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|FB|的值为_解析：过抛物线y24x的焦点F且倾斜角为的直线方程为yx1，联立得x26x10，3

8、64320，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10，x20，则x1x26，x1x21，F(1,0)，|FA|FB|(x11)(x21)x1x2(x1x2)11618.答案：815.如图，已知直线与抛物线y22px(p0)交于A，B两点，且OAOB，ODAB交AB于点D(不为原点)(1)求点D的轨迹方程；(2)若点D的坐标为(2,1)，求p的值解析：(1)设点A的坐标(x1，y1)，点B的坐标(x2，y2)，点D的坐标(x0，y0)(x00)，由OAOB得x1x2y1y20.由已知，得直线AB的方程为y0yx0xxy.又y2px1，y2px2，yy(2px1)(2px2)，则x1x2，由x

9、1x2y1y20得y1y24p20.把y0yx0xxy代入y22px，并消去x得x0y22py0y2p(xy)0，则y1y2，代入y1y24p20，得xy2px00(x00)，故所求点D的轨迹方程为x2y22px0(x0)(2)将x2，y1代入方程x2y22px0中，得p.16已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解析：(1)把P(1,1)代入y22px得p，抛物线C的方程为y2x.焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明：设l：ykx(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线OP的方程为yx，直线ON的方程为yx.由题意知A(x1，x1)，B，由得k2x2(k1)x0，则x1x2，x1x2.y1kx12kx12kx12kx1(1k)2x12x1，x1.又M(x1，y1)，B，x1，线段BM的中点坐标为(x1，x1)，与A(x1，x1)坐标相同，A为线段BM的中点